Một số phương pháp lặp giải bài toán biên hỗn hợp

®¹i häc th¸I nguyªn

Tr-êng ®¹i häc khoa häc

®inh tõ s¬n

Mét sè ph-¬ng ph¸p lÆp

gi¶i bµi to¸n biªn hçn hîp

luËn v¨n th¹c sÜ khoa häc m¸y tÝnh

Th¸i nguyªn, n¨m 2013

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

®¹i häc th¸I nguyªn

Tr-êng ®¹i häc khoa häc

®inh tõ s¬n

Mét sè ph-¬ng ph¸p lÆp

gi¶i bµi to¸n biªn hçn hîp

Chuyªn ngµnh: To¸n øng dông

M· sè : 60 46 01 12

luËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc

Ng-êi h-íng dÉn khoa häc:

TS. Vò Vinh Quang

Th¸i nguyªn, n¨m 2013

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

MỤC LỤC

MỤC LỤC .................................................................................................... 1

Mở đầu.......................................................................................................... 1

Chương 1 Các kiến thức cơ bản .................................................................. 3

1.1 Các kiến thức cơ bản về không gian hàm.............................................. 3

1.1.1 Không gian

 

k C  ......................................................................... 3

1.1.2 Không gian

( ) P

L  .......................................................................... 3

1.1.3 Không gian

W ( ) 1,p  ....................................................................... 4

1.1.4 Khái niệm vết của hàm .................................................................. 5

1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm

 

1 H

 

và

 

1/2 H

  ............... 7

1.1.6 Nghiệm yếu của phương trình........................................................ 8

1.2 Lý thuyết về sơ đồ lặp .......................................................................... 9

1.3 Phương pháp sai phân......................................................................... 11

1.3.1 Phương pháp lưới ....................................................................... 11

1.3.2 Bài toán sai phân ......................................................................... 11

1.3.3 Thuật toán thu gọn khối lượng tính toán ...................................... 13

Chương 2 Một số kiến thức về phương pháp lặp giải bài toán cấp hai và

cấp bốn........................................................................................................ 20

2.1 Phương pháp chia miền ...................................................................... 20

2.1.1 Cơ sở của phương pháp ............................................................... 20

2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp lặp..................................................... 21

2.2 Phương pháp lặp song song giải bài toán biên hỗn hợp mạnh. ............ 26

2.2.1 Bài toán ....................................................................................... 26

2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp .......................................................... 27

2.3 Phương pháp xấp xỉ biên giải phương trình song điều hòa.................. 30

Chương 3 Mô hình bài toán biên hỗn hợp ................................................ 35

3.1 Mô hình toán học................................................................................ 35

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

3.2 Một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ đối với bài toán biên hỗn hợp

................................................................................................................. 38

3.2.1 Phương pháp lặp tuần tự .............................................................. 39

3.2.2 Phương pháp lặp song song ......................................................... 43

3.2.3 Phương pháp lặp đối với bài toán biên hỗn hợp mạnh.................. 44

Kết luận....................................................................................................... 49

Tài liệu tham khảo ..................................................................................... 50

Phần phụ lục ............................................................................................... 51

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Các ký hiệu

L

Toán tử Elliptic

n 

Không gian Euclid

n

chiều



Miền giới nội trong không gian

n 



Biên trơn Lipschitz

 

k C 

Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục

 

2 L 

Không gian các hàm đo được bình phương khả tích

  W1,p 

Không gian Sobolev với chỉ số

p

 

1/2 H 

Không gian Sobolev với chỉ số

1/ 2  

1 H0 

Không gian các hàm có vết bằng 0 trên

  

1 H

 

Không gian đối ngẫu với

 

1 H0 

 

1/2 H

 

Không gian đối ngẫu với

 

1/2 H 

.

V

Chuẩn xác định trên không gian

V

.V

Tích vô hướng xác định trên không gian

V

C

 

Hằng số vết

C

Hằng số poincare

E

Ma trận đơn vị

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

1

Mở đầu

Trong thực tế, các bài toán cơ học và vật lý thường được mô tả bằng các bài

toán biên với phương trình đạo hàm riêng dạng cấp hai và cấp bốn trong đó phương

trình Elliptic và phương trình song điều hòa là các phương trình được các nhà khoa

học kỹ thuật rất quan tâm bởi các phương trình đó liên quan đến các bài toán mô tả

độ uốn, dao động của các tấm và màng mỏng. Đại đa số các trường hợp, các bài

toán thực tế thường được mô hình hóa bằng chỉ một loại phương trình. Tuy nhiên

khi nghiên cứu mô hình chuyển dịch ngang của một tấm đàn hồi được cấu thành bởi

hai thành phần khác nhau, một là màng mỏng và phần còn lại là bản cứng, thông

qua mô hình toán học, dao động của hệ hỗn hợp trên sẽ được mô tả bởi bài toán

biên tiêu biểu dạng hỗn hợp giữa phương trình cấp hai và cấp bốn với các điều kiện

biên hỗn hợp hoặc hỗn hợp mạnh. Trong tài liệu [5], tác giả đã mô tả bài toán,

chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm và đồng thời và đưa ra một phương pháp

lặp xác định nghiệm gần đúng của bài toán hỗn hợp trên cơ sở sơ đồ chia miền

Dirichle-Neumann. Tuy nhiên trên cơ sở phương pháp phân rã bài toán cấp bốn về

hai bài toán cấp hai kết hợp với phương pháp chia miền cùng phương pháp toán tử

biên, ta có thể xây dựng một số phương pháp lặp khác để giải bài toán trên.

Nội dung chính của luận văn đặt vấn đề nghiên cứu mô hình toán học của bài

toán hỗn hợp, trên cơ sở các kết quả về phương pháp phân rã, phương pháp xấp xỉ

biên và phương phương pháp chia miền xây dựng một số phương pháp lặp để tìm

nghiệm xấp xỉ của bài toán, khảo sát sự hội tụ và tính toán tử nghiệm trên máy tính

điện tử để kiểm tra sự hội tụ của các sơ đồ lặp. Cấu trúc của luận văn gồm ba

chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm, các khái

niệm cơ bản về nghiệm yếu của phương trình Elliptic, lý thuyết về sơ đồ lặp,

phương pháp sai phân, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán giải hệ phương trình

vectơ 3 điểm. Đây là những kiến thức quan trọng làm cơ sở nghiên cứu về mô hình

bài toán được mô tả ở các chương tiếp theo của luận văn.

Chương 2: Đưa ra các kết quả đã biết về phương pháp chia miền dưới dạng

tuần tự và song song để giải các bài toán biên hỗn hợp mạnh, phương pháp xấp xỉ

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/