Một số phép biến đổi tích phân và ứng dụng.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN − − − ? − − −

NGUYỄN THỊ NGỌC HIỆP

MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Cử nhân Toán - Tin

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khoa học:

TH.S PHAN ĐỨC TUẤN

Đà Nẵng, 5/2012

2

MỤC LỤC

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Chương 1. Các phép biến đổi tích phân 7

1.1 Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier . . . . . . 11

1.2 Phép biến đổi Fourier sin và Fourier cosin . . . . . . . . 13

1.2.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosin và

Fourier sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2 Tích chập đối với phép biến đổi Laplace . . . . . 20

1.4 Phép biến đổi Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Chương 2. Một số ứng dụng 25

2.1 Ứng dụng của phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Giải phương trình vi phân thường . . . . . . . . . 25

2.1.2 Giải phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . 27

2.1.3 Giải phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . 30

2.2 Ứng dụng của phép biến đổi Fourier sin và Fourier cosin

cho phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1 Phương trình tán xạ 1-chiều trên nửa đường thẳng 33

2.2.2 Phương trình Laplace trong phần tư mặt phẳng . 36

2.3 Ứng dụng của phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . 36

2.3.1 Giải phương trình vi phân thường . . . . . . . . . 36

2.3.2 Giải phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . 40

Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp

3

2.3.3 Giải phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . 41

2.4 Ứng dụng của phép biến đổi Hankel cho phương trình đạo

hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp

4

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn thầy Phan Đức Tuấn, là thầy hướng dẫn,

đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu và hướng dẫn tận tình trong suốt

quá trình em thực hiện đề tài của mình. Đồng thời em xin gửi lời cảm

ơn đến thầy cô khoa Toán đã luôn ủng hộ và tạo điều kiện để em có thể

hoàn thành luận văn. Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy cô

trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã trang bị cho em hành trang kiến

thức vô cùng quý giá và bổ ích trong suốt 4 năm học.

Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp

5

LỜI NÓI ĐẦU

Nhiều vấn đề trong kỹ thuật đưa đến việc giải một phương trình vi

phân thường, phương trình đạo hàm riêng hay phương trình tích phân.

Như việc nghiên cứu sự đổi dạng của chùm tia sáng vô hạn trong môi

trường đàn hồi dẫn đến việc giải một phương trình vi phân thường:

EI d

4u

dx4

+ κu = W(x), −∞ < x < ∞.

Khi nghiên cứu các dao động của dây, màng sóng, sóng âm, sóng đàn

hồi, sóng điện trường,.. dẫn đến việc giải các phương trình đạo hàm riêng

như phương trình Eliptic:

uxx + uyy = 0, −∞ < x < ∞, y ≥ 0.

Trong cơ học lượng tử, xung lượng của các hạt cơ bản được biểu diễn

qua một phương trình tích phân Fredholm:

ϕ(x) = Z

Ω

K(x, y)ϕ(y)dy.

Một vấn đề đặt ra là đi tìm lời giải cho các phương trình vi phân, tích

phân trong các bài toán kĩ thuật. Việc sử dụng các phép biến đổi tích

phân để giải các phương trình kể trên ra đời rất sớm và liên tục phát triển

cho đến tận ngày nay. Có vai trò đặc biệt quan trọng trong lý thuyết

này phải kể đến trước hết là phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier

sin, Fourier cosin, Hartley, tiếp theo là phép biến đổi Laplace, phép biến

đổi Mellin, sau đó là các phép biến đổi tích phân Hankel, Kontorovich￾Lebedev,... Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, lý thuyết tích

chập của các phép biến đổi tích phân cũng xuất hiện vào khoảng đầu

thế kỉ XX. Nhờ vào việc kết hợp giữa phép biến đổi tích phân và định

lý tích chập của nó cung cấp một cách biểu diễn nghiệm tường minh

Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp