Phân tích ma trận và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ THỊ HƯƠNG TRANG

PHÂN TÍCH MA TRẬN VÀ

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ THỊ HƯƠNG TRANG

PHÂN TÍCH MA TRẬN VÀ

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGUYỄN THANH SƠN

Thái Nguyên - 2016

i

Mục lục

Danh sách thuật toán iii

Lời nói đầu 1

Chương 1. Phân tích ma trận 3

1.1 Phân tích LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Phân tích Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Phân tích QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.2 Phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.3 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Phân tích giá trị kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2 Phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.3 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

ii

1.4.4 Phân tích giá trị kỳ dị suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Phân tích ma trận trong phần mềm MATLAB . . . . . . . . . . . 22

Chương 2. Ứng dụng 23

2.1 Ứng dụng trong giải phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 Định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.2 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phân tích QR . . . . 24

2.1.3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp LU . . 25

2.1.4 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phân tích Cholesky . 25

2.1.5 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phân tích SVD . . . 26

2.1.6 Nhận xét và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Ứng dụng trong nén ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.1 Cơ chế lưu ảnh kỹ thuật số . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.2 Nén ảnh sử dụng phân tích SVD . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Bài toán bình phương tối thiểu không ràng buộc . . . . . . . . . . 29

2.3.1 Bài toán hạng đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.2 Bài toán hạng khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Bài toán bình phương tối thiểu với ràng buộc . . . . . . . . . . . . 35

2.4.1 Bài toán với ràng buộc bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . 35

2.4.2 Bài toán với ràng buộc đẳng thức . . . . . . . . . . . . . 38

Kết luận 40

Tài liệu tham khảo 41