Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Phép biến đổi tích phân hankel và ứng dụng
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–
NGUYỄN THỊ HỒNG TRANG
PHÉP BIẾN ĐỔI
TÍCH PHÂN HANKEL
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 8 46 01 02
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Đà Nẵng - Năm 2019
Công trình được hoàn thành tại
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: TS.Phan Đức Tuấn
Phản biện 1: TS. Phạm Quý Mười
Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Nhụy
Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
Khoa học họp tại Đại học Sư phạm - ĐHĐN ngày 12 tháng 05 năm 2019
Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Các phép biến đổi tích phân là một công cụ toán học đem lại những
thành công đáng kể trong việc giải quyết nhiều bài toán về phương trình vi
phân, phương trình sai phân và phương trình tích phân trên các lĩnh vực:
toán học ứng dụng, vật lí toán và nhiều lĩnh vực khoa học kĩ thuật khác.
Một số phép biến đổi tích phân quan trọng như biến đổi Fourier, Laplace,
Hankel, . . . . Trong đó nổi bật là phép biến đổi Hankel mang tên của nhà
Toán học người Đức Hermann Hankel (1839 - 1873) giải quyết một số bài
toán xuất hiện từ lĩnh vực vật lý.
Trong lý thuyết về các phép biến đổi tích phân tổng quát, người ta định
nghĩa phép biến đổi tích phân T như sau:
T {f(t)} = F(s) = Z
t2
t1
K(t, s)f(t)dt.
Trong mỗi phép biến đổi tích phân thì f(t) là hàm gốc, hàm F(s) là hàm
ảnh và hàm K(t, s) được gọi là nhân của phép biến đổi. Nhiều bài toán
trong thực tế khó có thể giải quyết, hay ít nhất là việc biểu diễn nó dưới
góc nhìn đại số ban đầu. Mỗi phép biến đổi tích phân là một ánh xạ một
hàm từ “miền gốc” sang “miền đích”. Việc giải quyết bài toán trên miền
đích sẽ thuận lợi hơn so với giải trên miền gốc. Sau đó, kết quả sẽ được
ánh xạ trở lại miền gốc ban đầu.
Cũng như các phép biến đổi tích phân khác, mục tiêu của phép biến đổi
tích phân Hankel là chuyển các phép tính vi - tích phân trên hàm sang các
phép tính đại số ảnh Hankel của hàm. Nhờ đó, phép biến đổi tích phân
Hankel có thể biến các phương trình vi - tích phân thành các phương trình
2
đại số. Sử dụng các phương pháp giải phương trình của đại số, kết hợp
với phép biến đổi Hankel ngược ta sẽ tìm được nghiệm của các phương
trình vi - tích phân ban đầu. Nhiều vấn đề trong khoa học và công nghệ
thường đưa đến việc giải một phương trình vi phân thường, phương trình
đạo hàm riêng, hoặc phương trình tích phân. Chẳng hạn, trong bài toán
tính độ lệch đứng của một dầm vô hạn dẫn đến giải một phương trình
vi phân thường. Khi nghiên cứu các dao động của dây, màng mỏng, sóng
âm, sóng tạo ra do thủy triều, sóng đàn hồi, sóng điện trường dẫn đến giải
một phương trình đạo hàm riêng. Trong cơ học lượng tử, xung lượng của
các hạt cơ bản được biểu diễn qua phương trình tích phân Fredholm. Điều
này chứng tỏ, việc tìm ra lời giải cho các phương trình vi – tích phân mới
xuất hiện song hành với sự phát triển của khoa học và công nghệ.
Do vậy, tôi nhận thấy việc tìm hiểu về phép biến đổi tích phân Hankel
và áp dụng vào giải các phương trình vi - tích phân là cần thiết và có ý
nghĩa thực tiễn nên tôi quyết định chọn đề tài “Phép biến đổi tích phân
Hankel và ứng dụng ” làm đề tài nghiên cứu của mình.
2. Mục tiêu đề tài
Luận văn nghiên cứu các định nghĩa tính chất và một số ứng dụng
của phép biến đổi tích phân Hankel.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Phép biến đổi tích phân Hankel, phép biến
đổi Hankel ngược trên nửa trục và trên đoạn hữu hạn.
- Phạm vi nghiên cứu: Luận văn tìm hiểu các khái niệm, định nghĩa,
đính lý liên quan, từ đó đưa ra ứng dụng vào giải quyết một số phương
trình và bài toán vật lí.
4. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn được nghiên cứu dựa trên các phương pháp:
- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu
3
kinh điển và các bài báo mới, tổng hợp và trình bày báo cáo tổng quan.
- Tham khảo, trao đổi với cán bộ hướng dẫn.
- Tham khảo một số bài báo đã đăng trên các tạp chí khoa học.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng. Có thể sử dụng luận
văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán và những người
không chuyên toán cần các kết quả của toán để ứng dụng cho các bài toán
thực tiễn của mình.
6. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba
chương. Chương 1, trình bày lại một số các kiến thức về biến đổi Fourier,
hàm Bessel, tích phân suy rộng. Chương 2, trình bày định nghĩa tính chất
và ứng dụng của phép biến đổi Hankel trên nửa trục. Chương 3, trình bày
định nghĩa tính chất và ứng dụng của phép biến đổi Hankel trên đoạn hữu
hạn.
4
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. TÍCH PHÂN SUY RỘNG
1.1.1. Tích phân suy rộng loại 1
Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm f : [a, +∞) → R khả tích trên mọi
đoạn hữu hạn [a, A]. Tích phân suy rộng loại 1 của f trên [a, +∞) được
xác định bởi
Z
+∞
a
f(x)dx = lim
A→+∞
Z
A
a
f(x)dx. (1.1)
Nếu giới hạn (1.1) tồn tại và hữu hạn ta nói Z
+∞
a
f(x)dx hội tụ. Trong
trường hợp ngược lại, ta nói Z
+∞
a
f(x)dx phân kỳ.
Một cách tương tự cho các trường hợp (−∞, a) và (−∞, +∞) với giải
thiết f khả tích trên mọi đoạn hữu hạn
Z
a
−∞
f(x)dx = lim
A→−∞ Z
+∞
−∞
f(x)dx = lim
A→+∞
B→−∞
Z
A
B
f(x)dx. (1.2)
1.1.2. Tích phân suy rộng loại 2
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử f(x) xác định trong [a; b) , −∞ < a <
b < +∞ nhưng không bị chặn tại điểm b và trên mọi [a, b−η], 0 < η < b−a
nó khả tích.
Giới hạn của Z
b−η
a
f(x)dx (nếu có) khi η → 0 được gọi là tích phân suy rộng
5
loại 2 của hàm f(x), trên [a, b] và ký hiệu là:
Z
b
a
f(x)dx = lim
η→0
Z
b−η
a
f(x)dx. (1.3)
Nếu giới hạn (1.3) tồn tại và hữu hạn thì Z
b
a
f(x)dx gọi là hội tụ. Trường
hợp ngược lại gọi là phân kỳ.
Tương tự, nếu hàm f(x) xác định trên (a, b] và không bị chặn tại a, khi
tích phân trên mọi [a + η
0
, b] với 0 < η0 < b − a thì
Z
b
a
f(x)dx = lim
η
0→0
Z
b
a+η
0
f(x)dx.
Trường hợp trên [a, b] có một số hữu hạn điểm c0, c1, c2, ..., cm mà tại đó
hàm f(x) không bị chặn với a = c0 < c1 < c2 < ... < cm = b, thì ta định
nghĩa tích phân suy rộng bởi
Z
b
a
f(x)dx =
X
m
k=1
Z
ck
ck−1
f(x)dx,
trong đó Z
b
a
f(x)dx hội tụ nếu và chỉ nếu tất cả các tích phân
Z
ck
ck−1
f(x)dx, k = 1, 2, ..., m hội tụ.
1.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
1.2.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng
Định nghĩa 1.2.1. Phương trình có dạng
y
0 + py = f(x) (1.4)
ở đây, p, q là các hằng số còn f(x) là một hàm đã biết, được gọi là phương
trình vi phân tuyến tính cấp một hệ số hằng.
Nếu trong (1.4) f(x) = 0 thì phương trình đã cho được gọi là phương trình
6
không thuần nhất, trong trường hợp ngược lại ta nói phương trình thuần
nhất.
Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp một thuần nhất với hệ số hằng:
y
0 + py = 0. (1.5)
Nếu y 6= 0, có thể viết lại
dy
y
= −pdx, (1.6)
Suy ra,
ln |y| = −
Z
pdx + ln|C| C là hằng số tùy ý
Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1.5) là
y = C exp(−
Z
pdx), (1.7)
chú ý rằng y = 0 cũng là một nghiệm của (1.5) và là một nghiệm riêng
ứng với C = 0.
1.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
Định nghĩa 1.2.2. Phương trình có dạng:
y
00 + py
0 + qy = f(x), (1.8)
ở đây p, q là các hằng số còn f(x) là một hàm đã biết, được gọi là phương
trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng.
Nếu trong (1.8) f(x) = 0 thì phương trình đã cho được gọi là phương trình
không thuần nhất, trong trường hợp ngược lại ta nói phương trình thuần
nhất.
Xét phương trình vi phân bậc hai thuần nhất với hệ số hằng:
y
00 + py
0 + qy = 0. (1.9)
Nghiệm của (1.9) có dạng y = e
rx, trong đó r là một số thực chưa biết.
Thay y
0 = rerx, y00 = r
2
e
rx và (1.9) ta nhận được
e
rx(r
2 + pr + q) = 0.
Vì e
rx luôn khác 0 nên phương trình trên tương đương với:
r
2 + pr + q = 0. (1.10)
7
Định nghĩa 1.2.3. Phương trình bậc hai (1.10) ứng với biến r được
gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.9). Đa thức bậc hai
F(r) = r
2 + pr + q được gọi là đa thức đặc trưng của phương trình (1.9)
Giải phương trình (1.10) ta nhận được các nghiệm r1, r2. Có thể xuất hiện
3 trường hợp sau:
Trường hợp 1: r1= r2 ∈ R, nghiệm tổng quát của (1.8) là
y = C1e
r1x + C2e
r2x
. với C1, C2 là hằng số. (1.11)
Trường hợp 2: r1 = r2 = r ∈ R, nghiệm của (1.8) là
y = C1y1 + C2y2 = e. (1.12)
Trường hợp 3: r1, r2 ∈ C, nghiệm tổng quát của (1.8) là
y = e
ax(C1 cos bx + C2 sin bx). (1.13)
1.3. PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER
Định nghĩa 1.3.1. Phép biến đổi Fourier của hàm f(x) kí hiệu là
F {f(x)} = F(k), k ∈ R, và được định nghĩa bởi tích phân sau
F {f(x)} = F(k) = 1
2π
Z
+∞
−∞
e
−ikxf(x)dx, (1.14)
trong đó f(x) khả tích tuyệt đối trên (−∞, +∞).
Phép biến đổi ngược của phép biến đổi Fourier được kí hiệu là F−1 {F(k)} =
f(x), được định nghĩa bởi
F−1
{F(k)} = f(x) = Z
+∞
−∞
e
ikxF(k)dk. (1.15)
Định nghĩa 1.3.2. Tương tự phép biến đổi Fourier một chiều, ta
định nghĩa phép biến đổi Fourier nhiều chiều của hàm f(x) trong đó x
= (x1, x2, x3, ..., xn) là vectơ n - chiều như sau:
F {f(x)} = F(κ) = 1
(2π)
n/2
Z
+∞
−∞
... Z
+∞
−∞
exp {−i(κ · r} f(x)dx, (1.16)
ở đây, κ = (k1, k2, ..., kn) là biến đổi vectơ n-chiều và κ · x = (k1x1 +
8
k2x2 + ... + knxn).
Phép biến đổi ngược Fourier n - chiều định nghĩa bởi
F−
{F(κ)} = f(x) = 1
(2π)
n/2
Z
+∞
−∞
... Z
+∞
−∞
exp {i(κ · r} F(κ)dκ. (1.17)
Đặc biệt, phép biến đổi Fourier 2-chiều và nghịch đảo của nó được
định nghĩa
F {f(x, y)} = F(k, l) = 1
(2π)
Z
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
exp {−i(κ · r} f(x, y)dxdy, (1.18)
ở đây r = (x, y) và κ = (k, l).
F−
{F(k, l)} = f(x, y) = 1
(2π)
Z
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
exp {i(κ · r} F(k, l)dkdl. (1.19)
Tương tự ta cũng có phép biến đổi Fourier 3-chiều và nghịch đảo của
nó được định nghĩa là
F {f(x, y, z)} = F(k, l, m)
=
1
(2π)
3
2
Z
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
exp {−i(κ · r)} f(x, y, z)dxdydz,
F−1
{F(k, l, m)} = f(x, y, z)
=
1
(2π)
3
2
Z
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
exp {i(κ · r)} F(k, l, m)dkdldm.
Định nghĩa 1.3.3 (định nghĩa tích chập trong biến đổi Fourier).
Tích chập của hai hàm khả tích f(x) và g(x), kí hiệu là (f ∗ g)(x) định
nghĩa như sau
(f ∗ g)(x) = a
√
2π
Z
+∞
−∞
f(x − ζ)g(ζ)dζ. (1.20)
9
1.4. HÀM BESSEL
1.4.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.4.1. Cho phương trình
d
2
y
dx2
+
1
x
dy
dx +
1 −
ν
2
x
2
y = 0, (1.21)
với ν là hằng số,(1.21) được gọi là phương trình Bessel và nghiệm của nó
được gọi là hàm Bessel. Ta có thể tìm được 2 nghiệm của phương trình
(1.21) là Jν(x) và J−ν(x).
Nếu ν không là số nguyên
Jν(x) = X
∞
r=0
(−1)r
x
2
ν+2r
r!Γ(ν + r + 1). (1.22)
Nếu ν là số nguyên
J−n(x) = X
∞
r=0
(−1)r
x
2
−n+2r
r!Γ(−n + r + 1). (1.23)
Sử dụng Γ(n−r) Γ(1−n+r) = π giảm bớt (n−r)π, vì vậy Γ(1−n+r)
là vô hạn khi r = 0, 1, 2, ...,(n − 1). Vì thế,
J−n(x) = X
∞
r=n
(−1)r
x
2
−n+2r
r!Γ(−n + r + 1). (1.24)
Khi r = s + n, trở thành
J−n(x) = X
∞
s=0
(−1)s+n
x
2
n+2s
(s + r)!Γ(s + 1)
= (−1)nX
∞
s=0
(−1)s
x
2
n+2s
s!Γ(n + s + 1)
= (−1)n
Jn(x). (1.25)
Khi ν = 0 nghiệm đầu của phương trình Bessel có dạng
J0(x) = X
∞
r=0
(−1)r
x
2
2r
s!Γ(r + 1) = 1 −
x
2
2
2
+
x
4
2
24
2
−
x
6
2
24
26
2
+ ... .
10
1.4.2. Tích phân Bessel
Với t
−n = J−n(x). Ta có,
exp
x
2
t −
1
t
=
X
+∞
−∞
t
n
Jn(x). (1.27)
Cho phương trình
exp(−ix sin θ),
thay t = e
−iθ vào (1.27),
exp
−
1
2
x(e
iθ − e
−iθ)
=
X
+∞
−∞
(−1)n
e
inθJn(x)
= J0(x)+X
∞
n=1
(−1)n
e
inθ + (−1)n
e
−inθ
Jn(x). (1.28)
Khi J−nx = (−1)nJn(x) kết quả là
e
iθ − e
−iθ = 2isin θ
(−1)n
e
inθ + e
−inθ = 2 cos nθ, n lẻ.
= −2isin nθ, n chẵn. (1.29)
Suy ra
exp(−ix sin θ) = J0(x) + 2X
∞
n=1
J2n(x) cos 2nθ
− 2i
X
∞
n=0
J2n+1(x) sin(2n + 1)θ.
Từ (1.28), viết lại
exp(−ix sin θ) = J0(x) +X
∞
n=0
(−1)n
e
inθ + e
−inθ
Jn(x), (1.30)
với Z
2π
0
e
inθdθ = 2π, khi đó r = 0 và triệt tiêu khi r là số nguyên, phép
nhân của (1.30) với e
inθ và lấy tích phân theo biến θ từ 0 đến 2π được
Z
2π
0
exp {i(nθ − x sin θ)} dθ = 2πJn(x). n = 0, 1, 2, 3, ... (1.31)