Nghiệm hữu hiệu yếu và điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vector

NghiÖm h÷u hiÖu yÕu vµ ®iÒu kiÖn tèi ­u cho bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vect¬

§inh DiÖu H»ng∗

§¹i häc c«ng nghÖ th«ng tin & truyÒn th«ng - §¹i häc Th¸i Nguyªn

§ç V¨n L­u

ViÖn To¸n häc, ViÖn Hµn l©m Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam

Tãm t¾t

Trong bµi b¸o nµy chóng t«i chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn tèi ­u cho nghiÖm h÷u hiÖu yÕu cña bÊt ®¼ng thøc biÕn

ph©n vect¬ cã rµng buéc ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc. Víi c¸c gi¶ thiÕt vÒ tÝnh låi suy réng cho c¸c hµm d÷ liÖu

cña bµi to¸n th× ®iÒu kiÖn cÇn trë thµnh ®iÒu kiÖn ®ñ.

Tõ kho¸: Bµi to¸n c©n b»ng, nghiÖm h÷u hiÖu yÕu, ®iÒu kiÖn tèi ­u, d­íi vi ph©n Clarke, Jacobian Clarke.

1 Më ®Çu

C¸c bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vect¬ ®·

thu hót sù quan t©m cña nhiÒu nhµ to¸n häc bëi

ph¹m vi øng dông cña nã. C¸c ®iÒu kiÖn tèi ­u

cho c¸c bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vect¬ vµ

bµi to¸n c©n b»ng ®· ®­îc nghiªn cøu bëi nhiÒu

t¸c gi¶ (xem ch¼ng h¹n [4] - [7]). Cho ®Õn nay

nhiÒu kÕt qu¶ chØ ®­îc thiÕt lËp cho c¸c bµi to¸n

bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n cã rµng buéc tËp hoÆc cã

rµng buéc bÊt ®¼ng thøc låi, kh¶ vi.

Môc ®Ých cña bµi b¸o nµy lµ thiÕt lËp c¸c ®iÒu kiÖn

tèi ­u cho nghiÖm h÷u hiÖu yÕu cña bÊt ®¼ng thøc

biÕn ph©n vect¬ víi c¸c rµng buéc Lipschitz ®Þa

ph­¬ng lo¹i ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc vµ ®iÒu

kiÖn chÝnh quy Mangasarian - Fromovitz suy réng.

C¸c ®iÒu kiÖn tèi ­u ®­îc thiÕt lËp d­íi ng«n ng÷

gradient suy réng Clarke vµ Jacobian suy réng

Clarke.

Ph¸t triÓn bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vect¬

sÏ ®­îc nghiªn cøu trong bµi nµy.

Gi¶ sö T lµ ¸nh x¹ tõ Rn

vµo kh«ng gian

£(Rn

, Rp

) gåm c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc

tõ Rn

vµo Rp

; g1, ...gm, h1, ..hr lµ c¸c hµm gi¸

trÞ thùc x¸c ®Þnh trªn Rn

; Q lµ mét nãn låi ®ãng

nhän trong Rp

. KÝ hiÖu g = (g1, ...gm), h =

(h1, ..hr), I = {1, ..., m} , J = {1, ..., r}. Víi tËp

hîp

K = {x ∈ R

n

: gi(x) ≤ 0(∀i ∈ I), hj (x) = 0(∀j ∈ J)}.

XÐt bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n sau:

T×m x ∈ K sao cho

T(x)(y − x) ∈ −/ Q\{0} (∀y ∈ K). (1.1)

NÕu intQ 6= ∅, vect¬ x ∈ K ®­îc gäi lµ nghiÖm

h÷u hiÖu yÕu cña (1.1) nÕu

T(x)(y − x) ∈ −/ intQ (∀y ∈ K). (1.2)

Trong bµi nµy ta sÏ thiÕt lËp ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®iÒu

kiÖn ®ñ tèi ­u cho nghiÖm h÷u hiÖu yÕu cña (1.1)

d­íi ng«n ng÷ gradient suy réng Clarke vµ Jaco￾bian suy réng Clarke. Chóng t«i nh¾c l¹i mét sè

kh¸i niÖm cÇn thiÕt trong gi¶i tÝch Lipschitz.

Cho hµm gi¸ trÞ thùc f x¸c ®Þnh trªn Rn

, Lipschitz

®Þa ph­¬ng t¹i x¯ ∈ Rn

. §¹o hµm theo ph­¬ng

Clarke cña f t¹i x¯ theo ph­¬ng v ®­îc x¸c ®Þnh

nh­ sau (xem [1]):

f

0

(¯x; v) = limx→x¯

sup

t↓0

f(x + tv) − f(x)

t

.

Gradient suy réng Clarke cña f t¹i x¯ ®­îc x¸c ®Þnh

bëi

∂f(¯x) = 

ξ ∈ R

n

:< ξ, v >≤ f

0

(¯x; v), ∀v ∈ R

n

,

0

*Tel: 0934445889, e-mail: [email protected]

161Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn