Một số phương trình hàm lượng giác và các bài toán liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN VĂN HÙNG

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LƯỢNG GIÁC

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN VĂN HÙNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LƯỢNG GIÁC

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 8460113

Khóa: 22 (2019 - 2021)

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Sum

Bình Định - Năm 2021

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn. Tôi xin cam

đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực không

trùng lặp với đề tài khác. Đề tài “Một số phương trình hàm lượng

giác và các bài toán liên quan” là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự

hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Sum và chưa từng được công bố trong

bất cứ công trình khoa học nào khác cho đến thời điểm hiện tại. Tôi cũng

xin cam đoan rằng các kết quả được trình bày trong luận văn có tài liệu

tham khảo được trích dẫn rõ ràng, đảm bảo tính trung thực, chính xác.

Bịnh Định, tháng 7 năm 2021

Tác giả

Nguyễn Văn Hùng

Mục lục

Lời cam đoan

Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt

Mở đầu 1

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Hàm số tuần hoàn cộng tính . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Hàm số phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . . . . . 4

1.2.3 Hàm số tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.4 Hàm số phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . . . 5

1.2.5 Mối liên hệ giữa các hàm tuần hoàn cộng tính và

nhân tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Đặc trưng của một số hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Hàm số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Hàm số affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.3 Hàm số mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.4 Hàm số logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

i

ii

1.3.5 Hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.6 Hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.7 Hàm lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.8 Các hàm hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.9 Hàm cộng tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Chương 2: Phương trình hàm d’Alembert 11

2.1 Nghiệm liên tục của phương trình hàm

d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Nghiệm tổng quát của phương trình hàm

d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Một số bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Chương 3: Một số dạng khác của phương trình hàm lượng

giác 43

3.1 Nghiệm của phương trình hàm cosin-sin . . . . . . . . . . . 43

3.2 Nghiệm của phương trình hàm sin-cosin . . . . . . . . . . . 49

3.3 Nghiệm của phương trình hàm sin . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Nghiệm của bất phương trình hàm sin . . . . . . . . . . . . 63

3.5 Một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Kết luận 72

Tài liệu tham khảo 73

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

∀, ∃ : Các ký hiệu của logic

R : Tập hợp các số thực

R

+ : Tập hợp các số thực dương

R

− : Tập hợp các số thực âm

Q : Tập hợp các số hữu tỷ

Q+ : Tập hợp các số hữu tỷ dương

Q+ : Tập hợp các số hữu tỷ âm

Z : Tập hợp các số nguyên

Z

+ : Tập hợp các số nguyên dương

Z

− : Tập hợp các số nguyên âm

N : Tập hợp các số tự nhiên

N

+ : Tập hợp các số tự nhiên dương

D(f) : Tập xác định của hàm số f(x)

x ∈ M : x là phần tử của M

A ⊂ M : A là tập hợp con của M

∪, ∩, ⊂, ⊃, \ : là các phép toán trên tập hợp

f

0

(g(x, y)) : là giá trị f

0

(t) với t = g(x, y)

Mở đầu

Phương trình hàm là một lĩnh vực nghiên cứu của giải tích Toán học,

bắt đầu từ các công trình của d’Alembert, Cauchy, Abel, Euler, ...

Các phương trình hàm cổ điển đã được nghiên cứu trong một thời gian

hơn 250 năm và các kết quả cơ bản về phương trình hàm đã được biên tập

trong nhiều tài liệu như J. Aczél [3], M. Kuczma [4]. Gần đây, một số tài

liệu khác được nhiều tác giả biên soạn và cập nhật nhiều vấn đề mới mẻ

như P. Sahoo và P. Kannappan [5], C. Efthimiou [6]. Tuy vậy, các tài liệu

tham khảo ở trong nước về phương trình hàm chưa phong phú.

Trong chương trình Toán giảng dạy ở bậc Trung học phổ thông và

chương trình giảng dạy về nghiệp vụ Toán đối với chương trình đào tạo

hệ Đại học Sư phạm, phương trình hàm có một vị trí quan trọng, nó có

sự liên hệ chặt chẽ với nhiều lĩnh vực khác trong việc giải các bài toán sơ

cấp. Hơn nữa, phương trình hàm là một trong các dạng Toán thường xuất

hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi ở bậc phổ thông và các kỳ thi Olympic

toán cho sinh viên của các trường Đại học.

Trong những năm gần đây, đã có nhiều tài liệu và các đề tài về phương

trình hàm được biên soạn và nghiên cứu. Tuy nhiên, các bài toán về phương

trình hàm rất phong phú và đa dạng, một trong những lớp phương trình

hàm có nhiều liên hệ với Toán học phổ thông là lớp phương trình hàm

lượng giác. Vì vậy các vấn đề cần tìm hiểu, nghiên cứu về lớp phương

trình hàm này là thiết thực, phục vụ cho công tác giảng dạy và bồi dưỡng

cho học sinh.

1