Một số phương pháp giải bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN

CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN

ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN–2020

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN

CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN

ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 946 01 02

Người hướng dẫn khoa học:

GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU

THÁI NGUYÊN–2020

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn

thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu. Các kết quả

viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa

vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là những kết quả mới và

chưa từng được ai công bố trong các công trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Huyền

ii

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi GS.

TSKH. Lê Dũng Mưu. Thầy đã tận tình hướng dẫn tôi từ khi tôi làm

luận văn thạc sĩ và bây giờ là luận án tiến sĩ. Thầy đã tận tình chỉ dạy

tôi phương pháp nghiên cứu, cách phát hiện và giải quyết vấn đề, đồng

thời Thầy luôn động viên, khích lệ để tôi hoàn thành luận án này. Từ

tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới

Thầy của tôi.

Tôi xin được trân trọng gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu Trường

Đại học Sư phạm, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, cùng các thầy, các cô

tham gia giảng dạy, tạo điều kiện thuận lợi để tôi học tập và nghiên cứu.

Đồng thời tôi cũng chân thành cảm ơn các anh chị em nghiên cứu sinh,

bạn bè đồng nghiệp tại xêmina nghiên cứu sinh khoa Toán Trường Đại

học Sư phạm đã động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu

cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.

Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Đại học

Thái Nguyên đã cho tôi cơ hội được đi học tập và nghiên cứu. Tôi xin

cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin và các thầy cô Khoa Toán -

Tin, đã tạo mọi điều kiện thu xếp công việc thuận lợi cho tôi trong suốt

thời gian tôi đi làm nghiên cứu sinh.

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy, các anh chị và các bạn

trong nhóm xêmina liên cơ quan Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học

Bách Khoa Hà Nội, Viện Toán học, Đại học Thăng Long. Xêmina đã

tạo cho tôi động lực trong nghiên cứu khoa học và sự gắn bó với môi

trường nghiên cứu. Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới GS.

TSKH. Phạm Kỳ Anh. Thầy đã luôn động viên tôi, tạo điều kiện cho

tôi báo cáo và chỉ dạy tôi nhiều kiến thức hữu ích. Tôi cũng xin gửi lời

cảm ơn sâu sắc tới TS. Lê Hải Yến, người đã luôn quan tâm, chỉ bảo tôi

trên con đường khoa học.

Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân

iii

trong gia đình, đặc biệt là bố mẹ hai bên, chồng và các con. Những người

đã luôn động viên, chia sẻ mọi khó khăn cùng tôi suốt những năm tháng

qua để tôi có thể hoàn thành luận án này.

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Huyền

iv

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn iii

Mục lục iii

Bảng ký hiệu v

Bảng chữ viết tắt viii

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 12

1.1. Các khái niệm và kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . 12

1.2. Bài toán cân bằng và một số bài toán liên quan . . . . . 18

1.3. Bài toán chấp nhận tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4. Một số phương pháp lặp cơ bản tìm điểm bất động . . . 22

1.5. Các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Chương 2 Thuật toán chiếu kết hợp phép lặp Mann-Krasnoselskii

giải bài toán chấp nhận tách 26

2.1. Mô tả bài toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

v

Chương 3 Thuật toán dưới đạo hàm giải bài toán chấp nhận

tách phi tuyến và ứng dụng cho mô hình cân bằng Nash

có ràng buộc 44

3.1. Mô tả bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2. Thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Kết luận 70

Tài liệu tham khảo 73

vi

Bảng ký hiệu

R tập các số thực

R++ tập các số thực dương

R

n

không gian véctơ Euclid thực n−chiều

hx, yi tích vô hướng của hai véctơ x và y

kxk chuẩn Euclid của véctơ x trong không gian R

n

xn → x Dãy {xn} hội tụ mạnh tới x

PC(x) Phép chiếu của điểm x lên tập C

PC(x) = argminy∈Cky − xk

NC(x) Nón pháp tuyến ngoài của tập lồi C tại x

∂f(x) Dưới vi phân của hàm f tại x

∂

ǫ

f(x) ǫ-dưới vi phân của hàm f tại x

∂2f(x, x) Dưới vi phân theo biến thứ hai của song hàm f(x, .) tại x

∂

ǫ

2

f(x, x) ǫ-dưới vi phân theo biến thứ hai của song hàm f tại x

argminCf Tập các điểm cực tiểu của hàm f trên tập C

proxλg Ánh xạ gần kề của hàm lồi g với tham số λ > 0

A

T ma trận chuyển vị của ma trận A

EP(C, f) Bài toán cân bằng của song hàm f trên tập C

S(C, f) Tập nghiệm của bài toán cân bằng song hàm f trên tập C

∅ Tập rỗng

✷ Kết thúc chứng minh

vii

Bảng chữ viết tắt

(CFP) Bài toán chấp nhận lồi

(EP) Bài toán cân bằng

(SEO) Bài toán chấp nhận tách với C là tập nghiệm của bài toán EP

và Q là tập nghiệm của bài toán tối ưu

(SFP) Bài toán chấp nhận tách

(NSEP) Bài toán chấp nhận tách phi tuyến