Một vài cơ sở và khung trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

VÕ THỊ NGA

MỘT VÀI CƠ SỞ VÀ KHUNG

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8.46.01.02

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2018

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN NHỤY

Phản biện 1:

.................................................

Phản biện 2:

.................................................

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày

17 tháng 06 năm 2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây Lý thuyết các sóng nhỏ (Theory of Wavelets)

đã phát triển rất mạnh mẽ, nó trở thành nền tảng cho việc xây dựng Lý

thuyết truyền tin và các lí thuyết cũng như ứng dụng khác. Không gian cơ

sở mà Lý thuyết này xây dựng là L

2

(R), không gian các hàm bình phương

khả tích trên R. Do các phần tử thuộc L

2

(R), có thể biểu diễn qua cơ sở

của nó nên người ta phải quan tâm đến cơ sở của không gian này. Trong số

các cơ sở của L

2

(R) có một loại cơ sở đặc biệt là cơ sở wavelets trực chuẩn.

Luận văn chúng tôi giới thiệu 2 loại cơ sở wavelets trực chuẩn thường được

dùng đến là cơ sở Gabor và cơ sở Haar, đây chính là hai cơ sở cho nhiều

ứng dụng.

Tuy nhiên do sự phát triển của lí thuyết và đòi hỏi của thực tiễn áp

dụng người ta dần thấy rằng đòi hỏi của khái niệm cơ sở trực chuẩn trong

L

2

(R) là quá chặt chẽ nên đã tìm cách mở rộng thành khái niệm Khung

(Frame) cho không gian Hilbert tổng quát. Bởi những lý do như trên cùng

với sự định hướng của thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Nhụy, chúng tôi đã quyết

định chọn đề tài: "MỘT VÀI CƠ SỞ VÀ KHUNG TRONG KHÔNG GIAN

HILBERT" làm đề tài luận văn thạc sĩ cho mình.

2. Mục đích nghiên cứu

Do không gian các hàm bình phương khả tích L

2

(R) là nền tảng để

xây dựng cơ sở wavelets Haar và cơ sở truyền tin Gabor, nên L

2

(R) cần

được nghiên cứu một cách chi tiết với tư cách là không gian Hilbert. Mặt

khác để ứng dụng có hiệu quả không gian L

2

(R) trong việc thực hiện các

2

phép toán, ta cần xấp xỉ L

2

(R) bởi không gian khác có nhiều tính "tốt"

hơn, như liên tục, có giá compact, có thể đạo hàm,...Ta cần xấp xỉ không

gian này bằng không gian các hàm liên tục có giá compact, hoặc các đa

thức. Từ đó các hàm trong L

2

(R) có đạo hàm mọi cấp theo nghĩa suy rộng,

nhờ đó ta có thể lấy đạo hàm chúng (theo nghĩa suy rộng) và có thể thực

hiện các phép tính về đạo hàm. . . Từ đó ta có thể xây dựng được các hàm

sinh ra cơ sở trực chuẩn Gabor và Haar. Hai cơ sở này đóng vai trò hết sức

quan trọng trong Lí thuyết sóng nhỏ và đặc biệt là trong Lí thuyết truyền

tin. Khi có cơ sở ta sẽ tổng quát hóa lên xây dựng khái niệm Khung và các

tính chất của Khung trong không gian Hilbert hữu hạn chiều và không gian

Hilbert tổng quát.

3. Đối tượng nghiên cứu

Các hàm thực liên tục, tập các hàm thực liên tục, dãy các hàm số thực,

đa thức thực, đa thức hệ số phức, các hàm phức, các phép toán trên tập

các hàm phức liên tục. Dàn các hàm thực liên tục, các vectơ và mối liên hệ

giữa các vectơ, các phép toán trong không gian Hilbert.

4. Phạm vi nghiên cứu

Dàn các hàm thực trên không gian compact, không gian Metric com￾pact, các phép toán và mối tương quan giữa các phần tử trong không gian

Hilbert hữu hạn chiều. Họ các hàm từ không gian Metric compact vào không

gian các hàm phức bình phương khả tích trên R. Không gian các hàm phức

p tuyệt đối khả tích.

5. Phương pháp nghiên cứu

Thu thập các tài liệu sưu tầm được, các bài báo cáo khoa học, các sách

vở có liên quan đến đề tài làm luận văn, tìm hiểu chúng và tóm tắt các kết

quả thu được theo hiểu biết một cách ngắn gọn, hệ thống khoa học về các

3

chứng minh chi tiết và đưa ra các kết quả phù hợp nhất, đúng đắn nhất cho

bài luận văn của mình. Thường xuyên trao đổi thảo luận với người hướng

dẫn về bài làm.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài có giá trị về mặt lí thuyết có thể dùng tham khảo cho sinh viên

và học viên khoa Toán trong quá trình nghiên cứu và học tập .

7. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo thì luận văn được

chia làm 3 chương. Chương 1 là một vài kiến thức chuẩn bị với mục đích

tạo các dữ liệu cần thiết cho các chương sau đặc biệt là chương 2. Kết quả

mong muốn thu được ở chương này là một hàm bình phương khả tích trên

R có thể được xấp xỉ bởi một hàm liên tục có giá compact. Chương 2 là

giới thiệu 2 cơ sở trực chuẩn wavelets trong L

2

(R). Đó là cơ sở Haar và cơ

sở Gabor. Chương 3 dành cho việc xây dựng Khung và các tính chất của

Khung trong không gian Hilbert hữu hạn chiều. Bên cạnh đó có một số ví

dụ minh họa thêm cho các kết quả đã nêu.

4

CHƯƠNG 1

MỘT VÀI KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Mục đích chính của chương này là tạo các dữ liệu cần thiết cho các

chương sau đặc biệt là cho chương 2. Kết quả ta mong muốn thu được

trước hết trong chương này là một hàm bình phương khả tích R có thể

được xấp xỉ bởi một hàm liên tục có giá compact (Định lý 1.6.1). Hơn

nữa, Định lý Stone-Weierstrass phức (1.4.1) cho ta khả năng xây dựng cơ

sở Gabor cho L

2

(R).

1.1. XẤP XỈ CÁC HÀM THỰC TRÊN MỘT ĐOẠN BỞI

ĐA THỨC

Bổ đề 1.1.1. Với mỗi số nguyên dương n và mỗi số thực x

P

n

k=0 

n

k



(nx − k)

2x

k

(1 − x)

n−k = nx(1 − x).

ở đây



n

k



=

n!

k!(n−k)! là hệ số nhị thức.

Định lí 1.1.2. Giả sử f là hàm thực liên tục trên [0, 1] và ε > 0 là số

cho trước. Khi đó có một đa thức thực p sao cho

sup

0≤x≤1

|f(x) − p(x)| < ε.

Định lí 1.1.3. (Định lý Weierstrass) Nếu f là một hàm thực hiện liên

tục trên đoạn [a,b] và ε > 0 là số cho trước thì tồn tại một đa thức thực

p sao cho

sup

a≤x≤b

|f(x) − p(x)| < ε.

5

1.2. DÀN CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHÔNG

GIAN COMPACT

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử f và g là các hàm thực trên một tập X, tức

f, g : X → R (nói rõ hơn f, g ánh xạ từ tập X vào tập số thực mở rộng

R = R ∪ {−∞} ∪ {+∞}). Ta định nghĩa f ∨ g và f ∧ g (theo thứ tự

đọc là f hợp g và f giao g) là các hàm được cho bởi

(f ∨g)(x) = max {f(x), g(x)} ,(f ∧g)(x) = min {f(x), g(x)} .

Một họ L các hàm thực trên một tập X nào đó được gọi là dàn nếu nó

đóng đối với các phép toán hợp (∨) và (∧) hai hàm thuộc nó, điều này có

nghĩa là, nếu f, g ∈ L thì f ∨ g ∈ L và f ∧ g ∈ L.

Chẳng hạn, nếu X là một không gian metric compact thì tập CR(X) các

hàm thực liên tục trên X là một dàn. Ta dễ dàng nhận ra điều này vì nếu

f, g là các hàm thực trên cùng một tập xác định thì

f ∨ g =

1

2

(f + g + |f − g|) và f ∧ g =

1

2

(f + g − |f − g|).

Ta biết CR(X) là không gian Banach với chuẩn

kfk = sup

x∈X

|f(x)|.

Định nghĩa 1.2.2. Một dãy hàm số thực {gn}

∞

n=1 trên một tập hợp X

được gọi là hội tụ đều đến hàm f trên X và khi đó hàm f được gọi là giới

hạn đều của dãy hàm {gn} nếu

sup

x∈X

|f(x) − gn(x)| → 0 khi n → ∞.

Định lí 1.2.3. (Định lý Stone) Giả sử X là một không gian metric

compact và L là một tập con của CR(X) thỏa mãn các điều kiện sau:

(a) L là một dàn.

6

(b) Giả sử a, b ∈ R và nếu x, y là hai điểm phân biệt của X, thì tồn tại

một hàm f ∈ L sao cho f(x) = a, f(y) = b.

Khi đó L trù mật đều trong CR(X), nghĩa là, nếu g ∈ CR(X) và

ε > 0 là số cho trước, thì tồn tại một hàm h ∈ L sao cho

kg − hk = sup

x∈X

|g(x) − h(x)| < ε.

Nói khác đi, mỗi hàm số thực liên tục g trên X luôn là giới hạn đều

của một dãy các hàm {hn} ⊂ L.

Hệ quả 1.2.4. Mọi hàm thực liên tục f liên tục trên một tập compact

X ⊂ R đều có thể được xấp xỉ đều bởi một đa thức thực trên X có hệ

số hữu tỉ.

Hệ quả 1.2.5. Tập CR(X) các hàm thực liên tục trên một tập compact

X ⊂ R là không gian Banach khả li.

1.3. ĐẠI SỐ CÁC HÀM LIÊN TỤC

Định nghĩa 1.3.1. Ta nói một họ các hàm A = {f : X → C} từ tập

X vào tập số phức C, gọi tắt là hàm phức trên tập X, là một đại số

thực (phức) trên X nếu với mọi f, g ∈ A và mọi số thực (phức) α ta

luôn có các hàm f + g, αf và fg thuộc A, ở đây các phép toán giữa hai

hàm và phép nhân với một vô hướng được định nghĩa: với x ∈ X thì

(f + g)(x) = f(x) + g(x),(αf)(x) = αf(x),(fg)(x) = f(x)g(x).

Mệnh đề 1.3.2. Cho X là một không gian metric compact, A là một

đại số con của CR(X) và ngoài ra giả sử A trù mật đều trong CR(X).

Khi đó:

(a) A phân biệt các điểm của X, nghĩa là nếu các điểm x1, x2 ∈ X, x1 6=

x2, thì tồn tại một hàm f ∈ A sao cho f(x1) 6= f(x2).

(b) Không tồn tại điểm nào của X mà tại đó mọi hàm thuộc A đều triệt

tiêu.

7

Định lí 1.3.3. (Định lý Stone-Weierstrass thực) Cho X là một không

gian metric compact và A là một đại số con của CR(X) với các tính

chất sau đây

(a) A phân biệt các điểm của X.

(b) Không có điểm nào của X mà tại đó mọi hàm của A triệt tiêu.

Khi đó A trù mật đều trong CR(X).

1.4. ĐỊNH LÝ STONE-WEIERSTRASS PHỨC

Định lí 1.4.1. (Định lý Stone-Weiertrass phức). Cho X là một

không gian metric compact và A là một đại số con của C(X) với các

tính chất sau đây

(a) A phân biệt các điểm của X.

(b) Không có điểm nào của X mà tại đó mọi hàm của A triệt tiêu.

(c) Đại số con A tự liên hợp, nghĩa là, nếu f ∈ A thì f ∈ A.

Khi đó, A trù mật đều trong C(X).

1.5. XẤP XỈ TRONG KHÔNG GIAN L

P[a, b](−∞ < a < b < +∞)

Ta gọi L

P

[a, b](−∞ < a < b < ∞) là tập tất cả các hàm f :

[a, b] → C tuyệt đối khả tích Riemann cấp p trên đoạn hữu hạn [a, b], tức

R

b

a

|f|

p < ∞.

Kí hiệu

kfkp =



R

b

a

|f|

p

1/p

.

Mục đích của đoạn này là chỉ ra rằng không gian C[a, b] các hàm phức liên

tục trên [a, b] trù mật trong L

p

[a, b]. Trước hết cần có một vài khái niệm.

Giả sử A là tập con của đường thẳng thực R. Gọi χA là hàm đặc trưng

của tập A, tức hàm cho bởi