Một số phép biến đổi trên tam giác

B浦ăGIÁOăD影CăVÀăĐÀOăT萎O

ĐẠIăH窺CăĐÀăN允NG



NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

MỘT S渦 PHÉP BIẾNăĐỔI

TRÊN TAM GIÁC

Chuyênăngành:ăPhươngăphápăToánăsơăcấp

Mã s嘘: 60.46.01.13

TÓMăTẮTăLU一NăV;NăTHẠCăSĨăKHOAăH窺Că

ĐàăN印ng – N<mă2016

Công trình đư嬰c hoàn thành t衣i

ĐẠIăH窺CăĐÀăN允NG

Ngườiăhướngăd磯năkhoaăh丑c: TS. TRỊNHăĐÀOăCHIẾN

Phảnăbiệnă1:ăTS.ăCAOăV;NăNUÔIă

Phảnăbiệnă2:ăPGS.ăTS.ăHUỲNHăTHẾăPHÙNGă

Luậnăv<năđã đư嬰căbảoăvệăt衣iăH瓜iăđồngăchấm Luậnăv<nătốtănghiệpă

th衣căsĩăKhoaăhọcăchuyênăngànhăPhươngăphápăToánăsơăcấpăt衣iăĐ衣iăhọcă

ĐàăNẵngăvàoăngàyă13 tháng 8 n<mă2016.

Tìmăhiểuăluậnăv<năt衣i:

- Trung tâm Thông tin-Họcăliệu,ăĐ衣iăhọcăĐàăNẵng

- ThưăviệnătrườngăĐ衣iăhọcăSưăph衣m,ăĐ衣iăhọcăĐàăNẵng

✶

▼Ð ✣❺❯

✶✳ ▲þ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐

❚❛♠ ❣✐→❝ ❧➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ q✉❡♥ t❤✉ë❝ ✈➔ q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❚♦→♥

♣❤ê t❤æ♥❣✳

❈→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ t❛♠ ❣✐→❝ ❝❤♦ ✤➳♥ ♥❛② ✤➣

r➜t ♣❤♦♥❣ ♣❤ó✱ ✤á✐ ❤ä✐ ♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s❛✉ ♣❤↔✐ ✈ø❛ ❦➳ t❤ø❛ ❝→❝

❝æ♥❣ tr➻♥❤ tr÷î❝ ✤â✱ ✈ø❛ ♣❤↔✐ ✤➲ ❝➟♣ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❝❤✉②➯♥ s➙✉ ❤ì♥✱ ✈î✐ ♠ët

❧➽♥❤ ✈ü❝ ❤➭♣ ♥➔♦ ✤â ✈➲ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❞÷î✐ ✤➙② ✈➲ t❛♠

❣✐→❝✱ ❝á♥ ✤÷ñ❝ ✤➲ ❝➟♣ ❦❤→ ➼t✿

✲ ❈→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❜↔♦ t♦➔♥ ②➳✉ tè ❣â❝ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳

✲ ❈→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❜↔♦ t♦➔♥ ②➳✉ tè ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳

✲ ⑩♣ ❞ö♥❣ ♠ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➸ t↕♦ r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♠î✐✳

▲✉➟♥ ✈➠♥ s➩ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ❜❛ ✈➜♥ ✤➲ tr➯♥✱ ❣✐ó♣ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔✐ ✤÷ñ❝ ♠ët sè ❧î♣

❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ t❛♠ ❣✐→❝ ❤♦➦❝ s→♥❣ t→❝ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❜➜t

✤➥♥❣ t❤ù❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ tø ♠ët ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➣ ❜✐➳t✳

❉♦ ✤â✱ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ❧➔ ❝➛♥ t❤✐➳t✱ ❝â þ

♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛ ❤å❝✱ ♠❛♥❣ t➼♥❤ t❤ü❝ t✐➵♥ ✈➔ ♣❤ò ❤ñ♣ ✈î✐ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ P❤÷ì♥❣

♣❤→♣ ❚♦→♥ sì ❝➜♣✳

✷✳ ▼ö❝ t✐➯✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

▲✉➟♥ ✈➠♥ s➩ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♠ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ →♣ ❞ö♥❣ ❝❤ó♥❣

✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❞↕♥❣ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ t❛♠ ❣✐→❝✱ ♠ët sè ❞↕♥❣ t♦→♥ tê♥❣ ❤ñ♣✱

❧➔ ✤➲ t❤✐ tr♦♥❣ ❝→❝ ❦ý t❤✐ ❝❤å♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❝→❝ ♥÷î❝✱ ❦❤✉ ✈ü❝✱ ❖❧②♠♣✐❝ t♦→♥

q✉è❝ t➳✳

▲✉➟♥ ✈➠♥ ❝ô♥❣ s➩ ✤➲ ①✉➜t ♠ët sè ❜➔✐ t➟♣ tü s→♥❣ t→❝✱ ♥❤➡♠ ♣❤ö❝ ✈ö ❝❤♦

❝æ♥❣ t→❝ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❜ç✐ ❞÷ï♥❣ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ð ♣❤ê t❤æ♥❣✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ✤è✐ ✈î✐ ❤➺

❝❤✉②➯♥ ❚♦→♥✳

✸✳ ✣è✐ t÷ñ♥❣ ✈➔ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

✲ ✣è✐ t÷ñ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ▼ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝✳

✲ P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ❚❤✉ë❝ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t♦→♥ sì ❝➜♣✳

✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

✷

❚ø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ s÷✉ t➛♠ ✤÷ñ❝✱ ❞÷î✐ sü ✤à♥❤ ❤÷î♥❣ ❝õ❛ ♥❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛

❤å❝✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ s➩ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♠ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ ❝→❝ →♣ ❞ö♥❣

❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳

✺✳ Þ ♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ t✐➵♥ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐

❱î✐ ♠ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥➯✉ tr➯♥✱ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ ❝â þ ♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛

❤å❝✱ ♠❛♥❣ t➼♥❤ t❤ü❝ t✐➵♥ ✈➔ ♣❤ò ❤ñ♣ ✈î✐ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❚♦→♥ sì

❝➜♣✳

❈â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥❤÷ ❧➔ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝❤♦ ❣✐→♦ ✈✐➯♥✱ ❤å❝ s✐♥❤

✈➔ ❜↕♥ ✤å❝ q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ ❝æ♥❣ t→❝ ❜ç✐ ❞÷ï♥❣ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✳

✻✳ ❈➜✉ tró❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥

◆❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷ñ❝ ❝❤✐❛

t❤➔♥❤ ✸ ❝❤÷ì♥❣✿

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥✱ sû ❞ö♥❣ ❝❤♦ ♥❤ú♥❣ ❝❤÷ì♥❣

t✐➳♣ t❤❡♦ ♥❤÷ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ P❡①✐❞❡r❀ ❝→❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥

tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❊r❞♦s✲▼♦r❞❡❧❧✳

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❜↔♦ t♦➔♥ ❣â❝✱ ❝↕♥❤ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ →♣

❞ö♥❣

❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♠ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❜↔♦ t♦➔♥ ②➳✉ tè ❣â❝✱ ❝↕♥❤ tr➯♥

t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ →♣ ❞ö♥❣ ❝❤ó♥❣ ✤➸ tø ♠ët ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❤♦➦❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➣ ❜✐➳t

❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝→❝ ❣â❝✱ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝✱ t❛ ❝â t❤➸ →♣ ❞ö♥❣ ❦➳t q✉↔

✤â ✤➣ ♥➯✉ ✤➸ s→♥❣ t→❝ r❛ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤â ❝â t❤➸ ❝â

♥❤✐➲✉ ❝→❝❤ ❣✐↔✐✱ ♥❤÷♥❣ ➼t ♥❤➜t ♠ët ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ✤➣ ✤÷ñ❝ t➻♠ r❛ tø ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣

s→♥❣ t→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✳

❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ▼ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❦❤→❝ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝

❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ✈✐➺❝ →♣ ❞ö♥❣ ♠ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❦❤→❝ tr➯♥ t❛♠

❣✐→❝✱ ✤➸ tø ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➣ ❜✐➳t ✭❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❊r❞♦s✲▼♦r❞❡❧❧✮ t❛

t↕♦ r❛ ♥❤✐➲✉ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♠î✐ t❤➸ ❤✐➺♥ ❝→❝ ②➳✉ tè ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳

✸

❈❍×❒◆● ✶

❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥✱ sû ❞ö♥❣ ❝❤♦ ♥❤ú♥❣ ❝❤÷ì♥❣

t✐➳♣ t❤❡♦✳

❑➼ ❤✐➺✉ △, △i

❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ABC, AiBiCi (i = 0, 1, 2, 3)✳ ✣➸ t❤✉➟♥

t✐➺♥✱ ✤ë ❧î♥ ❝→❝ ❣â❝ ù♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ✤➾♥❤ Ai

, Bi

, Ci ❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ t÷ì♥❣ ù♥❣

❧➔ Ai

, Bi

, Ci

✳

✣ë ❞➔✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✿ ai

, bi

, ci

✳

✣÷í♥❣ ❝❛♦ ù♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ❝↕♥❤✿ hai

, hbi

, hci

✳

✣÷í♥❣ tr✉♥❣ t✉②➳♥ ù♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ❝↕♥❤✿ mai

, mbi

, mci

✳

❇→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ✈➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣✿ Ri ✈➔ ri

✳

❇→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣✿ rai

, rbi

, rci

✳

▲➜② M ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✱ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉✿

❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø M ✤➳♥ ❝→❝ ✤➾♥❤✿ Rai

, Rbi

, Rci

✳

❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø M ✤➳♥ ❝→❝ ❝↕♥❤✿ dai

, dbi

, dci

✳

❍➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ M ❧➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤✿ A1, B1, C1✳

❉✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ △ABC, △MBC, △MCA, △MAB ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ S, Sa, Sb

, Sc

✳

❚ê♥❣ ❤♦→♥ ✈à✿ Pa, PRa, ....✳

❈ö t❤➸ ❧➔✿ Pa = a + b + c✱

PRa = Ra + Rb + Rc

, ...✳

✶✳✶✳ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❍⑨▼ P❊❳■❉❊❘

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳ ◆❣❤✐➺♠ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ P❡①✐❞❡r ❧➔✿







f(x) = ax + c1 + c2

g(x) = ax + c1 , x ∈ R.

h(x) = ax + c2

✹

✶✳✷✳ ❈⑩❈ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❱⑨ ❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❈❒ ❇❷◆ ❚❘❖◆●

❚❆▼ ●■⑩❈

✶✳✷✳✶✳ ❈→❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✳ ✭✣à♥❤ ❧➼ ❤➔♠ sè s✐♥✮ ❚r♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC t❛ ❝â

a

sin A

=

b

sin B

=

c

sin C

= 2R.

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✸✳ ✭✣à♥❤ ❧➼ ❤➔♠ sè ❝æs✐♥✮ ❚r♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC t❛ ❝â

a

2 = b

2 + c

2 − 2bc cos A,

b

2 = c

2 + a

2 − 2ca cos B,

c

2 = a

2 + b

2 − 2ab cos C.

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✹✳ ✭❈→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✈➲ ❞✐➺♥ t➼❝❤✮ ❉✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✤÷ñ❝

t➼♥❤ t❤❡♦ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ s❛✉

S =

1

2

aha =

1

2

bhb =

1

2

chc

=

1

2

bc sin A =

1

2

ca sin B =

1

2

ab sin C

= pr

=

abc

4R

=

q

p(p − a)(p − b)(p − c) ✭❝æ♥❣ t❤ù❝ ❍➯✲ræ♥❣✮.

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✺✳ ✭❈→❝ ❤➺ t❤ù❝ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ ❝ì ❜↔♥✮ ❱î✐ A, B, C ❧➔ ❜❛ ❣â❝

❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝✱ t❛ ❧✉æ♥ ❝â ❝→❝ ❤➺ t❤ù❝ s❛✉

sin A + sin B + sin C = 4 cos

A

2

cos

B

2

cos

C

2

. ✭✶✳✶✮

sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C. ✭✶✳✷✮

cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin

A

2

sin

B

2

sin

C

2

. ✭✶✳✸✮

cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C. ✭✶✳✹✮

tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C. ✭✶✳✺✮

✺

✶✳✷✳✷✳ ❈→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❣â❝ ✈➔ ✤ë ❞➔✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ tr♦♥❣

t❛♠ ❣✐→❝

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✻✳ ✭❈→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ ❝ì ❜↔♥✮ ❱î✐ A, B, C ❧➔

❜❛ ❣â❝ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝✱ t❛ ❧✉æ♥ ❝â ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉

0 < sin A + sin B + sin C ≤ 3

√

3

2

. ✭✶✳✻✮

2 < sin A + sin B + sin C ≤ 3

√

3

2

,✭t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥❤å♥✮. ✭✶✳✼✮

0 < sin A + sin B + sin C ≤ 1 + √

2,✭t❛♠ ❣✐→❝ ABC tò✮✳ ✭✶✳✽✮

2 < sin2 A + sin2 B + sin2 C ≤

9

4

, ✭t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥❤å♥✮. ✭✶✳✾✮

sin A + sin B + sin C ≥ sin 2A + sin 2B + sin 2C. ✭✶✳✶✵✮

sin A.sin B.sin C ≤ 3

√

3

8

. ✭✶✳✶✶✮

0 < sin A.sin B.sin C ≤ 3

√

3

8

. ✭✶✳✶✷✮

1 < sin

A

2

+ sin

B

2

+ sin

C

2

≤

3

2

. ✭✶✳✶✸✮

3

4

< sin2 A

2

+ sin2 B

2

+ sin2 C

2

≤ 1. ✭✶✳✶✹✮

1 < cos2 A + cos2 B + cos2 C ≤ 3, ✭t❛♠ ❣✐→❝ ABC tò✮. ✭✶✳✶✺✮

cos A. cos B. cos C ≤

1

8

. ✭✶✳✶✻✮

−1 < cos A. cos B. cos C ≤

1

8

. ✭✶✳✶✼✮

0 < cos A. cos B. cos C ≤

1

8

,✭t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥❤å♥✮. ✭✶✳✶✽✮

2 < cos

A

2

+ cos

B

2

+ cos

C

2

≤ 3

√

3

2

. ✭✶✳✶✾✮

tan A + tan B + tan C ≥ 3

√

3,✭t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥❤å♥✮. ✭✶✳✷✵✮



sin

A

2

+ sin

B

2

+ sin

C

2

2

≤ cos2 A

2

+ cos2 B

2

+ cos2 C

2

. ✭✶✳✷✶✮

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✼✳ ✭❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➲ ❝↕♥❤ t❛♠ ❣✐→❝✮ ❈→❝ sè ❞÷ì♥❣ a, b, c

❧➔ ✤ë ❞➔✐ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

|b − c| < a < b + c. ✭✶✳✷✷✮

❤♦➦❝ a + b > c, b + c > a, c + a > b. ✭✶✳✷✸✮

✻

✶✳✸✳ ❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❊❘❉❖❙✲▼❖❘❉❊▲▲

❇ê ✤➲ ✶✳✶✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ M ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❑❤✐ ✤â

t❛ ❧✉æ♥ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

Ra ≥

b

a

db +

c

a

dc.

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ✭✣❚❳❘✮ ❦❤✐ M ∈ ha✳

❇ê ✤➲ ✶✳✷✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC✱ M ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ M′

❧➔

✤✐➸♠ ✤è✐ ①ù♥❣ ✈î✐ M q✉❛ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ AK✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❧✉æ♥ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

Ra ≥

b

a

dc +

c

a

db

.

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ M′ ∈ ha✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✽✳ ✭❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❊r❞♦s✲▼♦r❞❡❧❧✮ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ M

❧➔ ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❧✉æ♥ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

Ra + Rb + Rc ≥ 2 (da + db + dc). ✭✶✳✷✹✮

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ △ABC ✤➲✉ ✈➔ M ❧➔ trü❝ t➙♠ t❛♠ ❣✐→❝ ABC✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✾✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ M ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❑❤✐ ✤â

t❛ ❧✉æ♥ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

aRa + bRb + cRc ≥ 2 (ada + bdb + cdc). ✭✶✳✷✺✮

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ M ❧➔ trü❝ t➙♠ t❛♠ ❣✐→❝ ABC✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✵✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ M ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❑❤✐

✤â t❛ ❧✉æ♥ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

a

Ra

da

+ b

Rb

db

+ c

Rc

dc

≥ 2(a + b + c). ✭✶✳✷✻✮

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ △ABC ✤➲✉ ✈➔ M ❧➔ trü❝ t➙♠ t❛♠ ❣✐→❝ ABC✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✶✳ ❱î✐ x, y > 0✱ t❛ ❧✉æ♥ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉







(x + y)

α ≥ x

α + y

α

, α ≥ 1;

(x + y)

α ≥ 2

α−1

(x

α + y

α

), 0 < α ≤ 1.

✭✶✳✷✼✮

✼

❈❍×❒◆● ✷

P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❇❷❖ ❚❖⑨◆ ❨➌❯ ❚➮ ●➶❈✱

❈❸◆❍ ❚❘➊◆ ❚❆▼ ●■⑩❈ ❱⑨ ⑩P ❉Ö◆●

❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♠ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❜↔♦ t♦➔♥ ②➳✉ tè ❣â❝✱ ❝↕♥❤ tr➯♥

t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ →♣ ❞ö♥❣ ❝❤ó♥❣ ✤➸ t↕♦ r❛ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ♠î✐ ❦❤→ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó✳ ❈→❝

❦✐➳♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ [1] ✈➔ [3]✳

✷✳✶✳ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❇❷❖ ❚❖⑨◆ ❨➌❯ ❚➮ ●➶❈ ❚❘➊◆ ❚❆▼

●■⑩❈

✷✳✶✳✶✳ ▼ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❜↔♦ t♦➔♥ ②➳✉ tè ❣â❝ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝

✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳ ❈→❝ ❤➔♠ t❤ü❝ ❧✐➯♥ tö❝

A → A1, B → B1, C → C1

❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

A1 + B1 + C1 = π, ✭✷✳✶✮

✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

A + B + C = π, ✭✷✳✷✮

♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ❝❤ó♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

A1 = kA + lπ, B1 = kB + mπ, C1 = kC + nπ, ✭✷✳✸✮

tr♦♥❣ ✤â k + l + m + n = 1.

❉÷î✐ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛✳

❱➼ ❞ö ✷✳✶✳ ❈❤å♥ k = −2, l = 1, m = 1, n = 1✳

❑❤✐ ✤â

A1 = −2A + π; B1 = −2B + π; C1 = −2C + π.

❱➼ ❞ö ✷✳✷✳ ❈❤å♥ k = −1, l =

1

2

, m =

1

2

, n = 1✳

❑❤✐ ✤â

A1 = −A +

π

2

; B1 = −B +

π

2

; C1 = −C + π.