Một số lớp phương trình Diophantine

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI HỮU MÊN

MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI HỮU MÊN

MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH. ĐẶNG HÙNG THẮNG

Thái Nguyên - 2017

3

Mục lục

Danh sách kí hiệu 4

Mở đầu 5

Chương 1. Phương trình Diophantine tuyến tính 7

1.1 Phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Phương trình bậc nhất nhiều ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Chương 2. Một số phương trình Diophantine phi tuyến 23

2.1 Phương trình Pell loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Phương trình Pell loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Phương trình Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Chương 3. Liên phân số và ứng dụng trong phương trình Diophantine 45

3.1 Liên phân số hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Liên phân số vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Liên phân số vô hạn tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4 Áp dụng vào phương trình Diophante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4.1 Phương trình bậc nhất hai ẩn Ax+By = C . . . . . . . . . . . . 56

3.4.2 Phương trình x

2 −dy2 = ±1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Kết luận 62

Tài liệu tham khảo 63

4

Danh sách kí hiệu

N tập hợp các số tự nhiên

Z vành các số nguyên

Q trường các số hữu tỷ

R trường các số thực

C trường các số phức

Fp trường có p phần tử

K[X] vành đa thức với hệ số trên trường K

dxe trần của số x

degP(X) bậc của đa thức P(X)

mod p modulo p

gcd(P(X),Q(X)) ước chung lớn nhất của hai đa thức P(X) và Q(X)

5

Mở đầu

Phương trình Diophantine là một chủ đề lớn của Lý thuyết số, chứa đựng nhiều lý

thuyết toán học sâu sắc, gắn liền với nhiều tên tuổi của nhiều nhà toán học xuất

sắc. Mục tiêu của đề tài luận văn là: Tìm hiểu một số lớp phương trình Diophantine

như: phương trình Diophantine tuyến tính; một số phương trình Diophantine phi

tuyến (phương trình Pell, phương trình Pell mở rộng, phương trình Pythagoras

Fermat). Liên phân số và ứng dụng trong phương trình Diophantine. Về mặt ứng

dụng, luận văn sẽ áp dụng lý thuyết để soi sáng những bài toán số học ở phổ thông,

hệ thống hóa, tổng quát hóa và sáng tác ra những bài toán số học mới.

Luận văn sẽ cố gắng trở thành một tài liệu tham khảo tốt, thiết thực phục vụ

cho việc giảng dạy, nhất là việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi. Ngoài ra

thông qua việc viết luận văn, tác giả luận văn có cơ hội mở rộng nâng cao hiểu biết

về toán sơ cấp nói chung và số học nói riêng, hình thành các kỹ năng chứng minh

các định lí số học và giải các bài toán số học, phục vụ tốt cho việc giảng dạy môn

Toán ở trường phổ thông.

Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương như sau:

• Chương 1. Phương trình Diophantine tuyến tính. Trong chương này chúng

tôi trình bày về phương trình bậc nhất hai ẩn, nhiều ẩn, và một số bài toán

chọn lọc.

• Chương 2. Một số phương trình Diophantine phi tuyến. Trong chương này

chúng tôi trình bày nội dung chính về các phương trình Pell loại 1, phương

trình Pell loại , và phương trình Pythagoras.

• Chương 3. Liên phân số và ứng dụng trong phương trình Diophantine. Trong

6

chương này chúng tôi trình bày một cách ngắn gọn các sự kiện về liên phân

số, đặc biệt là các ứng dụng của chúng để giải phương trình Pell.

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái

Nguyên và hoàn thành với sự hướng dẫn của GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng (Trường

ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội). Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và

sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu,

dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả

trong suốt quá trình làm luận văn.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại

học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, cùng các giảng viên đã tham

gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu.

Tác giả muốn gửi những lời cảm ơn tốt đẹp nhất tới tập thể lớp Cao học Toán

khóa 9 (2015-2017) đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong suốt quá trình

học tập.

Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải

Phòng, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp ở Trường THPT Thái Phiên đã tạo điều

kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập và công tác của mình.

Cuối cùng, tác giả muốn dành những lời cảm ơn đặc biệt nhất đến đại gia đình

vì những động viên và chia sẻ những khó khăn để tác giả hoàn thành luận văn này.

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017

Tác giả

Bùi Hữu Mên