Một số phương trình hàm thường gặp.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHẠM THỊ XUÂN ÁI

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM

THƯỜNG GẶP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 2: GS. TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày

12 tháng 12 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Trường Đại Học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Phương trình hàm là một lĩnh vực hay của toán sơ cấp. Tuy nhiên,

đây cũng là một dạng toán khó đối với người học, bởi vì nó đòi hỏi

chúng ta phải vận dụng nhiều kiến thức khi giải, có khả năng tư duy

tốt, khả năng khái quát, phán đoán vấn đề. . .

Bên cạnh đó, các bài toán về phương trình hàm thường xuyên xuất

hiện trong các kỳ thi Olympic Toán học Quốc gia, Khu vực và Quốc tế.

Trong đó có các bài toán về: phương trình hàm Jensen, phương trình

hàm Pexider và phương trình hàm dạng toàn phương. Do đó việc giúp

các em học sinh chuyên toán nắm vững và biết cách giải các phương

trình hàm trên là điều hết sức cần thiết. Chính vì thế tôi chọn đề tài:

“MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯỜNG GẶP” để làm luận

văn tốt nghiệp bậc cao học của mình.

2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Phương trình hàm.

• Phạm vi nghiên cứu: Một số phương trình hàm thường gặp: phương

trình hàm Jensen, phương trình hàm Pexider, phương trình hàm dạng

toàn phương.

3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu một số phương trình hàm thường gặp: phương trình

hàm Jensen, phương trình hàm Pexider, phương trình hàm dạng toàn

phương.

• Nghiên cứu cách xác định nghiệm tổng quát, nghiệm liên tục của

các phương trình hàm trên cùng cách chứng minh các định lý, bổ đề.

Từ đó vận dụng để chứng minh cho những phương trình hàm liên quan

hoặc suy rộng.

2

4. Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu: thu thập, tổng hợp, phân tích các tài liệu,

sách báo viết về phương trình hàm, các tài liệu về phương trình hàm

trên mạng internet và các tài liệu chuyên khảo khác.

5. Giả thiết khoa học

Nếu học sinh chuyên toán nắm được một số phương trình hàm thường

gặp trên và biết vận dụng chúng để giải toán thì học sinh sẽ phát triển

được năng lực tư duy và tự tin hơn khi tham gia các kỳ thi học sinh

giỏi toán.

6. Nội dung

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì nội dung

đề tài gồm 3 chương, như sau:

Chương 1. Phương trình hàm Jensen

Chương 2. Phương trình hàm Pexider

Chương 3. Phương trình hàm dạng toàn phương

3

CHƯƠNG 1

PHƯƠNG TRÌNH HÀM JENSEN

1.1. GIỚI THIỆU

Trong chương này, đầu tiên ta sẽ giới thiệu sơ lược về hàm lồi. Sau

đó, ta tiến hành xác định nghiệm tổng quát của phương trình hàm

Jensen khi nó thỏa mãn với mọi số thực trong R. Ta cũng tiến hành

tìm nghiệm liên tục của phương trình hàm Jensen trong tập số thực,

trong một tập đóng và trong đoạn [a, b]. Ta sẽ kết thúc chương này với

một kiểu phương trình hàm Jensen mà nó được phát sinh từ bất đẳng

thức Popoviciu.

1.2. HÀM LỒI

Một hàm f : R → R được gọi là lồi khi và chỉ khi nó thỏa mãn bất

đẳng thức:

f



x + y

2



≤

f (x) + f (y)

2

∀x, y ∈ R (1.1)

Hàm lồi được giới thiệu lần đầu tiên bởi J.L.W.V. Jensen vào năm

1905, mặc dù các hàm thỏa mãn điều kiện (1.1) đã được xử lý bởi

Hadamard (1893) và Holder (1889). Năm 1905, Jensen viết: đối với tôi

khái niệm về hàm lồi chỉ cơ bản như là hàm dương hay là hàm tăng.

Nếu tôi không hiểu lầm về việc này thì khái niệm hàm lồi có thể được

tìm thấy nhiều trong lý thuyết các hàm số thực.

Một số ví dụ của hàm lồi như sau:

(a) f(x) = mx + c trên R và m, c bất kỳ thuộc R

(b) f(x) = x

2

trên R

(c) f(x) = e

αx trên R với α ≥ 1 hoặc α ≤ 0

Một tổng hữu hạn các hàm lồi là một hàm lồi. Tuy nhiên, tích của

các hàm lồi không nhất thiết là hàm lồi.

Ví dụ ([8]).

f (x) = x

2

và g (x) = e

x

là các hàm lồi trên R nhưng tích của

4

chúng h (x) = x

2

e

x

không phải là một hàm lồi trên R.

Nếu A : R → R là một hàm cộng tính thì A cũng là một hàm lồi.

Thật vậy, ta có: A : R → R là một hàm cộng tính

Nên:

A (2x) = A (x + x) = A (x) + A (x) = 2A (x)

Suy ra:

A (x) = 1

2

A (2x)

Thay x bởi

x + y

2

, ta được:

A



x + y

2



=

1

2

A (x + y)

Khi đó:

A



x + y

2



=

1

2

A (x + y) = 1

2

(A (x) + A (y))

A thỏa mãn:

A



x + y

2



≤

A (x) + A (y)

2

Do đó A là một hàm lồi.

1.3. PHƯƠNG TRÌNH HÀM JENSEN

Phương trình hàm có dạng:

f



x + y

2



=

f (x) + f (y)

2

∀x, y ∈ R

được gọi là phương trình hàm Jensen.

Định nghĩa 1.1 ([8]). Một hàm f : R → R được gọi là Jensen

nếu nó thỏa mãn:

f



x + y

2



=

f (x) + f (y)

2

∀x, y ∈ R.

5

Định nghĩa 1.2 ([8]). Một hàm f : R → R được gọi là affine

nếu nó có dạng f(x) = cx + a với c, a là những hằng số tùy ý.

Ta sẽ chứng tỏ rằng, mọi hàm Jensen liên tục trên R là affine.

Định lý 1.1 ([8]). Một hàm f : R → R thỏa mãn phương trình

hàm Jensen

f



x + y

2



=

f (x) + f (y)

2

∀x, y ∈ R (1.2)

khi và chỉ khi

f (x) = A (x) + a (1.3)

trong đó, A : R → R là một hàm cộng tính và a là một hằng số

tùy ý.

Định lý 1.2 ([8]). Mọi hàm Jensen liên tục là affine.

Chứng minh của kết quả này không được mở rộng cho hàm xác định

trên một tập đóng và bị chặn. Tiếp theo ta xác định nghiệm liên tục

tổng quát của (1.2) trên một đoạn [a, b] đóng và bị chặn, với a, b nào

đó thuộc R.

Đầu tiên, ta cần định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.3 ([8]). Cho m và n là hai số nguyên dương. Một

số hữu tỷ có dạng:

m

2

n

được gọi là số hữu tỷ nhị phân.

Định lý 1.3 ([8]). Nghiệm liên tục của:

f



x + y

2



=

f (x) + f (y)

2

∀x, y ∈ [a, b] (1.6)

được cho bởi:

f (x) = α + βx

trong đó, α, β là những hằng số tùy ý.

6

1.4. MỘT PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN

Popoviciu (1965) đã chứng minh rằng nếu I là một khoảng không

rỗng và f : I → R là một hàm lồi thì f thỏa mãn bất đẳng thức:

3f



x + y + z

3



+ f (x) + f (y) + f (z)

≥ 2



f



x + y

2



+ f



y + z

2



+ f



z + x

2



∀x, y, z ∈ I.

Nếu ta thay đổi dấu của bất đẳng thức trên thành dấu đẳng thức

thì ta có một kiểu khác của phương trình hàm Jensen. Trong mục này,

mục đích của ta là xác định nghiệm tổng quát của phương trình hàm

Jensen:

3f



x + y + z

3



+ f (x) + f (y) + f (z)

= 2 

f



x + y

2



+ f



y + z

2



+ f



z + x

2

 (1.10)

∀x, y, z ∈ R.

Định lý 1.4 ([8]). Hàm f : R → R thỏa mãn phương trình hàm

(1.10), ∀x, y, z ∈ R nếu và chỉ nếu:

f (x) = A (x) + b ∀x ∈ R (1.11)

trong đó, A : R → R là một hàm cộng tính và b là một hằng số

thực tùy ý.

1.5. MỘT SỐ ĐIỀU LƯU Ý

Nếu thay x = u + v và y = u − v vào (1.2) thì ta có:

f (u) = 1

2

[f (u + v) + f (u − v)] ∀u, v ∈ R.

Như vậy, phương trình hàm Jensen có thể viết dưới dạng: