Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Một số nghiên cứu gần đây về các ánh xạ chỉnh hình tách biến
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠ I HỌ C THÁ I NGUYÊN
TRƯỜ NG ĐẠ I HỌ C SƯ PHẠ M
DƯƠNG THỊ HỒNG NGỌC
MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ
CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN
CHUYÊN NGÀ NH : TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ : 60.46.01
LUẬ N VĂN THẠ C SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚ NG DẪ N KHOA HỌ C: TS . NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI
Thái Nguyên- 2010
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠ I HỌ C THÁ I NGUYÊN
TRƯỜ NG ĐẠ I HỌ C SƯ PHẠ M
DƯƠNG THỊ HỒNG NGỌC
MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ
CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN
LUẬ N VĂN THẠ C SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên- 2010
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
MỤC LỤC
Trang
Mở đầu.................................................................................................................1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị...........................................................................5
1.1. Miền xấp xỉ.....................................................................................5
1.2. Tập đa cực.......................................................................................9
1.3. Hàm cực trị tương đối.....................................................................9
1.4. Độ đo đa điều hoà dưới.................................................................10
1.5. Ánh xạ chỉnh hình tách.................................................................11
1.6. Tính chất thác triển Hartogs..........................................................14
1.7. Lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý của Rosay trên các đĩa
chỉnh hình......................................................................................15
Chương 2. Một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình tách
biến.....................................................................................................................17
2.1. Dạng tổng quát của định lý Alehyane - Zeriehi trong trường hợp
A D B G ,
................................................................................17
2.2 Bài toán 1 trong trường hợp
A D B G ,
.............................23
2.3. Bài toán 1 trong trường hợp tổng quát..........................................36
2.4. Bài toán 2......................................................................................51
2.5. Một số áp dụng............................................................................ 55
Kết luận .............................................................................................................58
Tài liệu tham khảo............................................................................................59
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
MỞ ĐẦU
Nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình tách biến là một trong những hướng
nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Những kết quả cơ bản trong lĩnh
vực này gắn liền với các tên tuổi như Riemann, Hartogs, Oka, Bernstein ...
Ngày nay, nhiều nhà toán học trên thế giới vẫn tiếp tục quan tâm đến vấn đề
trên bằng những cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết được những bài
toán cụ thể đặt ra trong lĩnh vực đó. Trong đó có hai bài toán cơ bản sau:
Bài toán 1: Cho
X Y,
là hai đa tạp phức, giả sử
D
( tương ứng
G
)
là một tập con mở của
X
(tương ứng
Y
),
A
(tương ứng
B
) là một tập con
của
D
(tương ứng
G
) và
Z
là không gian giải tích phức. Ta định nghĩa chữ
thập như sau:
W D A B A G B : (( ) ) ( ( )). ÈÈÈ
Bao chỉnh hình của chữ thập
W
là một tập con mở ''tối ưu'' của
X Y
ký hiệu là
W
được đặc trưng bởi các tính chất sau:
Với mỗi ánh xạ
f W Z :
thoả mãn
( , ) ( , ) ( , ), ,
( , ) ( , ) ( , ), ,
f a G B Z G Z a A
f b D A Z D Z b B
Î È Ç Î
Î È Ç Î
C O
C O
thì tồn tại một ánh xạ
f W Z Î O( , )
sao cho với mọi
( ) , z,h Î W
f z w ( , )
dần tới
f ( , ) z h
khi
( , ) z w WÎ
dần tới
( ) z,h .
Trước khi nói đến bài toán thứ hai ta đưa ra một vài thuật ngữ và ký
hiệu sau:
Cho
X Y D G A B , , , , ,
và
Z
và
W
như trong bài toán 1.Giả sử
M W ,
tập hợp
M w G a w M a A a
: :( , ) , , Î Î Î
được gọi là thớ thẳng đứng của
M
trên
a
(tương ứng
: :( , ) , ,
b M z D z b M b B Î Î Î
được gọi là thớ nằm ngang
của
M
trên
b
).
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
Ta nói rằng
M
có tính chất nào đó trong các thớ trên
A
(tương ứng
B
)
nếu tất cả các thớ thẳng đứng
, , M a A a
Î
(tương ứng tất cả các thớ nằm ngang
, ,
b M b B Î
) có tính chất này.
Bài toán 2: Với giả thiết ở trên và ký hiệu
W
là bao chỉnh hình của
W
được
đưa ra trong bài toán 1 .Với mỗi tập con
M W
đa cực địa phương đóng
tương đối(tương ứng mỏng) trong các thớ trên
A
và
B
(có thể
M Æ
) thì
tồn tại một tập"tối ưu" các điểm kỳ dị
M W
là đa cực địa phương đóng
tương đối (tương ứng là tập giải tích đóng tương đối) được đặc trưng bởi các
tính chất sau. Với mọi ánh xạ
f W Z :
thoả mãn
( , ) (( ) , ) ( , ), ,
( , ) (( ) , ) ( , ), ,
a a
b b
f a G B \ M Z G \ M Z a A
f b D A \ M Z D \ M Z b B
Î È Ç Î
Î È Ç Î
C O
C O
thì tồn tại ánh xạ
f W M Z Î O( \ , )
sao cho với mọi
( ) , z,h Î W \ M
f z w ( , )
dần
tới
f ( , ) z h
khi
( , ) \ z w W M Î
dần tới
( ) z,h .
Có rất nhiều nhà toán học đã nghiên cứu giải quyết hai bài toán trên
trong một số trường hợp cụ thể. Kết quả chủ yếu đầu tiên của chỉnh hình tách
là định lý thác triển Hartogs đối với các hàm chỉnh hình tách (xem [9]) giải
quyết bài toán 1 trong trường hợp
, , , ,
n m X Y A D B G Z
và
kết quả là
W D G
. Sử dụng hàm cực trị tương đối, Siciak đã giải quyết
bài toán 1 trong trường hợp
A D B G X Y Z , , ,
. Các bước
nghiên cứu tiếp theo được bắt đầu bởi Zahariuta vào năm 1976 sau đó là
Nguyễn Thanh Vân và Zeriahi. Shiffman là người đầu tiên tổng quát hoá một
số kết quả của Siciak đối với các ánh xạ chỉnh hình tách với giá trị trong
không gian giải tích phức (xem [33]).
www.VNMATH.com