Phép biển đổi Copula và ứng dụng trong quản trị rủi ro: Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường / Lê Phương chủ nhiệm đề tài

NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP. HỒ CHÍ MINH

ĐỀ TÀI

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

PHÉP BIẾN ĐỔI COPULA VÀ ỨNG DỤNG

TRONG QUẢN TRỊ RỦI RO

Mã số: CT-1906-121

Chủ nhiệm đề tài: LÊ PHƯƠNG

TP. HỒ CHÍ MINH – NĂM 2020

Mục lục

1 Giới thiệu về copula 3

1.1 Copula và định lý Sklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Phép biến đổi copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Phép biến đổi copula dạng hàm hợp 8

2.1 Hàm hợp của M và W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Hàm hợp của Π và W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Hàm hợp của M và Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Phép biến đổi bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Ứng dụng của copula trong quản trị rủi ro 25

3.1 Tổng quan về rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Đo lường rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Giá trị rủi ro VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Các phương pháp ước lượng VaR . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Kết luận 34

Tài liệu tham khảo 36

1

Danh sách hình vẽ

1.1 Ba loại copula cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Phép biến đổi bậc hai trên M và W. . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Phép biến đổi bậc hai trên Π và W. . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Phép biến đổi bậc hai trên M và Π. . . . . . . . . . . . . . . . 22

2

Chương 1

Giới thiệu về copula

Copula đóng vai trò trung tâm trong việc mô hình hóa sự phụ thuộc nhiều

biến như đã được khẳng định trong định lý Sklar. Định lý này nói rằng copula

liên kết các phân phối biên lại để tạo thành phân phối nhiều chiều. Copula

được sử dụng để xác định mức độ phụ thuộc phi tham số giữa các biến ngẫu

nhiên. Vì vậy, copula được ứng dụng rộng rãi trong thị trường tài chính, ngân

hàng, bảo hiểm, biến đổi khí hậu, sinh trắc học và các lĩnh vực khác. Một số

ứng dụng cụ thể của copula trong các nghiên cứu gần đây được đề cập trong

bài báo khảo cứu của Bhatti và Đỗ [1].

1.1 Copula và định lý Sklar

Khái niệm Copula được Abe Sklar đưa vào xác suất thống kê từ năm 1959.

Nhưng trong khoảng hơn 2 thập kỉ trở lại đây, do nhu cầu quản lí và đo

lường rủi ro tài chính lí thuyết copula mới được phát triển mạnh mẽ.

Mặc dù các loại copula n-biến với n ≥ 2 được định nghĩa và nghiên cứu

bởi nhiều tác giả (xem các sách chuyên khảo [2,7]), đề tài này chỉ tập trung

nghiên cứu về copula hai biến. Vì vậy, chúng ta chỉ đưa ra định nghĩa cho

copula hai biến.

Định nghĩa 1.1. Copula (hai biến) là hàm số C : [0, 1]2 → R thỏa mãn các

tính chất

(i) C(x, 0) = C(0, x) = 0 với mọi x ∈ [0, 1],

(ii) C(x, 1) = C(1, x) = x với mọi x ∈ [0, 1],

(iii) (2-tăng) với mọi x1, x2, y1, y2 ∈ [0, 1] với x1 ≤ x2 và y1 ≤ y2,

VC([x1, x2]×[y1, y2]) := C(x2, y2)−C(x1, y2)−C(x2, y1)+C(x1, y1) ≥ 0.

3

CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ COPULA 4

Nhận xét 1. Chúng ta có thể suy ra từ Định nghĩa 1.1 rằng C : [0, 1]2 → [0, 1]

và C là không giảm theo mỗi biến. Thật vậy, với mọi x1, x2, y ∈ [0, 1] thỏa

mãn x1 ≤ x2, ta có

C(x2, y) − C(x1, y) = VC([x1, x2] × [0, y]) ≥ 0.

Vì vậy C(x, y) là không giảm theo biến x. Tương tự, C(x, y) là không giảm

theo biến y. Mặt khác, với mọi x, y ∈ [0, 1], ta có

C(x, y) ≥ C(0, x) = 0

và

C(x, y) ≤ C(1, x) = x ≤ 1.

Điều đó có nghĩa là C : [0, 1]2 → [0, 1].

Tầm quan trọng của copula trong lĩnh vực xác suất thống kê được đề cập

trong định lý Sklar. Trong phạm vi đề tài, chúng ta chỉ phát biểu một trường

hợp riêng của định lý này cho các copula hai biến.

Định lí 1.1 (Định lý Sklar [2,7]). Cho H(x, y) là phân phối hỗn hợp với các

phân phối biên F1(x), F2(y). Khi đó tồn tại một copula C sao cho

H(x, y) = C(F1(x), F2(y))

với mọi x, y ∈ R ∪ {±∞}. Nếu F1, F2 là liên tục, thì copula C tương ứng với

H là duy nhất và được xác định bởi

C(x, y) = H(F

−1

1

(x), F −1

2

(y)).

Copula được biết đến nhiều nhất là copula độc lập được cho bởi công

thức

Π(x, y) = xy với mọi x, y ∈ [0, 1].

Đây là copula được sử dụng để mô tả sự độc lập của các biến ngẫu nhiên.

Một số ví dụ khác về copula là chặn dưới Fréchet-Hoeffding

W(x, y) := (x + y − 1)+

và chặn trên Fréchet-Hoeffding

M(x, y) := x ∧ y,

với x ∧ y = min{x, y} và x

+ = max{x, 0}. Hình 1.1 minh họa dạng đồ thị

của ba loại copula này.

Các chặn Fréchet-Hoeffding đóng vai trò quan trọng trong tính sắp thứ

tự (một phần) trên tập hợp tất cả các copula. Điều này được thể hiện trong

định lý sau.