Noi dung SGK ĐS 11 (NC) chương 3,4

Sau đây là nội dung sách giáo khoa ĐS 11( nâng cao) Chương 3 và chương 4

(Sao chép những gì cần thiết vào trong cột “nôi dung kiến thức cần đạt” trong gíao án của mình,

các cột khác phải tự mình soạn theo ý của mỗi người)

Chương 3:

Dãy sô. Cấp số cộng và cấp số nhân

I.PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

1. Phương pháp quy nạp toán học

Trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học ( số học, hình học, giải tích...) ta thường gặp những bài toán

với yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương của

biến n. Ví dụ sau

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có:

(1)

Giải: Ta thấy (1) đúng khi n=1. (2)

Ta sẽ chứng minh khẳng định sau:

"Với k là một số nguyên dương tùy ý, nếu (1) đúng với n=k thì nó cũng đúng với n=k+1" (3). Thật vậy:

Nếu (1) đúng với n=k tức là:

Suy ra:

, tức là (1) đúng với n=k+1.

Từ (2) và (3) ta suy ra (1) đúng với mọi giá trị nguyên dương của n.

Một cách khái quát:

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương của n, ta thực hiện hai bước sau:

Bước 1: ( bước cơ sở hay bước mở đầu) Chứng minh A(n) đúng khi n=1.

Bước 2: ( bước quy nạp hay bước di truyền) Với k là một số nguyên dương, xuất phát từ giả thiết ( được gọi là giả thiết quy

nạp) A(n) đúng với n=k, ta chứng minh A(n) cũng là mệnh đề đúng với n=k+1.

Pháp pháp vừa nêu trên gọi là phương pháp quy nạp toán học

2. Một số ví dụ

Ví dụ 1: CMR với , ta luôn có: (4)

Giải: Bước 1: Dễ thấy (4) đúng với n=1.

Bước 2: Giả sử (4) đúng với , tức là:

Ta CM (4) cũng đúng với n=k+1, tức là:

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy (4) đúng với

Tương tự, hãy CM:

Ví dụ 2: CMR với mọi số nguyên dương , ta luôn có:

(5)

Giải

Bước 1: Với n=3, dễ thấy (5) đúng

Bước 2: Giả sử (5) đúng khi , tức là:

ta sẽ CM nó cũng đúng với n=k+1, tức là:

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy (5) đúng với mọi số nguyên dương

II. DÃY SỐ

1. Định nghĩa và ví dụ

Ở các lớp dưới, qua việc giải bài tập, ta đã làm quen với khái niệm dãy số. Khi đó, nói tới dãy số ta hiểu

đó là kết quả thu được khi viết liên tiếp các số theo một quy tắc nào đó. Chẳng hạn, khi viết liên tiếp các

lũy thừa với số mũ tự nhiên của , theo thứ tự tăng dần của số mũ, ta được dãy số:

(1)

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu là số nằm ở vị trí thứ n (kể từ trái qua phải) của dãy số (1), ta có:

.

Điều đó cho thấy dãy số (1) thể hiện một quy tắc mà nhờ nó, ứng với mỗi số nguyên dương n, ta xác định

được duy nhất một số thực . Vì thế, ta có thể coi dãy số (1) là một hàm số xác định trên tập hợp các số

nguyên dương.

Định nghĩa 1:

Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn ( hay

còn gọi là dãy số)

Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là một số hạng của dãy số, được gọi là số hạng thứ i của dãy

số.

Người ta thường kí hiệu dãy số bởi và gọi là số hạng tổng quát của dãy số đó.

Ví dụ: Hàm số xác định trên tập là một dãy số. Dãy số này có vô số số hạng:

Chú ý: Người ta cũng gọi một hàm xác định trên tập hợp gồm m số nguyên dương đầu tiên là một dãy số.

Trường hợp này dãy số chỉ có hữu hạn số hạng và được gọi là dãy số hữu hạn, gọi là số hạng đầu và

là số hạng cuối.

Ví dụ: Hàm số xác định trên tập hợp M={1;2;3;4;5} là một dãy số hữu hạn, dãy này có 5 số

hạng và có thể viết dưới dạng khai triển:

2. Các cách cho một dãy số

Một dãy số được coi là xác định nếu ta biết cách tìm mọi số hạng của nó. Từ đó, người ta thường cho dãy

số bằng một trong các cách sau:

Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát

Chẳng hạn: "Cho dãy số

Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi ( hay còn gọi là cho bằng quy nạp)

Ví dụ: Xét dãy số xác định bởi:

(2)

Rõ ràng, với cách cho như trên, ta có thể tìm được số hạng tùy ý của dãy đó.

Một ví dụ khác: Xét dãy số xác định bởi:

(3)

Người ta nói công thức (2), (3) trên là các hệ thức truy hồi

Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

Định nghĩa:

Dãy số u(n) gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có