Một số lớp hệ phương trình cặp và ứng dụng

Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o

§¹i häc Th¸i Nguyªn

NguyÔn ThÞ Ng©n

Mét sè líp hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp vµ øng dông

luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc

Th¸i Nguyªn, 2013

i

i

Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o

§¹i häc Th¸i Nguyªn

NguyÔn ThÞ Ng©n

Mét sè líp hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp vµ øng dông

Chuyªn ngµnh: To¸n Gi¶i tÝch

M· sè: 62 46 01 02

luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc

TËp thÓ h­íng dÉn khoa häc:

1. TS. NguyÔn V¨n Ngäc

2. PGS. TS. Hµ TiÕn Ngo¹n

Th¸i Nguyªn, 2013

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Lêi cam ®oan

T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña t«i. C¸c kÕt qu¶ viÕt

chung víi t¸c gi¶ kh¸c ®· ®­îc sù nhÊt trÝ cña ®ång t¸c gi¶ khi ®­a vµo luËn ¸n.

C¸c kÕt qu¶ cña luËn ¸n lµ míi vµ ch­a tõng ®­îc c«ng bè trong bÊt kú c«ng

tr×nh khoa häc cña ai kh¸c.

T¸c gi¶ luËn ¸n

NguyÔn ThÞ Ng©n

ii

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Lêi c¶m ¬n

LuËn ¸n ®­îc thùc hiÖn vµ hoµn thµnh t¹i khoa To¸n thuéc tr­êng §¹i häc

S­ ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn, d­íi sù h­íng dÉn tËn t×nh vµ nghiªm kh¾c

cña TS. NguyÔn V¨n Ngäc vµ PGS. TS. Hµ TiÕn Ngo¹n. C¸c ThÇy ®· truyÒn

cho t¸c gi¶ kiÕn thøc, kinh nghiÖm häc tËp vµ nghiªn cøu khoa häc. T¸c gi¶ xin

bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c ®èi víi c¸c ThÇy.

Trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu, t¸c gi¶ còng lu«n nhËn ®­îc sù gãp

ý, ®éng viªn cña GS. TSKH. §inh Nho Hµo, PGS. TSKH. NguyÔn Minh TrÝ, TS.

Ph¹m Minh HiÒn, Ths. §µo Quang Kh¶i (ViÖn To¸n häc, ViÖn Hµn l©m Khoa

häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam), GS. TSKH. NguyÔn V¨n MËu, PGS. TS. NguyÔn

Minh TuÊn, PGS. TS. TrÇn Huy Hæ (tr­êng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn, §¹i

häc Quèc gia Hµ Néi), GS. TSKH. Lª Hïng S¬n, PGS. TS. Phan T¨ng §a (khoa

To¸n - Tin øng dông, §¹i häc B¸ch Khoa Hµ Néi), PGS. TS. §Æng Quang ¸

(ViÖn C«ng nghÖ Th«ng tin, ViÖn Hµn l©m Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam).

T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n sù quan t©m gióp ®ì cña c¸c ThÇy.

T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy, c« gi¸o cïng c¸c anh chÞ em NCS,

Cao häc trong seminar cña Bé m«n Gi¶i tÝch khoa To¸n, tr­êng §¹i häc S￾ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn, Phßng Ph­¬ng tr×nh vi ph©n - ViÖn To¸n häc,

khoa To¸n - C¬ - Tin häc, tr­êng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn - §¹i häc Quèc

gia Hµ Néi, ®· lu«n gióp ®ì, ®éng viªn t¸c gi¶ trong nghiªn cøu khoa häc vµ

cuéc sèng.

T¸c gi¶ xin tr©n träng c¶m ¬n Ban Gi¸m ®èc §¹i häc Th¸i Nguyªn, Ban §µo

t¹o Sau ®¹i häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn, Ban Gi¸m hiÖu tr­êng §¹i häc S­ ph¹m

- §¹i häc Th¸i Nguyªn, c¸c Phßng Ban chøc n¨ng, Phßng Qu¶n lý ®µo t¹o Sau

iii

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

iv

®¹i häc, Ban chñ nhiÖm khoa To¸n cïng toµn thÓ gi¸o viªn trong khoa, ®Æc biÖt

lµ Bé m«n Gi¶i tÝch ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi, gióp ®ì t¸c gi¶ trong qu¸

tr×nh häc tËp nghiªn cøu vµ hoµn thµnh luËn ¸n.

T¸c gi¶ ch©n thµnh c¶m ¬n b¹n bÌ, ®ång nghiÖp, ®Æc biÖt lµ chång, c¸c con

cïng nh÷ng ng­êi th©n trong gia ®×nh ®· gióp ®ì, ®éng viªn t¸c gi¶ trong qu¸

tr×nh thùc hiÖn luËn ¸n.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Môc lôc

Lêi cam ®oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Lêi c¶m ¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Mét sè ký hiÖu dïng trong luËn ¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 HÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier tæng qu¸t 19

1.1 BiÕn ®æi Fourier cña hµm c¬ b¶n gi¶m nhanh . . . . . . . . . . 20

1.1.1 Kh«ng gian S cña c¸c hµm c¬ b¶n gi¶m nhanh . . . . . . 20

1.1.2 BiÕn ®æi Fourier cña c¸c hµm c¬ b¶n . . . . . . . . . . . 20

1.2 BiÕn ®æi Fourier cña hµm suy réng t¨ng chËm . . . . . . . . . . 21

1.2.1 Kh«ng gian S

0

cña c¸c hµm suy réng t¨ng chËm . . . . . 21

1.2.2 BiÕn ®æi Fourier cña hµm suy réng t¨ng chËm . . . . . . . 22

1.2.3 BiÕn ®æi Fourier cña tÝch chËp . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3 C¸c kh«ng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.1 Kh«ng gian Hs

(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.2 C¸c kh«ng gian Hs

◦

(Ω), Hs

◦,◦

(Ω), Hs

(Ω) . . . . . . . . 24

1.3.3 §Þnh lý nhóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4 C¸c kh«ng gian Sobolev vect¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

v

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

vi

1.4.1 Kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.2 PhiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5 To¸n tö gi¶ vi ph©n vect¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.1 Kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.2 ChuÈn vµ tÝch v« h­íng t­¬ng ®­¬ng . . . . . . . . . . . 32

1.5.3 Nhóng compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.6 TÝnh gi¶i ®­îc cña hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp . . . . . . . . . . . . . 34

1.6.1 §Þnh lý duy nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.6.2 §Þnh lý tån t¹i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 HÖ ph­¬ng tr×nh cÆp cña mét sè bµi to¸n biªn hçn hîp ®èi víi

ph­¬ng tr×nh ®iÒu hoµ vµ song ®iÒu hoµ trong miÒn h×nh d¶i 41

2.1 Bµi to¸n biªn hçn hîp thø nhÊt ®èi víi ph­¬ng

tr×nh ®iÒu hoµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.1 Ph¸t biÓu bµi to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.2 §­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n . . . . . . . . . . . 43

2.1.3 TÝnh gi¶i ®­îc cña hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n (2.10) . 45

2.1.4 §­a hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch

ph©n kú dÞ nh©n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.1.5 §­a hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ nh©n Cauchy vÒ hÖ v«

h¹n c¸c ph­¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . 49

2.2 Bµi to¸n biªn hçn hîp ®èi víi d¶i ®µn håi . . . . . . . . . . . . 56

2.2.1 Ph¸t biÓu bµi to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2.2 §­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n . . . . . . . . . . . 58

2.2.3 TÝnh gi¶i ®­îc cña hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n (2.51) . 61

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

vii

2.2.4 §­a hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch

ph©n kú dÞ nh©n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.2.5 §­a hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ nh©n Cauchy vÒ hÖ v«

h¹n c¸c ph­¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . 67

2.3 Bµi to¸n biªn hçn hîp ®èi víi ph­¬ng tr×nh song ®iÒu hoµ . . . . 72

2.3.1 Ph¸t biÓu bµi to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.3.2 §­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n . . . . . . . . . . . 74

2.3.3 TÝnh gi¶i ®­îc cña hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n (2.106) . 77

2.3.4 §­a hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch

ph©n nh©n logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.3.5 §­a hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n nh©n logarithm vÒ hÖ v«

h¹n c¸c ph­¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . 86

2.4 Bµi to¸n biªn hçn hîp thø hai ®èi víi ph­¬ng tr×nh ®iÒu

hoµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.4.1 Ph¸t biÓu bµi to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.4.2 §­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n . . . . . . . . . . . 91

2.4.3 TÝnh gi¶i ®­îc cña hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n (2.157) . 92

2.4.4 §­a hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch

ph©n kú dÞ nh©n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.4.5 §­a hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ nh©n Cauchy vÒ hÖ v«

h¹n c¸c ph­¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . 96

3 Gi¶i gÇn ®óng hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ cña mét hÖ

ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier 102

3.1 §­a hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ vÒ d¹ng kh«ng thø nguyªn 102

3.2 TÝnh gÇn ®óng nghiÖm cña mét hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ 106

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

viii

3.2.1 TÝnh gÇn ®óng ma trËn h¹ch cña hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n

kú dÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.2.2 TÝnh nghiÖm gÇn ®óng cña hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ 110

3.2.3 VÒ tèc ®é héi tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

KÕt luËn vµ ®Ò nghÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Danh môc c«ng tr×nh cña t¸c gi¶ ®· c«ng bè liªn quan ®Õn luËn ¸n134

Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Mét sè ký hiÖu dïng trong luËn ¸n

R: ®­êng th¼ng thùc

Ω: kho¶ng hoÆc hÖ c¸c kho¶ng kh«ng giao nhau trong R

R

n

: kh«ng gian vect¬ Euclide n chiÒu

C

n

: kh«ng gian phøc n chiÒu

C

k

(Ω): tËp tÊt c¶ c¸c hµm kh¶ vi liªn tôc ®Õn cÊp k trªn Ω

C

k

◦

(Ω): tËp tÊt c¶ c¸c hµm kh¶ vi liªn tôc ®Õn cÊp k trªn Ω, cã gi¸ compact

trong Ω

C

∞(Ω): tËp tÊt c¶ c¸c hµm kh¶ vi v« h¹n trªn Ω

C

∞

◦

(R): tËp hîp tÊt c¶ c¸c hµm kh¶ vi v« h¹n cã gi¸ compact trong R

`2: kh«ng gian cña c¸c d·y sè {fn}, n ∈ N, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

X

∞

n=0

|fn|

2 < ∞

L

1

(R): kh«ng gian c¸c hµm kh¶ tÝch trªn R

L

2

(R): kh«ng gian c¸c hµm b×nh ph­¬ng kh¶ tÝch trªn R

L

2

ρ±1 (a, b): kh«ng gian c¸c hµm u(x) cho trªn (a, b) sao cho

||u||L

2

ρ±1

=

 Z b

a

ρ

±1

(x)|u(x)|

2

dx1/2

< +∞,

víi

ρ(x) = p

(x − a)(b − x), a < x < b

ix

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

x

S: kh«ng gian c¸c hµm c¬ b¶n gi¶m nhanh trªn R

S

0

: kh«ng gian c¸c hµm suy réng t¨ng chËm trªn R

D(Ω): kh«ng gian c¸c hµm kh¶ vi v« h¹n vµ cã gi¸ compact trong Ω

D0

(Ω): kh«ng gian ®èi ngÉu cña D(Ω)

Hs

(R), Hs

◦

(Ω), Hs

◦,◦

(Ω), Hs

(Ω): c¸c kh«ng gian Sobolev

H~s(R), H~s

◦

(Ω), H~s

◦,◦

(Ω), H~s(Ω): c¸c kh«ng gian Sobolev vect¬

F: phÐp biÕn ®æi Fourier

F

−1

: phÐp biÕn ®æi Fourier ng­îc

p, p0

: c¸c to¸n tö h¹n chÕ

`, `0

: c¸c to¸n tö th¸c triÓn

Tn(x): ®a thøc Chebyshev bËc n lo¹i mét

Un(x): ®a thøc Chebyshev bËc n lo¹i hai

Jm: hµm Bessel lo¹i mét cÊp m

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Më ®Çu

1. Lý do chän ®Ò tµi

Ph­¬ng tr×nh cÆp (dual equations) vµ hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp (systems of dual

equations) xuÊt hiÖn khi gi¶i c¸c bµi to¸n biªn hçn hîp cña VËt lý to¸n b»ng

c¸ch sö dông c¸c biÕn ®æi tÝch ph©n thÝch hîp. NhiÒu bµi to¸n cña lý thuyÕt

®µn håi, c¸c bµi to¸n vÒ vÕt nøt, c¸c bµi to¸n vÒ tiÕp xóc, . . . cã thÓ ®­îc ®­a

®Õn gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp kh¸c nhau. Trong kho¶ng n¨m thËp niªn gÇn ®©y

nh÷ng nghiªn cøu vÒ ph­¬ng tr×nh cÆp chñ yÕu lµ c¸c ph­¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i

h×nh thøc cña c¸c ph­¬ng tr×nh nµy [17, 44].

HiÖn nay c¸c kÕt qu¶ ®Þnh tÝnh vÒ ph­¬ng tr×nh cÆp cßn h¹n chÕ [2- 5, 9,

11, 18, 23, 47], tÝnh gi¶i ®­îc cña c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp hÇu nh­ ch­a ®­îc

nghiªn cøu. ViÖc nghiªn cøu hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp sÏ më réng ph¹m vi ¸p dông

cho ph­¬ng tr×nh cÆp trong viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n biªn hçn hîp cña VËt lý to¸n.

V× vËy, viÖc nghiªn cøu vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp lµ cÇn thiÕt vµ cã tÝnh thêi sù.

Trong c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n th× phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Fourier cã vÞ trÝ

®Æc biÖt quan träng ®èi víi c¸c ph¸t triÓn lý thuyÕt cña to¸n häc còng nh­ øng

dông trong nhiÒu ngµnh khoa häc tù nhiªn kh¸c.

Víi c¸c lý do nªu trªn, chóng t«i chän ®Ò tµi nghiªn cøu cho luËn ¸n cña

m×nh lµ " Mét sè líp hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp vµ øng dông".

2. Môc ®Ých cña ®Ò tµi luËn ¸n

2.1. Môc ®Ých cña ®Ò tµi luËn ¸n lµ thiÕt lËp tÝnh gi¶i ®­îc cña c¸c hÖ ph­¬ng

tr×nh cÆp tÝch ph©n trong nh÷ng kh«ng gian hµm thÝch hîp. C¸c kh«ng gian hµm

®­îc sö dông trong luËn ¸n lµ kh«ng gian c¸c hµm suy réng t¨ng chËm vµ c¸c

kh«ng gian Sobolev vect¬.

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

2.2. Môc ®Ých thø hai cña ®Ò tµi luËn ¸n lµ nghiªn cøu c¸c ph­¬ng ph¸p h÷u

hiÖu t×m nghiÖm cña hÖ c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n. Trong luËn ¸n nµy,

chóng t«i sö dông ph­¬ng ph¸p biÓu diÔn nghiÖm cña c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp

tÝch ph©n th«ng qua c¸c hµm phô trî thÝch hîp, vµ ®­a hÖ c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp

tÝch ph©n vÒ hÖ c¸c ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ víi nh©n Cauchy hoÆc nh©n

logarithm.

2.3. Môc ®Ých thø ba cña ®Ò tµi luËn ¸n lµ vËn dông c¸c ph­¬ng ph¸p h÷u hiÖu

gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ, ®Ó tõ ®ã cã thÓ t×m ®­îc nghiÖm cña hÖ

ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n. Trong luËn ¸n nµy chóng t«i vËn dông ph­¬ng ph¸p

®a thøc trùc giao [32- 37] ®Ó ®­a hÖ c¸c ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ víi nh©n

Cauchy hoÆc nh©n logarithm vÒ hÖ v« h¹n c¸c ph­¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh

tùa hoµn toµn chÝnh quy [14], thuËn tiÖn cho viÖc t×m nghiÖm gÇn ®óng cña c¸c

hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n ®Ò cËp trong luËn ¸n nµy.

3. §èi t­îng nghiªn cøu

§èi t­îng nghiªn cøu cña luËn ¸n lµ thiÕt lËp tÝnh gi¶i ®­îc cña hÖ ph­¬ng

tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier tæng qu¸t víi biÓu tr­ng (symbol) lµ ma trËn x¸c

®Þnh d­¬ng. XÐt øng dông cña lý thuyÕt hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier

tæng qu¸t vµo nghiªn cøu mét sè líp hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp xuÊt hiÖn khi gi¶i mét

sè bµi to¸n biªn hçn hîp cho c¸c ph­¬ng tr×nh ®iÒu hoµ vµ song ®iÒu hoµ trong

miÒn h×nh d¶i cña mÆt ph¼ng.

4. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu

Chóng t«i vËn dông tiÕp cËn lý thuyÕt hµm suy réng vµ to¸n tö gi¶ vi ph©n

®Ó nghiªn cøu hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n mµ luËn ¸n quan t©m. TiÕp cËn

lý thuyÕt hµm suy réng ®­îc sö dông ®Ó nghiªn cøu c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp d¹ng

Titchmash ®­îc Walton J. R. lÇn ®Çu tiªn nghiªn cøu vµo n¨m 1975 [47], cßn

tiÕp cËn to¸n tö gi¶ vi ph©n do NguyÔn V¨n Ngäc vËn dông n¨m 1988 [24] ®Ó

nghiªn cøu tÝnh gi¶i ®­îc cña ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier víi biÓu tr­ng

t¨ng chËm.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

5. Tæng quan vÒ ®Ò tµi luËn ¸n

5.1. Ph­¬ng tr×nh cÆp tæng qu¸t

HiÖn nay trong sè c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i tÝch gi¶i c¸c bµi to¸n biªn hçn hîp

cña VËt lý to¸n th× ph­¬ng ph¸p ph­¬ng tr×nh cÆp lµ tæng qu¸t vµ linh ho¹t h¬n

c¶. Nh÷ng c«ng tr×nh nÒn mãng cña ph­¬ng ph¸p nµy lµ c¸c c«ng tr×nh cña c¸c

nhµ to¸n häc Beltrami E., Boussinesq J. vµ Abramov V. M. Sù ph¸t triÓn cña

ph­¬ng ph¸p ®· dùa trªn c¸c c«ng tr×nh sau ®ã cña Tranter C., Cooke J., Sneddon

I., Ufliand Ia. S., Babloian A. A., Valov G. N., Mandal B. N., Aleksandrov B.

M., . . . .

C¸c ph­¬ng tr×nh cÆp xuÊt hiÖn khi sö dông phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n nµo ®ã

®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n biªn hçn hîp cña c¸c ph­¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng. Cã nhiÒu

phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n kh¸c nhau vµ mçi phÐp biÕn ®æi l¹i t­¬ng øng víi mét

lo¹i ph­¬ng tr×nh cÆp. §é phøc t¹p cña mçi lo¹i ph­¬ng tr×nh cÆp phô thuéc

vµo biÓu tr­ng vµ sè kho¶ng cã trong ph­¬ng tr×nh. Ph­¬ng tr×nh cÆp tæng qu¸t

cã thÓ ®­îc ph¸t biÓu nh­ sau:

Gi¶ sö J lµ kho¶ng h÷u h¹n hay v« h¹n cña trôc thùc R vµ T lµ biÕn ®æi

tÝch ph©n nµo ®ã trªn J víi biÕn ®æi ng­îc T

−1

. Ký hiÖu vb(ξ) lµ T− biÕn ®æi

cña hµm v(x). Ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n ®èi víi phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n T cã

d¹ng

(

pT −1

[A1(ξ)vb(ξ)](x) = f(x), x ∈ Ω,

p

0T

−1

[A2(ξ) vb(ξ)](x) = g(x), x ∈ Ω

0

,

(1)

trong ®ã A1(ξ) vµ A2(ξ) lµ c¸c hµm ®· biÕt, Ω, Ω

0

lµ c¸c hÖ kho¶ng kh«ng giao

nhau cña J, sao cho Ω ∪ Ω

0 = J, p vµ p

0

lÇn l­ît lµ c¸c to¸n tö h¹n chÕ trªn Ω

vµ Ω

0

t­¬ng øng. NÕu ký hiÖu

ub(ξ) = A2(ξ)vb(ξ), A(ξ) = A1(ξ)

A2(ξ)

, u(x) = T

−1

[ub](x)

th× (1) cã thÓ ®­îc viÕt l¹i ë d¹ng

(

pT −1

[A(ξ)ub(ξ)](x) = f(x), x ∈ Ω,

p

0u(x) = g(x), x ∈ Ω

0

,

(2)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

4

hµm A(ξ) ®­îc gäi lµ biÓu tr­ng (symbol) cña to¸n tö (gi¶ vi ph©n):

Au := T

−1

[A(ξ)ub(ξ)](x).

NhËn xÐt r»ng, ph­¬ng tr×nh cÆp (2) cã thÓ ®­îc xem nh­ lµ bµi to¸n Dirichlet

®èi víi ph­¬ng tr×nh gi¶ vi ph©n Au = f(x) trªn Ω.

5.2. C¸c ph­¬ng ph¸p h×nh thøc

Trong kho¶ng 50 n¨m qua ®· xuÊt hiÖn nhiÒu nghiªn cøu vÒ nh÷ng ph­¬ng

ph¸p h×nh thøc gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n vµ c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp

chuçi ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n kh¸c nhau. Nh÷ng ph­¬ng ph¸p nµy

nh×n chung cßn mang tÝnh h×nh thøc, tøc lµ ch­a xÐt ®Õn tÝnh gi¶i ®­îc cña c¸c

ph­¬ng tr×nh cÆp, còng nh­ ch­a cã sù ®¶m b¶o to¸n häc chÆt chÏ ®èi víi c¸c

biÕn ®æi. Tuy nhiªn, c¸c ph­¬ng ph¸p nµy ®· thóc ®Èy sù ph¸t triÓn m¹nh mÏ

cña lý thuyÕt ph­¬ng tr×nh cÆp ®èi víi c¸c biÕn ®æi tÝch ph©n kh¸c nhau. PhÇn

lín c¸c ph­¬ng ph¸p nµy cã thÓ t×m thÊy trong c¸c tµi liÖu [17, 31, 44].

Tr­íc hÕt ®Ò cËp tíi nh÷ng ph­¬ng ph¸p h×nh thøc nghiªn cøu vÒ ph­¬ng

tr×nh cÆp liªn quan ®Õn biÕn ®æi Fourier (gäi t¾t lµ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n

Fourier) d¹ng:







F

−1

[Aub](x) := 1

2π

Z ∞

−∞

ub(ξ)A(ξ)e

−ixξdξ = f(x), x ∈ Ω ⊂ R,

F

−1

[ub](x) := 1

2π

Z ∞

−∞

ub(ξ)e

−ixξdξ = g(x), x ∈ R \ Ω,

(3)

trong ®ã ub(ξ) lµ hµm cÇn t×m, A(ξ), f(x), g(x) lµ nh÷ng hµm ®· biÕt, Ω =

∪

n

k=1Jk, Jk = (ak, bk), Ji ∩ Jj = ∅ (i 6= j).

• Khi Ω = (0,∞) ph­¬ng ph¸p th­êng ®­îc sö dông lµ ph­¬ng ph¸p nh©n

tö ho¸ Wiener- Hopf [11, 19, 31]. Tr­êng hîp nµy th­êng gÆp trong c¸c bµi

to¸n vÒ t¸n x¹ c¸c sãng vµ vÒ c¸c vÕt nøt nöa v« h¹n.

• Khi Ω = (a, b) lµ kho¶ng h÷u h¹n, ph­¬ng tr×nh (3) cßn ®­îc gäi lµ ph­¬ng

tr×nh bé ba (triple equation) ®­îc ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n d¹ng chËp [1,

7, 36, 37]:

(a ∗ u)(x) := Z b

a

a(x − t)u(t)dt = f(x) + ˜g(x), a < x < b, (4)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn