Nghiên cứu về hệ mô tả và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

DƯƠNG THỊ THANH

NGHIÊN CỨU VỀ HỆ MÔ TẢ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 84.6.01.02

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng – Năm 2019

Công trình được hoàn thành tại:

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hải Trung

Phản biện 1: TS. Hoàng Nhật Quy.

Phản biện 2: TS. Trần Đức Thành.

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

(ghi ngành của học vị được công nhận) họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày

12 tháng 05 năm 2019.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

− Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

− Thư viện trường Đại học sư phạm Đà Nẵng, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1. Lý do lựa chọn đề tài

Lý thuyết điều khiển của hệ mô tả đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển của

khoa học và kỹ thuật. Lĩnh vực này hiện hữu khắp nơi từ hệ thống phi thuyền không

gian, hệ thống điều khiển tên lửa, máy bay không người lái, người máy, tay máy trong

các quy trình sản xuất hiện đại, và ngay cả trong đời sống hàng ngày: điều khiển nhiệt

độ, độ ẩm...vì vậy, việc nghiên cứu lý thuyết điều khiển của hệ mô tả là vấn đề cần thiết

và cần quan tâm.

Trong lĩnh vực Lý thuyết điều khiển đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà

toán học trên thế giới, có thể kể đến như: S.P Zubova, Y.V. Pakornưi, E.V Raeskaya, A.

Ailon, Lena Scholz. . . Trong các công trình của các tác giả nêu trên, các mô hình điều

khiển được nghiên cứu đều được mô tả dưới dạng các hệ phương trình vi phân đại số có

dạng:

x˙(t) = Ax(t) + Bu(t) (1)

với điều kiện đầu :

x(0) = a, x(T) = b (2)

hoặc hệ mô tả có dạng:

Ax˙(t) = Ax(t) + Bu(t) (3)

trong đó được gọi là hàm trạng thái, được gọi là hàm điều khiển. Các ma trận và các

hàm trạng thái và điều khiển thuộc các không gian tương ứng (với hàm ý là thực hiện

được các phép nhân giữa các ma trận với nhau). Với mục đích tìm hiểu sâu hơn về hệ (1)

và (2) và đồng thời nghiên cứu thêm về một dạng hệ điều khiển mô tả hệ số hằng dạng:

Ex˙(t) = Ax(t) + f(t) (4)

và hệ điều khiển mô tả với hệ số biến thiên dạng:

E(t) ˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t) (5)

y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) + g(t), x(t0) = x0

cùng với sự gợi ý từ TS. Lê Hải Trung, tôi quyết định chọn đề tài : “Nghiên cứu về hệ mô

tả và ứng dụng ” cho luận văn thạc sĩ của mình.

2

2. Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống lại các kiến thức về tính giải được của phương trình, hệ phương trình vi

phân đại số trong các tài liệu tham khảo khác nhau.

- Nghiên cứu về hệ mô tả tuyến tính, hệ mô tả phi tuyến.

- Ứng dụng lý thuyết điều khiển của hệ mô tả.

3. Đối tượng nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu về hệ điều khiển mô tả hệ số hằng dạng:

Ex˙(t) = Ax(t) + f(t)

và hệ điều khiển mô tả với hệ số biến thiên dạng:

E(t) ˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t)

y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) + g(t), x(t0) = x0.

4. Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu hệ Ex˙(t) = Ax(t) + f(t) và

E(t) ˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t)

y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) + g(t), x(t0) = x0

trong không gian các hàm biến thực.

5. Phương pháp nghiên cứu

Các kiến thức liên quan đến việc thực hiện luận văn thuộc các lĩnh vực : Đại số tuyến

tính, Giải tích, Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết về hệ mô tả . . .

3

Chương 1

Dẫn nhập về hệ mô tả

1.1 Các khái niệm cơ bản

Một hệ điều khiển có thể được viết dưới dạng

0 = F(t, x, x, t ˙ ), x(t0) = x0 (1.1)

y = G(t, x, u), (1.2)

trong đó F : I × Dx × Dx˙ × Du → R

l và G : I × Dx × Du → R

p

là các hàm liên tục,

Dx, Dx˙ ⊆ R

n và Du ⊆ R

m là tập mở, x0 ∈ R

n và I = [t0, tf ] ⊂ R . Phương trình (1.1)

được gọi là phương trình trạng thái và (1.2) được gọi là phương trình đầu ra. Hàm khả

vi liên tục x : I → R

n được gọi là hàm trạng thái của hệ, u : I → R

m là hàm đầu vào và

y : I → R

p

là hàm đầu ra của hệ.

Ta đưa vào các kí hiệu sau đây

x˙(t) = d

dtx(t), x¨(t) = d

2

dt2

x(t), ...

là các đạo hàm của x theo t và

F,x :=

∂

∂xF(t, x, x, u ˙ ), F,x˙

:=

∂

∂x˙

F(t, x, x, u ˙ )

cho các đạo hàm riêng của x theo t.

Nếu F,x˙ không thay đổi, phương trình trạng thái (1.1) có thể được biểu diễn lại như

phương trình vi phân thường (ODE):

x˙ = φ(t, x, u)

bằng cách sử dụng định lý hàm ẩn. Trong trường hợp này, (1.1) được gọi là phương trình

vi phân đại số (DAE). Trong thực tiễn, hệ (1.1) và (1.2) được gọi là hệ mô tả.

4

1.2 Ví dụ

Ví dụ 1.1. (Con lắc xe đẩy hàng). Xét một con lắc cứng có chiều dài l với điểm hội tụ

m2 gắn vào xe đẩy hàng có khối lượng m1 chỉ di chuyển theo phương ngang. Tình huống

này được mô tả trong hình 1.2. Chúng ta có những kí hiệu sau đây:

m1 khối lượng xe đẩy

m2 khối lượng con lắc

l chiều dài con lắc

g trọng lực

x1 vị trí ngang của giỏ hàng

(x2, x3) vị trí khối lượng m2

u ngoại lực tác dụng lên xe.

Chuyển động của hệ có thể được mô tả bởi các phương trình Euler-Lagrange (ELE),

với hàm Lagrange được cho bởi:

L(x, x, λ ˙ ) = T(x, x˙) − U(x) −

Xnc

k=1

λk, gk(x),

trong đó T(x, x˙) biểu thị cho động năng, U(x) biểu thị cho thế năng và g1(x) = 0, ...., gnc

(x) =

0 biểu thị các liên kết (lý tưởng) hạn chế chuyển động của hệ. Véc tơ λ =

h

λ1 ... λnc

iT

bao gồm các nhân tử Lagrange. Kí hiệu w =

h

x λ iT

. Sau đó, các phương trình Euler￾Lagrange được đưa ra bởi:

d

dt 

∂

∂w˙

L(w,w˙)



−

∂

∂wL(w,w˙) = Fex, (1.3)

trong đó Fex biểu thị (lực) tác động bên ngoài. Trong trường hợp con lắc xe đẩy hàng,

chúng ta có động năng T =

1

2m1x˙1

2 +

1

2m2( ˙x2

2 + ˙x3

2

), thế năng U = m2gx2 và liên kết

g(x) = (x2 − x1)

2 + x

2

3 − l

2

. Từ đó ta nhận được hàm Lagrange có dạng:

L =

1

2

m1x˙1

2 +

1

2

m2( ˙x2

2 + ˙x3

2

) − mgx3 − λ((x2 − x1)

2 + x

2

3 − l

2

).

Đặt x4 = ˙x1, x5 = ˙x2 và x6 = ˙x3, khi đó (1.3) được xác định bởi:







x˙ 1 = x4

x˙ 2 = x5

x˙ 3 = x6

m1( ˙x4) = 2λ(x2 − x1) + u

m2( ˙x5) = −2λ(x2 − x1)

m2( ˙x6) = −2λx3 − m2g

0 = (x2 − x1)

2 + x

2

3 − l

2

.

(1.4)

5

Vì ta chỉ quan tâm đến vị trí của con lắc, nên phương trình đầu ra có dạng

y =

"

0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 #

x =

"

x2

x3

#

.

Tuyến tính hóa (1.1) và (1.2) ta nhận được hệ mô tả tuyến tính với các hệ số biến thiên

có dạng:

E(t) ˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), x(t0) = x0

y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) + g(t)

(1.5)

với các hàm ma trận liên tục E, A : I → R

l×n

, B : I → R

l×m, C : I → R

p×n và

D : I → R

p×m và các hàm không đồng nhất liên tục f : I → R

l

, g : I → R

p

. Tương tự,

tuyến tính hóa (1.1) và (1.2) theo quỹ đạo tham chiếu không đổi tạo ra hệ mô tả tuyến

tính:

E(t) ˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), x(t0) = x0

y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) + g(t)

(1.6)

với E, A ∈ R

l×n

, B ∈ R

l×m , C ∈ R

p×n

, D ∈ R

p×m.

Chú ý 1.1. Trong các hệ không gian trạng thái tiêu chuẩn (LTV hoặc LTI) một trong

hai có E(t) = In = E và l = n. Do đó, chúng là những trường hợp đặc biệt của (1.5) và

(1.6).

Ví dụ 1.2. (Tuyến tính hóa con lắc xe đẩy hàng). Ta tiến hành tuyến tính hóa các phương

trình chuyển động (1.4) của ví dụ 1.1 dọc theo nghiệm cân bằng x¯ =

h

x¯1 ... x¯6 λ¯

i

=

h

0 0 −l 0 0 0 m2g

2l

i

. Sử dụng phép khai triển xi = ¯xi + ˆxi với i = 1, ..., 6 và

λ = λ¯ + λˆ ta có được:







x¯˙

1 + ˙xˆ1 = ¯x4 + ˆx4

x¯˙

2 + ˙xˆ2 = ¯x5 + ˆx5

x¯˙

3 + ˙xˆ3 = ¯x6 + ˆx6

m1(x¯˙

4 + ˙xˆ4) = 2(¯x2 + ˆx2 − x¯1 − xˆ1)(λ¯ + λˆ) + u

m2(x¯˙

5 + ˙xˆ5) = −2(¯x2 + ˆx2 − x¯1 − xˆ1)(λ¯ + λˆ)

m2(x¯˙

6 + ˙xˆ6) = −2(¯x3 + ˆx3)(λ¯ + λˆ) − m2g

0 = (x¯˙

2 + ˙xˆ2 − x¯1 − xˆ1)

2 + (¯x3 + ˆx3)

2 − l

2

(1.7)

Hoặc viết dưới dạng ma trận:



























1

1

1

m1

m2

m2

0



























| {z }

E

x˙ =



























0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0

−

m2g

l

m2g

l

0 0 0 1 0

m2g

l −

m2g

l

0 0 0 0 0

0 0 −

m2g

l

0 0 1 0

0 0 −2l 0 0 1 0



























| {z }

A

x +



























0

0

0

1

0

0

0



























| {z }

B

u

6

+



























0

0

0

0

0

−m2g

0



























| {z }

f

y =

"

0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 #

| {z }

C

x.

7

Chương 2

Tính điều khiển được của hệ mô tả

Định nghĩa 2.1. .

1. Hàm xˆ : I → R

n được gọi là một nghiệm (theo nghĩa cổ điển) của (1.1) nếu

xˆ ∈ C1

(I, R

n

) và xˆ thỏa mãn mỗi điểm (1.1) cho một số hàm đầu vào đã cho u.

2. Hàm xˆ : I → R

n được gọi là một nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (IVP) bao

gồm (1.1) và x(t0) = x0 ∈ R

n

, nếu xˆ là một nghiệm của (1.1) và thỏa mãn xˆ(t0) = x0.

3. Giá trị ban đầu x0 ∈ R

n được gọi là thuần nhất, nếu IVP tương ứng có ít nhất một

nghiệm.

Định nghĩa 2.2. Một vấn đề kiểm soát (1.1 ) được gọi là đồng nhất nếu tồn tại hàm

đầu vào u để cho (1.1) có nghiệm, và được gọi là không đổi nếu nó có một nghiệm duy

nhất cho mọi giá trị ban đầu phù hợp với hệ có đầu vào u.

Đối với đầu vào với u đã cho, hệ (1.1) biểu thị là một phương trình vi phân đại số

(DAE). Do đó, lý thuyết cho khả năng giải quyết các hệ mô tả có liên quan mạnh mẽ đến

lý thuyết cho các DAE.

2.1 Hệ phương trình vi phân đại số với hệ số hằng.

Định nghĩa 2.3. Chùm ma trận λE − A hoặc cặp (E, A) với E, A ∈ R

l×n được gọi là

không đổi nếu l = n và det(λE − A) 6= 0 với λ ∈ C. Trong trường hợp ngược lại được gọi

là kỳ dị.

Định nghĩa 2.4. Hai cặp ma trận(E, A) và (E, ˜ A˜) được gọi là tương đương mạnh nếu

tồn tại ma trận không suy biến W ∈ R

l×l và T ∈ R

n×n

sao cho

E˜ = W ET, A˜ = W AT.

Bổ đề 2.1. Cặp ma trận (E, A) là không đổi khi và chỉ khi mọi cặp tương đương mạnh

(E, A) đều không đổi.

8

Định lý 2.1. (dạng chính tắc Weierstrass). Để λE − A không thay đổi, cần tồn tại ma

trận không suy biến W, T ∈ R

n×n

, sao cho

λW ET − W AT = λ

"

Inf 0

0 N

#

−

"

J 0

0 In∞

#

(W CF)

với J, N ở dạng chính tắc Jordan, N lũy linh với số mũ v, tức là Nv = 0, Nv−1 6= 0. Số v

được gọi là số mũ của λE − A hoặc số mũ của DAE

Ex˙ = Ax + f(t). (2.1)

và được kí hiệu v = ind(E, A).

Bổ đề 2.2. Nghiệm x˜2. của phương trình đại số

Nx˜˙

2 = ˜x2 + ˜f2, (2.2)

được cho bởi:

x¯2 = −

Xv−1

i=0

N

i

f

−i

2

(t), (2.3)

trong đó v biểu thị số mũ của lũy linh N.

Chú ý 2.1. Trong phần mô tả, tính không đồng nhất f(t) được cho bởi f(t) = Bu(t).

Vì vậy "

˜f1

˜f2

#

= W Bu(t) = "

B˜

1

B˜

2

#

u(t) và B˜

2u(t), tức là u(t) phải (v − 1) lần khả vi

liên tục. Đối với sự tồn tại của nghiệm x chúng ta cần u ∈ Cv

(I, R). Do đó, các hàm điều

khiển liên tục từng khúc (điều khiển đóng mở) có thể không hoạt động. Tính thuần nhất

của các điều kiện ban đầu có thể phụ thuộc vào các đạo hàm của hàm đầu vào u(t).

Chúng ta tóm tắt các kết quả trước đó trong định lý sau:

Định lý 2.2. (Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm). Xét một DAE tuyến tính không

thuần nhất hệ số hằng (2.1) với cặp ma trận thông thường (E, A) và f ∈ Cv

(I, R

n

) trong

đó v = ind(E, A). Khi đó:

1. DAE (2.1) có thể giải được.

2. Giá trị ban đầu x0 ∈ R

n

là thuần nhất khi và chỉ khi

x¯2,0 = −

Xv−1

i=1

N

i ¯f

(i)

2

(0)

trong đó T

−1x0 =

"

x¯1,0

x¯2,0

#

và W f =

"

¯f1

¯f2

#

với T, W ∈ R

n×n

chuyển (E, A) thành dạng

chính tắc Weierstrass (WCF).

3. Mọi bài toán ban đầu (2.1) có giá trị ban đầu đồng nhất x0 là duy nhất có thể giải

được.

9

Định nghĩa 2.5. Tập hợp các giá trị ban đầu đống nhất được định nghĩa bởi:

X

0

c

:= {x0 = T

"

x˜1,0

tildex2,0

#

|tildex1,0 ∈ R

nf

, tildex2,0 = −

Xv−1

i=1

N

i

tildef(i)

2

(0)}.

Chúng ta kết luận rằng nếu (E, A) không đổi với x0 ∈ X 0

c và u(t) là v lần vi phân liên

tục, thì

Ex˙ = Ax + Bu, x(0) = x0

có một nghiệm (cổ điển) duy nhất. Để làm rõ sự phụ thuộc của nghiệm x vào giá trị ban

đầu và đầu vào, chúng ta viết x(t; x0, u).

Định lý 2.3. Nếu cặp ma trận (E, A) không thay đổi, thì bài toán (1.6) là thuần nhất

và không đổi.

Chứng minh. Lấy u(t) ≡ 0 chúng ta có Ex˙ = Ax + f với cặp ma trận không thay

đổi (E, A). Vì vậy, đối với giá trị ban đầu nhất quán x(0) = x0 tồn tại một nghiệm duy

nhất. Do đó, bài toán kiểm soát là phù hợp. Tính không đổi được xác định theo Định lý

2.2.

Định lý 2.4. Nếu (E, A) có E, A ∈ R

l×n

là một cặp ma trận suy biến, thì bài toán kiểm

soát (1.6) thay đổi.

Chú ý 2.2. Lưu ý rằng hệ mô tả tuyến tính có hệ số không đổi, tính đều đặn của

(E, A) là thuận lợi nhưng không cần thiết (hệ có thể vẫn nhất quá. Đối với cặp suy biến

(E, A) chúng ta có thể xây dựng dạng chính tắc Kronecker (KCF) thay vì dạng chính tắc

Weierstrass.

2.2 Hệ phương trình vi phân đại số với hệ số biến

thiên

Chú ý 2.3. Đạo hàm của đầu vào u có trong

ε(t) ˙z(t) = A(t)z(t) + f(t) (2.4)

. Hơn nữa, chúng ta cũng có thể bao hàm phương trình đầu ra bằng cách đưa z = h

x

T

y

T

z

T

iT

và xét

"

E(t) 0 0

0 0 0 #

z˙ =

"

A(t) B(t) 0

C(t) D(t) −Ip

#

z +

"

f(t)

g(t)

#

.

Tuy nhiên, do phương trình đầu ra xác định rõ ràng y, phương trình đầu ra sẽ không góp

phần vào việc phân tích và không được xem xét.

10

Giả thiết 2.1. Tồn tại các số nguyên µ, ˆ a, ˆ

ˆd và vˆ sao cho cặp giả (Mµˆ, Nµˆ) được liên kết

với cặp hàm có giá trị ma trận (ε(t), A(t)) có các tính chất sau:

1. Với mọi t ∈ I chúng ta có

rank(Mµˆ(t)) = (ˆµ + 1)l − aˆ − ˆd

sao cho tồn tại hàm Z có giá trị ma trận trơn có kích thước (ˆµ + 1)l × (ˆa + ˆv) và hạng tối

đa theo điểm thỏa mãn

Z

TMµˆ = 0.

2. Với mọi t ∈ I chúng ta có

rank





Z

T Nµˆ













In+m

0

.

.

.

0

















= ˆa.

Điều này ngụ ý rằng không mất tính tổng quát Z có thể được phân chia thành

Z =

h

Z2 Z3

i

với Z2 có kích thước (ˆµ + 1)l × aˆ và Z3 có kích thước (ˆµ + 1)l × vˆ sao cho

Aˆ

2 := Z

T

2 Nµˆ













In+m

0

.

.

.

0













có thứ hạng đầy đủ aˆ và Z

T

3 Nµˆ













In+m

0

.

.

.

0













= 0.

Hơn nữa, tồn tại một hàm có giá trị ma trận trơn T2 có kích thước (n+m)×(n+m−aˆ)

và hạng tối đa theo điểm thỏa mãn

Aˆ

2T2 = 0.

Chú ý rằng n + m − aˆ = ˆd + ˆu, trong đó uˆ biểu thị số lượng thành phần không được xác

định.

3. Với mọi t ∈ I chúng ta có

rank(ε(t)T2(t)) = ˆd

sao cho tồn tại một hàm có giá trị ma trận trơn Z1 có kích thước l × ˆd, trong đó

ˆd = l − aˆ − vµ,

11

có vµ = l − rank h Mµˆ Nµˆ

i + rank h Mµˆ−1 Nµˆ−1

i với

rank h M−1 N−1

i = 0.

Hơn nữa Z1 có hạng tối đa theo điểm thỏa mãn

rank(Z

T

1

(t)ε(t)) = ˆd.

Định nghĩa 2.6. µˆ có thể nhỏ nhất trong giả thiết 2.1 được gọi là số mũ không tầm

thường hoặc số mũ s của hệ (2.4). Hệ (2.4) có µˆ = 0 được gọi là hệ có số mũ tầm thường.

Nếu giả thiết 2.1 được thỏa mãn cho µ, ˆ a, ˆ

ˆd và vˆ (chúng ta nói rằng số mũ s được xác

định rõ), chúng ta có thể viết thành một hệ rút gọn:







εˆ1(t)

0

0







z˙(t) =







Aˆ

1(t)

Aˆ

2(t)

Aˆ

3(t)







z(t) +







ˆf1(t)

ˆf2(t)

0







ˆd

aˆ

vˆ

(2.5)

với εˆ1 = Z

T

1

ε, Aˆ

1 = Z

T

1 A1,

ˆf1 = Z

T

1

f, Aˆ

2 = Z

T

2 Nµˆ













In+m

0

.

.

.

0













,

ˆf2 = Z

T

2 hµˆ,

ˆf3 = Z

T

3 hµˆ.

Chú ý 2.4. 1. Về nguyên tắc, véctơ trạng thái z có thể được phân vùng trong h

z

T

1

z

T

2

z

T

3

iT

với z1 ∈ R

dˆ

các thành phần vi phân, z2 ∈ R

aˆ

các thành phần đại số và z3 ∈ R

uˆ

các thành

phần không xác định (ˆu = n + m − ˆd − aˆ). Nhưng điều này sẽ trộn lẫn các trạng thái x

và kiểm soát u.

2. Đối với DAE tuyến tính không có đầu vào, tức là

E(t) ˙x(t) = A(t)x(t) + f(t)

hệ được gọi là không thay đổi nếu nó thỏa mãn giả thiết 2.1 đối với l = n, m = 0 và

µ, ˆ a, ˆ

ˆd, vˆ sao cho n = ˆd + ˆa ( tức là vˆ = 0 và uˆ = n − aˆ − ˆd). Nó được gọi là không thay

đổi và không kỳ dị nếu nó thỏa mãn giả thiết 2.1 với µˆ = 0 và uˆ = ˆv = 0. Trong phần

tiếp theo, chúng ta sẽ nói: Hệ mô tả (??) là không thay đổi và không kỳ dị nếu nó thỏa

mãn giả thiết 2.1 đối với u(t) ≡ 0 và µˆ = 0, m = 0, l = n = ˆd + ˆa.

3. Đối với các cặp ma trận không đổi (E, A), số mũ s luôn được xác định rõ. Điều

kiện về tính đều đặn của chùm ma trận λE − A có thể được thay thế bằng điều kiện

vˆ = ˆu = 0, l = n + m. Chúng ta có quan hệ ν = ind(E, A) = ˆµ + 1.

Chú ý 2.5. 1. Trong hệ tối giản (2.5) hàng khối thứ ba có các phương trình vˆ . Chú ý

rằng vˆ nói chung lớn hơn vµ trong đó

l = ˆd + ˆa + vµ.

2. Hệ tối giản (2.5) là thỏa mãn giả thiết 2.1 đối với µˆ = 0.

12

Định lý 2.5. (Sự tồn tại và tính duy nhất). Đặt số mũ mới của (ε, A) như trong (2.4)

được xác định rõ (tức là (ε, A) thỏa mãn giả thiết 2.1 với các giá trị không đổi µ, ˆ

ˆd, a, ˆ vˆ )

và để f ∈ Cµˆ+1(I, R

l

). Khi đó ta có:

1. Hệ (2.4) là có thể giải được khi và chỉ khi ˆf3(t) ≡ 0 trong (2.5).

2. Một điều kiện ban đầu z(t0) = z0 phù hợp với hệ khi và chỉ khi Aˆ

2(t0)z0+ ˆf2(t0) = 0.

3. IVP tương ứng có thể chỉ giải được khi và chỉ khi uˆ = 0.

Chú ý 2.6. Lưu ý rằng hệ (2.4) có cùng một tập nghiệm như hệ rút gọn (không có

nghiệm mới) (2.5) (vì biến z giữ nguyên).

Trong tập kiểm soát ban đầu, công thức rút gọn (2.5) có dạng:

E1(t) ˙x(t) = A1(t)x(t) + B1(t)x(t) + ˆf1(t)

0 = A2(t)x(t) + B2(t)x(t) + ˆf2(t)

0 = ˆf3(t)

y = C(t)x(t) + D(t)x(t) +g(t)

(

ˆd)

(ˆa)

(ˆv)

(p)

(2.6)

với E1(t) = ˆε1

"

In

0

#

, Ai = Aˆ

i

"

In

0

#

, Bi = Aˆ

i

"

0

Im

#

với i = 1, 2.

Chú ý 2.7. 1. Ma trận con Aˆ

2 đã được lấy ra từ ma trận khối













A B

A˙ B˙

.

.

.

.

.

.

Aµˆ Bµˆ













bằng cách biến đổi từ phía bên trái. Do đó, chúng ta chỉ cần các đạo hàm của ma trận hệ

số, nhưng không cần đạo hàm của hàm đầu vào u (đạo hàm của u chỉ xảy ra chính thức

trong cặp giả, nhưng không được sử dụng để tạo (2.6)). Vì vậy, chúng ta cần không có

yêu cầu về tính trơn cho đầu vào u.

2. Vì chỉ các phép biến đổi từ bên trái được sử dụng nên phần xuất phát từ trạng thái

ban đầu x và phần từ các đầu vào ban đầu u không bị lẫn lộn.

3. Ngoài ra các điều kiện ban đầu vẫn giữ nguyên.

Bổ đề 2.3. Một DAE của dạng







ε1(t)

0

0







z˙(t) =







A1(t)

A2(t)

0







z(t) =







f1

f2

f3







d

a

v

không kỳ dị khi và chỉ khi ma trận

"

ε1(t)

A2(t)

#

có thứ hạng hàng đầy đủ theo từng điểm a + d với mọi t ∈ I.

13