Một số phương pháp tìm cực trị của các hàm phân thức sinh bởi số tự nhiên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

NGUYỄN KIM THU

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ

CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC

SINH BỞI SỐ TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

NGUYỄN KIM THU

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ

CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC

SINH BỞI SỐ TỰ NHIÊN

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

(Xác nhận)

GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu

THÁI NGUYÊN - 2018

i

Mục lục

MỞ ĐẦU iii

1 Phân thức hữu tỷ với hệ số nguyên 1

1.1. Tính chất cơ bản của đa thức với hệ số nguyên . . . . . . . 1

1.2. Phân thức hữu tỉ với hệ số nguyên và phân thức nhận giá

trị hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Biểu diễn đơn vị thành tổng của các phân số Ai Cập với

mẫu số nguyên dương đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Các phương pháp giải toán cực trị dạng phân thức sinh

bởi số hữu tỷ 12

2.1. Một số phương pháp giải bài toán cực trị của đa thức và

phân thức hữu tỷ với hệ số nguyên . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1. Phương pháp so sánh bậc hai . . . . . . . . . . . . 12

2.1.2. Phương pháp so sánh phân thức dạng bậc hai trên

bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.3. Phương pháp tìm cực trị với ràng buộc theo tổng

các số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Sử dụng phân thức chính quy giải các bài toán cực trị

liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Một số dạng toán liên quan 32

3.1. Một số dạng toán cực trị trên tập số nguyên . . . . . . . . 32

3.2. Một số dạng toán về số tự nhiên từ các đề thi Olympic . . 38

KẾT LUẬN 44

ii

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

iii

MỞ ĐẦU

Chuyên đề về đa thức và phân thức là một chuyên đề rất quan trọng

ở bậc trung học phổ thông và trung học cơ sở. Các tính chất của đa

thức và phân thức liên quan chặt chẽ với các tính chất của số nguyên và

số hữu tỷ. Một trong các phương pháp khảo sát đa thức và phân thức

hữu tỷ rất hữu hiệu là việc sử dụng các công cụ hữu ích từ việc khảo

sát các tính chất số học của các số tự nhiên và số hữu tỷ.

Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp, các bài toán liên quan

tới đa thức và phân thức với hệ số nguyên (ta gọi chung là phân thức

sinh bởi số tự nhiên) thường xuyên được đề cập. Những dạng toán này

thường được xem là thuộc loại khó cần các kiến thức sâu sắc về số học

kết hợp với các kiến thức về đa thức và phân thức thường không nằm

trong chương trình chính thống của chương trình toán bậc trung học

phổ thông.

Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi

về chuyên đề đa thức và phân thức với hệ số nguyên và hệ số hữu tỷ,

em chọn đề tài luận văn “Một số phương pháp tìm cực trị của các hàm

phân thức sinh bởi số tự nhiên”.

Mục tiêu của luận văn nhằm hệ thống một số kiến thức về số học và

đa thức với hệ số nguyên và cung cấp một số phương pháp tìm cực trị

của các hàm phân thức sinh bởi số tự nhiên. Tiếp theo, xét các bài toán

cực trị, khảo sát phương trình, bất phương trình cùng một số dạng liên

quan.

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và ba chương.

Chương 1. Phân thức hữu tỷ với hệ số nguyên.

Chương 2. Các phương pháp giải toán cực trị dạng phân thức sinh