Một số phương pháp tìm cực trị của hàm nhiều biến và ứng dụng trong toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

ĐÀO NGUYÊN THẢO

LUẬN VĂN THẠC SĨ

ĐỀ TÀI

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8460113

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Ngọc Quốc Thương

Bình Định - 2022

Mục lục

Mục lục 0

Mở đầu 3

Chương 1 Cực trị của hàm số 1

1.1 Cực trị của hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Cực trị của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến . . . . . . . 11

Chương 2 Một số phương pháp tìm cực trị của hàm nhiều biến 23

2.1 Phương pháp nhân tử Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 Phương pháp nhân tử Lagrange với một điều kiện . . . . . . 25

2.1.2 Phương pháp nhân tử Lagrange với hai điều kiện . . . . . . 29

2.1.3 Một số bài toán cực trị giải bằng phương pháp nhân tử La￾grange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức cổ điển . . . . . . . . . . . 34

2.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . 34

2.2.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . 42

2.3 Phương pháp đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.1 Sử dụng phương pháp đạo hàm cho bài toán cực trị hai biến

số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.2 Sử dụng phương pháp đạo hàm cho bài toán cực trị ba biến số 52

2.3.3 Một số bài toán cực trị giải bằng phương pháp đạo hàm . . 57

1

2

Chương 3 Một số bài toán thi học sinh giỏi và Olympic Toán học 63

Kết luận 79

Tài liệu tham khảo 80

Mở đầu

Các bài toán về tìm cực trị của hàm số là một trong những vấn đề quan trọng

của toán cao cấp lẫn toán sơ cấp. Chúng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác

nhau của toán học cũng như nhiều ngành khoa học khác như Vật lý, Kỹ thuật,

Kinh tế, Y học,... Ở Toán phổ thông, rất dễ bắt gặp các bài toán này trong các kì

thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng môn Toán học, kì thi học sinh giỏi quốc gia

và quốc tế, kì thi Olympic toán học.

Để giải quyết các bài toán này, có nhiều phương pháp khác nhau. Trong đề tài

này, tôi tìm hiểu, tổng hợp và hệ thống lại một cách đầy đủ, rõ ràng về một số

phương pháp tìm cực trị của hàm số nhiều biến số. Bên cạnh đó, luận văn cũng

tập trung tìm hiểu những ứng dụng của các phương pháp tìm cực trị của hàm số

nhiều biến số vào giải một số dạng toán sơ cấp ở THPT, đề thi tuyển sinh đại học,

đề thi học sinh giỏi và Olympic Toán học các cấp.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận

văn “Một số phương pháp tìm cực trị của hàm nhiều biến và ứng dụng

trong toán sơ cấp” gồm có 3 chương.

Chương 1: Cực trị của hàm số

Chương này giới thiệu một số định nghĩa và định lý cơ bản về cực trị của hàm

số một biến số, cực trị của hàm số nhiều biến số, điểm tới hạn, điểm yên ngựa, giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số.

Chương 2: Một số phương pháp tìm cực trị của hàm số nhiều biến số

Chương này tập trung trình bày một cách hệ thống, chi tiết về các phương

pháp tìm cực trị của hàm số nhiều biến số.

2.1. Phương pháp nhân tử Lagrange

2.2. Phương pháp bất đẳng thức

2.3. Phương pháp đạo hàm

3

4

Chương 3: Một số bài toán thi học sinh giỏi, thi Đại học và Olympic

Toán học

Chương này tập trung trình bày về ứng dụng các phương pháp tìm cực trị của

hàm số nhiều biến số vào giải một số dạng toán ở THPT, đề thi tuyển sinh đại

học, đề thi học sinh giỏi và Olympic Toán học các cấp.

Chương 1

Cực trị của hàm số

1.1 Cực trị của hàm một biến

Cho I “ pa, bq là một khoảng, trong đó a có thể là ´8 và b có thể là `8.

Định nghĩa 1.1 (Cực trị địa phương). Cho hàm số y “ fpxq liên tục trên I. Xét

điểm x0 P I. Ta nói hàm số fpxq

1. đạt cực đại tại x0 nếu tồn tại một lân cận Vεpx0q của điểm x0 sao cho

fpxq ă fpx0q @x P Vεpx0qztx0u.

2. đạt cực tiểu tại x0 nếu tồn tại một lân cận Vεpx0q của điểm x0 sao cho

fpxq ą fpx0q @x P Vεpx0qztx0u.

Nếu hàm số fpxq đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì ta nói x0 là điểm cực đại (điểm

cực tiểu) của hàm số fpxq, và f px0q được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu)

của hàm số fpxq, còn điểm Mpx0; fpx0qq được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu)

của đồ thị hàm số y “ fpxq. Các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số fpxq được

gọi chung là điểm cực trị của hàm số fpxq.

Định lý 1.1 (Định lí Fermat). Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 và có đạo

hàm tại điểm x0 thì f

1

px0q “ 0.

Định lý 1.2 (Điều kiện đủ loại I). Giả sử hàm số fpxq liên tục trên khoảng

K “ px0 ´ h; x0 ` hq, với h ą 0, và có đạo hàm trên K hoặc trên Kz tx0u.

1

2

1. Nếu f

1

pxq ą 0 trên px0 ´ hq và f

1

pxq ă 0 trên px0 ` hq thì x0 là điểm cực đại

của hàm số fpxq;

2. Nếu f

1

pxq ă 0 trên px0 ´ hq và f

1

pxq ą 0 trên px0 ` hq thì x0 là điểm cực tiểu

của hàm số fpxq.

Áp dụng Định lí 1.2, ta có quy tắc tìm cực trị của hàm số fpxq như sau.

Quy tắc I (dùng điều kiện đủ loại I)

1. Tìm tập xác định.

2. Tính f

1

pxq. Tìm các điểm tại đó f

1

pxq bằng 0 hoặc f

1

pxq không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Định lý 1.3 (Điều kiện đủ loại II). Giả sử hàm số fpxq có đạo hàm cấp hai trong

khoảng px0 ´ h; x0 ` hq, với h ą 0. Khi đó

1. Nếu f

1

px0q “ 0 và f

2

px0q ą 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số fpxq;

2. Nếu f

1

px0q “ 0 và f

2

px0q ă 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số fpxq.

Áp dụng Định lí 1.3 , ta có quy tắc sau đây để tìm các điểm cực trị của một hàm

số.

Quy tắc II:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính f

1

pxq. Giải phương trình f

1

pxq “ 0 và kí hiệu xipi “ 1, 2, . . . , Nq là các

nghiệm của nó.

3. Tính f

2

pxq và f

2

pxiq.

4. Dựa vào dấu của f

2

pxiq suy ra tính chất cực trị của điểm xi

.

Định nghĩa 1.2 (Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất). Cho hàm số fpxq xác định

trên tập D Ă R. Hàm số fpxq được gọi là

3

1. đạt giá trị lớn nhất trên D nếu tồn tại x0 P D sao cho

fpxq ď fpx0q @x P D.

2. đạt giá trị nhỏ nhất trên D nếu tồn tại x1 P D sao cho

fpxq ě fpx1q @x P D.

Khi đó ta ký hiệu

M “ fpx0q “ max

D

fpxq, m “ fpx1q “ min

D

fpxq.

Định lý 1.4 (Weierstrass). Nếu hàm số fpxq liên tục trên đoạn ra; bs thì fpxq đạt

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên

một đoạn:

1. Tìm các điểm x1, x2, . . . , xn trên khoảng pa; bq, tại đó f

1

pxq bằng 0 hoặc f

1

pxq

không xác định.

2. Tính fpaq, f px1q, f px2q, . . . , f pxnq, fpbq.

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có

M “ max

ra;bs

fpxq, m “ min

ra,bs

fpxq.

Chú ý 1.1. Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Chẳng hạn, hàm số fpxq “ 1

x

không có giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng p0; 1q.

1.2 Cực trị của hàm nhiều biến

Đạo hàm thường được dùng để xác định cực trị của hàm số. Trong phần này,

ta sẽ tìm hiểu cách sử dụng đạo hàm riêng xác định cực trị của hàm hai biến.

Nhìn vào đồ thị của Hình 1, ta thấy hàm f có cực đại địa phương tại hai điểm.

Giá trị lớn hơn trong hai cực đại được gọi là giá trị lớn nhất. Tương tự, f có cực

tiểu địa phương tại hai điểm. Giá trị nhỏ hơn trong hai cực tiểu được gọi là giá trị

nhỏ nhất.