Một số nghiên cứu về hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều

BỘ QUỐC PHÒNG

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ

——————– * ———————

ĐÀO TRỌNG QUYẾT

MỘT SỐ NGHIÊN CỨU

VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES

HAI CHIỀU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2013

BỘ QUỐC PHÒNG

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ

——————– * ———————

ĐÀO TRỌNG QUYẾT

MỘT SỐ NGHIÊN CỨU

VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES

HAI CHIỀU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 62 46 01 12

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Cung Thế Anh

HÀ NỘI - 2013

1

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết

chung với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi

đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực và

chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác.

NCS. Đào Trọng Quyết

2

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện tại Bộ môn Toán - Khoa Công nghệ Thông

tin - Học viện Kỹ thuật Quân sự, dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình,

chu đáo của TS. Cung Thế Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết

ơn sâu sắc đến Thầy, người đã dẫn dắt tác giả vào một hướng nghiên cứu tuy

khó khăn, vất vả nhưng thực sự thú vị và có ý nghĩa.

Tác giả vô cùng biết ơn GS. TSKH Phạm Thế Long, PGS.TS. Đào Thanh

Tĩnh, PGS.TS. Nguyễn Xuân Viên, PGS.TS. Tô Văn Ban, TS. Trần Đình Kế,

TS. Trần Quang Vinh, TS. Nguyễn Công Minh đã cổ vũ động viên và truyền

cho tác giả nhiều kinh nghiệm quý báu trong nghiên cứu khoa học.

Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám đốc, Phòng Sau Đại học,

Ban Chủ nhiệm Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự; đặc

biệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ Thông tin, Học

viện Kỹ thuật Quân sự và Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả

trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Lời cảm ơn sau cùng, xin dành cho gia đình của tác giả, những người đã

dành cho tác giả tình yêu thương trọn vẹn, từng ngày chia sẻ, động viên tác

giả vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận án. Tác giả thành kính dâng

tặng món quà tinh thần này lên các bậc sinh thành, những người từng ngày

đón đợi và hy vọng ở từng bước trưởng thành của tác giả.

3

Mục lục

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Một số kí hiệu dùng trong luận án. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI . . . . . . . . . 7

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . 12

4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM, TOÁN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN . . . . . . . . . . . 15

1.1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.2. Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.3. Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến . . 17

1.2. TẬP HÚT TOÀN CỤC VÀ TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . 18

1.2.1. Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.2. Tập hút lùi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4

1.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.1. Không gian hàm phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . 25

1.3.2. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . 26

1.3.3. Một số bổ đề và định lí quan trọng . . . . . . . . . . . . 27

Chương 2. NGHIỆM YẾU CỦA HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU . . 29

2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU . . . . . . 30

2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4. ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI . . . 40

2.5. MỘT SỐ KẾT QUẢ TRONG TRƯỜNG HỢP Ô-TÔ-NÔM . . 48

2.5.1. Sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn

cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.5.2. Sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng . 48

Chương 3. NGHIỆM MẠNH CỦA HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU 50

3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM MẠNH . . . . . 51

3.3. DÁNG DIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM MẠNH . . . . . . . 58

3.3.1. Sự tồn tại tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.2. Sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng . 63

3.4. XẤP XỈ NGHIỆM MẠNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4.1. Xấp xỉ nghiệm mạnh trong khoảng thời gian hữu hạn . 67

3.4.2. Xấp xỉ dáng điệu tiệm cận của nghiệm mạnh . . . . . . 74

Chương 4. HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU VỚI TRỄ VÔ HẠN. . . . 79

4.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU . . . . . . 81

4.3. SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM

DỪNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2. KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . 102

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG

LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6

MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

Hg, Vg các không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes

(xin xem chi tiết ở tr. 15-16)

V

′

g

không gian đối ngẫu của không gian Vg

(·, ·)g, | · | tích vô hướng và chuẩn trong không gian Hg

((·, ·))g, ∥ · ∥ tích vô hướng và chuẩn trong không gian Vg

∥ · ∥∗ chuẩn trong không gian V

′

g

⟨·, ·⟩ đối ngẫu giữa Vg và V

′

g

| · |p chuẩn trong không gian L

p

(Ω), với 1 ≤ p ≤ ∞

Id ánh xạ đồng nhất

A, B, C các toán tử dùng để nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes (xin

xem chi tiết ở tr. 16)

D(A) miền xác định của toán tử A

⇀ hội tụ yếu

Y

X

bao đóng của Y trong X

B(X) họ các tập con bị chặn của X

dF (K) số chiều fractal của tập compact K

γ0 γ0 = 1 −

|∇g|∞

m0λ

1/2

1

(xem trang 30)

ut hàm trễ ut

(.) xác định bởi ut

(s) = u(t + s)

dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B

7

MỞ ĐẦU

1. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi

mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, ...,

dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứu

nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công

nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma. Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản

quan trọng trong cơ học chất lỏng, miêu tả dòng chảy của chất lỏng lí tưởng,

nhớt, không nén là hệ Navier-Stokes. Hệ phương trình Navier-Stokes được xây

dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng và có dạng:







∂u

∂t − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f(x, t),

∇ · u = 0.

ở đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm véctơ vận tốc và hàm áp suất

cần tìm, ν = const > 0 là hệ số nhớt và f là ngoại lực.

Mặc dù được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1822, cho đến nay đã có rất

nhiều bài báo và sách chuyên khảo viết về hệ phương trình Navier-Stokes, tuy

nhiên những hiểu biết của chúng ta về nghiệm của hệ phương trình này còn

khá khiêm tốn. Nói riêng, cho đến nay vấn đề tồn tại nghiệm mạnh toàn cục

và tính duy nhất của nghiệm yếu trong trường hợp ba chiều vẫn là thách thức

lớn đối với các nhà toán học cũng như vật lý. Tuy nhiên, vì nhu cầu của Khoa

học và Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes nói riêng

và các phương trình, hệ phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung ngày

càng trở nên thời sự và cấp thiết. Như được đề cập đến trong các cuốn chuyên

8

khảo [58, 59] và các bài báo tổng quan gần đây [10, 61], những vấn đề cơ bản

đặt ra khi nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất

lỏng là:

• Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính qui của nghiệm: Nghiệm ở đây

có thể là nghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh. Tính chính qui ở đây có thể là

tính chính qui theo biến thời gian (tính giải tích, tính Gevrey) hoặc tính

chính qui theo biến không gian (tính chính qui Hilbert, tính chính qui

H¨older, mô tả tập điểm kì dị).

• Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi

thời gian t ra vô cùng. Trong trường hợp ngoại lực f “lớn”, chúng ta

nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút, đó là một tập compact,

bất biến, hút các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu

tiệm cận nghiệm; còn khi ngoại lực f “nhỏ” và không phụ thuộc thời

gian, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng,

tức là nghiệm của bài toán dừng tương ứng, và chứng minh nghiệm của

hệ đang xét dần đến nghiệm dừng này khi thời gian t ra vô cùng. Việc

nghiên cứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép dự đoán

xu thế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điều

chỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn.

• Xấp xỉ nghiệm: Vì các phương trình trong cơ học chất lỏng đóng một

vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học và kĩ thuật nên ta cần

cả những mô tả định tính và định lượng của nghiệm, nói riêng là việc

tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (vì nói chung ta không thể tìm

được nghiệm chính xác của phương trình, mặc dù nó tồn tại). Việc xấp

xỉ nghiệm chính xác của phương trình trong khoảng thời gian hữu hạn

hoặc xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm là những vấn đề hết sức quan

trọng khi áp dụng vào các mô hình thực tế. Về mặt toán học, chúng ta

phải xây dựng các lược đồ xấp xỉ nghiệm, chứng minh lược đồ nhận được

9

là ổn định và hội tụ về nghiệm chính xác của phương trình. Về vấn đề

này đối với hệ Navier-Stokes, xin xem các cuốn chuyên khảo [26, 58, 59]

và những bài báo gần đây [20, 28, 30, 31, 32].

• Bài toán điều khiển được và bài toán điều khiển tối ưu. Tìm điều khiển

thích hợp (trên miền con hoặc trên biên) sao cho có thể chuyển quỹ đạo

của hệ từ vị trí này sang vị trí khác mà ta mong muốn, hoặc là tìm điều

khiển thích hợp để nghiệm tương ứng làm cực đại hoặc cực tiểu một

phiếm hàm cho trước. Về hướng nghiên cứu thời sự và khó này, xin xem

các cuốn chuyên khảo [19, 23].

Bên cạnh hệ phương trình Navier-Stokes, trong những năm gần đây nhiều

lớp phương trình và hệ phương trình khác trong cơ học chất lỏng cũng thu

hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học bởi ý nghĩa và tầm

quan trọng của chúng, cũng như những khó khăn thách thức về mặt toán học

đặt ra khi nghiên cứu. Những phương trình này bao gồm một số mở rộng

hoặc biến dạng của hệ Navier-Stokes: α-mô hình [29], hệ Navier-Stokes-Voigt

[7, 8, 25, 36, 37], hệ Brinkman-Forchheimer [7, 38], hệ mô tả chuyển động của

chất lỏng không Newton [21], hệ chất lưu loại hai [49, 50], ...; các hệ phương

trình cặp trong cơ học chất lỏng: hệ Bénard [6, 12], hệ từ thủy động học

[57, 60], ...; và các mô hình tiệm cận trong cơ học chất lỏng [1, 3, 4, 11, 44].

Một trong những lớp hệ phương trình trong cơ học chất lỏng được nghiên

cứu nhiều trong những năm gần đây là lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes,

được đưa ra lần đầu tiên bởi J. Roh năm 2001. Hệ phương trình g-Navier-Stokes

có dạng:







∂u

∂t − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f(x, t),

∇ · (gu) = 0.

(1)

ở đó g = g(x) là một hàm số dương cho trước. Như được đề cập trong [54], có

hai lí do chính dẫn đến việc nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes, đặc

biệt là trong trường hợp hai chiều: