Phép biến đổi fourier trên nhóm hữu hạn và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

NGUYỄN TẤN NGUYỆN

BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN NHÓM HỮU HẠN

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8.46.01.02

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2018

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: TS. PHAN ĐỨC TUẤN

Phản biện 1:

.................................................

Phản biện 2:

.................................................

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày

17 tháng 06 năm 2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Việc biểu diễn một hàm tuần hoàn thành tổng các hàm lượng giác

được Fourier đưa ra lần đầu tiên dựa theo các công trình trước đó của

Euler, D’Alembert và Daniel Bernoulli. Về sau nó được gọi là chuỗi Fourier

và được xác định như sau:

a0

2

+

X

+∞

n=1

(an cos nx + bn sin nx),

trong đó

an =

1

π

Z

π

−π

f(x) cos(nx)dx, n = 0, 1, 2, ...

bn =

1

π

Z

π

−π

f(x) sin(nx)dx, n = 1, 2, 3, ...

Trên cơ sở đó, Fourier đã đưa ra khái niệm phép biến đổi Fourier trên

L

1

(−π, π) và L

2

(−π, π). Sau đó, phép biến đổi này được phát triển nhiều

lần bởi các nhà toán học như Riemann Cantor và Lebesgue. Vào các năm

1807, 1811 Fourier đã công bố các công trình đầu tiên của mình về áp dụng

phép biến đổi Fourier để giải phương trình nhiệt. Cho đến nay phép biến

đổi Fourier đã được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau như: Vật

lý, Số học, xử lý tín hiệu, xác suất thống kê, mật mã, âm học, Hải dương

học, Quang học, Hình học, tần số sóng của Rada, định vị GPS, ...

Trong các không gian L

2

tổng quát ta luôn xây dựng được chuỗi Fourier

trên đó. Do vậy, nếu xây dựng được cấu trúc không gian L

2

trên nhóm hữu

hạn G thì ta cũng xây dựng được chuỗi Fourier trên nhóm. Năm 1989,

2

Arthus đã tìm thấy một số ví dụ về chuỗi Fourier trên nhóm hữu hạn. Đây

chính là các tiền đề quan trọng để các nhà toán học sau này xây dựng thành

công không gian L

2

(G) và phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn.

Với rất nhiều ứng dụng đã biết của phép biến đổi Fourier, nên tôi hi

vọng cũng tìm được các ứng dụng tương tự cho phép biến đổi Fourier trên

nhóm hữu hạn. Để làm được điều này cần phải hiểu rõ ràng về phép biến

đổi Fourier trên nhóm hữu hạn nên tôi đã chọn đề tài: “PHÉP BIẾN ĐỔI

FOURIER TRÊN NHÓM HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG” làm đề tài luận

văn thạc sĩ.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu, tìm hiểu và trình bày một cách có hệ thống các kết quả

của phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn. Ứng dụng các kết quả trên

vào giải quyết phương trình trên nhóm Abel hữu hạn và ứng dụng trong

Vật lý.

3. Đối tượng nghiên cứu

Phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn, một số vấn đề trong Vật lý

và Giải tích liên quan đến phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn.

4. Phạm vi nghiên cứu

Định nghĩa, một số tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier trên

nhóm hữu hạn, phép biến đổi ngược và tích chập của nó. Ứng dụng vào

nguyên lý bất định Heisenberg và giải phương trình trên nhóm Abel.

5. Phương pháp nghiên cứu

Dựa vào các kết quả đã biết của phép biến đổi Fourier cổ điển để nghiên

3

cứu các kết quả tương tự cho phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết, có thể sử dụng luận văn làm tài liệu

tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán. Luận văn cũng là tài liệu tham

khảo tốt cho những người nghiên cứu Vật lý.

7. Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn được trình bày trong ba chương. Ngoài ra, luận văn

có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Tài

liệu tham khảo.

Chương 1: Trình bày đầy đủ các khái niệm và tính chất liên quan đến

nhóm hữu hạn và không gian Hilbert. Giới thiệu về biến đổi Fourier trên

lớp Schwartz.

Chương 2: Xây dựng không gian L

2

(G), đưa ra các định nghĩa, định

lý và tính chất trong không gian L

2

(Gb) và L

2

(G).

Chương 3: Ứng dụng của biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn vào chứng

minh nguyên lý bất định Heisenberg, hàm "Gaussian" và giải phương trình

trên nhóm Abel hữu hạn.

4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Lý thuyết nhóm hữu hạn

Định nghĩa 1.1.1. Cho G là một tập hợp khác rỗng, . là phép toán hai

ngôi trên G. (G, .) được gọi là một nhóm nếu nó thỏa mãn các điều kiện

sau:

• ∀x, y, z ∈ G,(x.y).z = x.(y.z)

• ∃e ∈ G : x.e = e.x = x, ∀x ∈ G

• ∀x ∈ G, ∃x

0 ∈ G : x.x0 = x

0

.x = e

Định nghĩa 1.1.2. Nhóm G được gọi là nhóm hữu hạn nếu nó có hữu

hạn phần tử. Ngược lại nếu nó có vô hạn phần tử thì gọi là nhóm vô hạn.

Định nghĩa 1.1.3. Cấp của nhóm G chính là số phần tử của nhóm G.

Kí hiệu: |G|.

Định nghĩa 1.1.4. Một tập con H của nhóm (G, .) được gọi là tập con

ổn định của nhóm G nếu với mọi x, y ∈ H, xy ∈ H. Khi đó phép toán

nhân thu hẹp trên H xác định một phép toán trên H mà ta gọi là phép

toán cảm sinh trên H.

Định nghĩa 1.1.5. Nhóm con H của nhóm G là một tập con ổn định

của nhóm G sao cho cùng với phép toán cảm sinh H là một nhóm. Kí hiệu

H ≤ G.

Định lí 1.1.6. Cho H là một tập con khác rỗng của nhóm (G, .). Các

mệnh đề sau tương đương:

(i) H ≤ G;

5

(ii) Với mọi x, y ∈ H, xy ∈ H và x

−1 ∈ H;

(iii) Với mọi x, y ∈ H, x

−1

y ∈ H.

Định nghĩa 1.1.7. Cho S là tập con của nhóm G. Nhóm con sinh bởi

S là nhóm con nhỏ nhất của G chứa S và được kí hiệu là hSi. Tập hợp

S được gọi là tập sinh của nhóm hSi. Nếu S hữu hạn: S = {x1, ..., xn}

thì ta nói hSi là nhóm hữu hạn sinh với các phần tử sinh x1, ..., xn mà ta

thường kí hiệu nhóm này là hx1, ..., xni.

Định nghĩa 1.1.8. Cho G là một nhóm. Nhóm con hai của G sinh bởi

phần tử a ∈ G được gọi là nhóm con cyclic sinh bởi a. Nếu tồn tại phần

tử a ∈ G sao cho hai = G thì ta nói G là một nhóm cyclic và a là phần

tử sinh của G.

Định nghĩa 1.1.9. Cấp của một phần tử a trong nhóm G là cấp của

nhóm con cyclic hai. Kí hiệu: |a|.

Hệ quả 1.1.10. Cho (G, .) là một nhóm và a ∈ G. Ta có:

(i) a có cấp vô hạn khi và chỉ khi với mọi k ∈ Z, nếu a

k = e thì

k = 0.

(ii) a có cấp hữu hạn khi và chỉ khi tồn tại k ∈ Z

∗

sao cho a

k = e.

(iii) Nếu a có cấp hữu hạn thì cấp của a là số nguyên dương n nhỏ

nhất sao cho a

n = e. Hơn nữa, khi đó với mọi k ∈ Z, ak = e khi

và chỉ khi k là bội số của n.

Định lí 1.1.11. Cho (G, .) là một nhóm và H là một nhóm con của

G. Xét quan hệ ∼ trên G như sau:

x ∼ y ⇔ x

−1

y ∈ H.

Khi đó:

6

(i) ∼ là một quan hệ tương đương trên G.

(ii) Lớp tương đương chứa x là x = xH, trong đó

xH = {xh|h ∈ H}.

Ta gọi xH là lớp ghép trái của H. Tập hợp thương của G theo quan

hệ ∼, kí hiệu là G/H, được gọi là tập thương của G trên H và |G/H| là

chỉ số của nhóm con H trong G, kí hiệu là [G : H].

Chú ý 1.1.12. Hoàn toàn tương tự, ta định nghĩa được quan hệ ∼0

trên

G như sau:

x ∼

0

y ⇔ xy−1 ∈ H.

Khi đó ∼0

cũng là một quan hệ tương đương trên G và lớp tương đương

chứa x là x = Hx, trong đó Hx = {hx|h ∈ H}. Ta gọi Hx là lớp ghép

phải của H.

Định lí 1.1.13 (Định lý Lagrange). Cho G là một nhóm hữu hạn và H

là một nhóm con của G. Khi đó:

|G| = |H|[G : H].

Hệ quả 1.1.14. Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó:

(i) Cấp của mỗi nhóm con của G là một ước số của cấp của nhóm G.

(ii) Cấp của mỗi phần tử thuộc G là một ước số của cấp của nhóm G.

(iii) Nếu G có cấp nguyên tố thì G là nhóm cyclic và G được sinh bởi

một phần tử bất kì khác e.

Hệ quả 1.1.15 (Định lý nhỏ của Fecma). Nếu p là một số nguyên tố

thì a

p − a chia hết cho p.

Định nghĩa 1.1.16. Cho hai nhóm hG, .i, hG0

, .

0

i. G và G0

được gọi là

đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một hàm tuyến tính φ : G → G0

sao cho

φ(a.b) = φ(a).

0φ(b). Kí hiệu G ' G0

.

7

1.2. Không gian Hilbert

1.2.1. Tích vô hướng, không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2.1. Cho H là một không gian vectơ trên trường K. Tích

vô hướng xác định trên H là một ánh xạ xác định như sau:

h., .i :H × H → K

(x, y) → hx, yi

thỏa mãn các tiên đề sau:

• hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H.

• hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H.

• hλx, yi = λhx, yi với mọi x, y ∈ H và λ ∈ K.

• hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H và hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0.

hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y.

Cặp (H,h., .i) được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không

gian Unita).

Ví dụ 1.2.2.

1. Lấy X = R

n

, với x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) ∈ X và biểu

thức:

hx, yi =

X

n

i=1

xiyi

xác định một tích vô hướng trên R

n

2. Lấy X = C[0;1] không gian gồm các hàm liên tục trên [0; 1] nhận giá trị

phức với x, y ∈ X, biểu thức

hx, yi =

Z

1

0

x(t)y(t)dt,

8

xác định một tích vô hướng trên C[0;1]. Khi đó không gian này là không

gian tiền Hilbert và thường kí hiệu C

L

[0;1].

Tính chất 1.1.

(i) Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz: |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi

(ii) Đẳng thức hình bình hành: ||x + y||2+||x − y||2 = 2 

||x||2 + ||y||2



(iii) Nếu lim xn = x0, lim yn = y0 thì lim hxn, yni = hx0, y0i

Định lí 1.2.3. Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó,

kxk = hx, xi

1

2 , x ∈ H

xác định một chuẩn trên H.

Định nghĩa 1.2.4. Cho không gian tiền Hilbert H, theo Định lý (1.2.3)

thì H là một không gian tuyến tính định chuẩn. Nếu H là không gian đầy

đủ thì ta gọi H là không gian Hilbert.

Ví dụ 1.2.5.

1) Lấy H = C

n

với tích vô hướng xác định bởi hệ thức

hx, yi =

X

n

i=1

xiyi

,

trong đó x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) ∈ C

n

. Khi đó H là

một không gian Hilbert.

2) Cho (Ω, B, µ) là một không gian độ đo. Kí hiệu:

L

2

(Ω) = {f : Ω → C :

Z

Ω

|f(x)|

2

dµ < ∞}.

Với tích vô hướng

hf, gi =

Z

Ω

f(x)g(x)dµ,

L

2

(Ω) là một không gian Hilbert.