Một số quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN

MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ

ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2022

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN

MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ

ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn

PGS.TS. LÊ VĂN DŨNG

Đà Nẵng - 2022

1

MỤC LỤC

Lời cam đoan 3

Lời cam đoan 4

Mở đầu 5

Chương 1. Kiến thức cơ sở 10

1.1 Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Kì vọng, phương sai, hiệp phương sai và hệ số tương quan . 15

1.3.1 Phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2 Hiệp phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.3 Hệ số tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.4 Phân phối Poission . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.5 Phân phối chuẩn nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . 20

Chương 2. Một số quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng 21

2.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Định nghĩa và kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2 Phân phối hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . 22

2

2.2 Quá trình Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Quá trình có số gia độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Quá trình Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Quá trình dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.1 Quá trình dừng thời gian rời rạc . . . . . . . . . . . 30

2.5.2 Quá trình dừng thời gian liên tục . . . . . . . . . . . 41

2.5.3 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6 Quá trình Poission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7 Quá trình Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.7.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.7.2 Tính vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.7.3 Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.8 Ứng dụng của quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . 64

2.8.1 Xác suất phá sản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.8.2 Mô hình Cramér–Lundberg . . . . . . . . . . . . . . 66

2.8.3 Mô hình Brown cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Kết luận 71

Tài liệu tham khảo 72