Một số phương pháp giải phương trình hàm sinh bới lớp các hàm hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH

HÀM SINH BỞI LỚP CÁC HÀM HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH

HÀM SINH BỞI LỚP CÁC HÀM HỢP

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu

THÁI NGUYÊN - 2019

i

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái

Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS.TSKH Nguyễn Văn

Mậu (Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN), thầy đã trực tiếp hướng dẫn

tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua.

Xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học-Đại học

Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán-Tin cùng các quý thầy, cô giáo đã trực

tiếp giảng dạy lớp cao học Toán K11 đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập

và nghiên cứu trong suốt thời gian qua.

Tác giả xin cảm ơn Sở Giáo dục và đào tạo Ninh Bình, trường THPT chuyên

Lương Văn Tụy, nơi tôi đang công tác, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn

thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân, bạn

bè, đồng nghiệp luôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao

học và viết luận văn này.

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và

hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các

bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019

Tác giả

Nguyễn Thị Bích Ngọc

ii

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG

TRÌNH HÀM 2

1.1 Các tính chất cơ bản của hàm số và tập hợp . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Đặc trưng hàm và các tính chất liên quan . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Khái niệm phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Phép lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Đặc trưng của các hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . . . 8

1.3.2 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . 13

Chương 2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG

LỚP HÀM HỢP VỚI CẶP BIẾN TỰ DO 17

2.1 Phương pháp quy nạp giải phương trình hàm cơ bản . . . . . . . . 17

2.2 Sử dụng tính chất liên tục của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Một số các phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.1 Sử dụng tính chất ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.2 Một số dạng phương trình giải bằng phương pháp thế biến . 36

2.3.3 Sử dụng miền giá trị của đối số và hàm số . . . . . . . . . . 48

2.3.4 Phương pháp thêm biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Chương 3. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI

HÀM HỢP MỘT BIẾN 54

3.1 Phương pháp sử dụng tính chất đặc thù của hàm số . . . . . . . . 54

3.2 Phương pháp sử dụng điểm bất động của hàm số . . . . . . . . . . 60

3.2.1 Tổng hợp một số kiến thức cơ bản về điểm bất động . . . . 60

iii

3.2.2 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3 Phương pháp đưa về phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . 65

3.4 Một số phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

KẾT LUẬN 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

1

Mở đầu

Luận văn nhằm cung cấp một số phương pháp giải phương trình hàm sinh bởi

lớp các hàm hợp và một số dạng toán liên quan trong các kỳ thi Olympic Toán

những năm gần đây.

Chuyên đề nằm trong chương trình bồi dưỡng HSG ở các lớp chuyên Toán phục

vụ các kỳ thi HSG quốc gia, Olympic khu vực và quốc tế.

Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp bậc trung học phổ thông, Olympic

Toán sinh viên, các bài toán liên quan tới phương trình hàm với các hàm hợp

thường xuyên được đề cập. Những dạng toán này thường được xem là thuộc loại

khó vì phần kiến thức về phương trình hàm với các hàm hợp không nằm trong

chương trình chính thức của giáo trình Đại số và Giải tích bậc trung học phổ

thông.

Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên

đề phương trình hàm, tôi chọn đề tài luận văn “Một số phương pháp giải phương

trình hàm sinh bởi lớp các hàm hợp”.

Cấu trúc luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và được chia thành 3 chương:

Chương 1. Các tính chất cơ bản về hàm số và phương trình hàm.

Chương 2. Phương pháp giải phương trình hàm trong lớp hàm hợp với cặp biến

tự do.

Chương 3. Phương pháp giải phương trình hàm với hàm hợp một biến.

Cuối các chương đều trình bày các bài tập áp dụng và giải các đề thi HSG quốc

gia và Olympic liên quan.

2

Chương 1. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN

VỀ HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH

HÀM

Trong chương này, tác giả hệ thống lại các tính chất cơ bản của hàm số, đặc

trưng hàm và các tính chất liên quan, khái niệm hàm số tuần hoàn, phản tuần

hoàn và các đặc trưng của hàm tuần hoàn. Các kết quả trong chương này được

trích dẫn từ các tài liệu tham khảo [1], [2], [4] và [8].

1.1 Các tính chất cơ bản của hàm số và tập hợp

Định nghĩa 1.1 (xem [2]). Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y là một quy tắc đặt

tương ứng mỗi phần tử x của X với một (và chỉ một) phần tử của Y . Phần tử này

được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và được kí hiệu là f (x).

- Tập X được gọi là tập xác định của f. Tập hợp Y được gọi là tập giá trị của

f.

- Ánh xạ f từ X đến Y được kí hiệu là

f : X → Y

x 7→ y = f (x)

- Khi X và Y là các tập số thực, ánh xạ f được gọi là một hàm số xác định

trên X

- Cho a ∈ X, y ∈ Y . Nếu f (a) = y thì ta y nói là ảnh của a và a là nghịch ảnh

của y qua ánh xạ f.

- Tập hợp Y = {y ∈ Y |∃x ∈ X, y = f (x)} gọi là tập ảnh của f. Nói cách khác,

tập ảnh f (X) là tập hợp tất cả các phần tử của Y mà có nghịch ảnh.