Một số lớp mở rộng của mô đun nội xạ, xạ ảnh và ứng dụng

ß¹i h‰c Hu’

Tr­Íng ß¹i H‰c S­ Ph¹m

Phan Hång TÝn

Mét sè líp më réng

cña m«®un néi x¹, x¹ ¶nh vµ øng dông

Chuy™n Ngµnh: ß¹i sË vµ L˝ thuy’t sË

M· sË: 62 46 01 04

LuÀn ¸n Ti’n s‹ To¸n h‰c

Ng­Íi h­Ìng d…n khoa h‰c: GS. TS. L™ V®n Thuy’t

Hu’ - N®m 2016

1

LÍi cam Æoan

T´i xin cam Æoan Æ©y lµ c´ng tr×nh nghi™n c¯u

cÒa ri™ng t´i, c¸c k’t qu¶ vµ sË li÷u nghi™n c¯u

n™u trong luÀn ¸n lµ trung th˘c, Æ­Óc c¸c ÆÂng

t¸c gi¶ cho ph–p sˆ dÙng vµ ch­a tıng Æ­Óc

c´ng bË trong b t k˙ c´ng tr×nh nµo kh¸c.

Phan Hång TÝn

2

LÍi c¶m ¨n

LÍi Æ«u ti™n, t´i xin bµy t· lflng bi’t ¨n s©u sæc Æ’n GS. TS. L™ V®n

Thuy’t, ng­Íi Æ· h­Ìng d…n t´i hoµn thµnh luÀn ¸n nµy, ng­Íi Æ· truy“n cho

t´i ni“m Æam m™ khoa h‰c, Æ· tÀn t×nh d¹y b¶o, h­Ìng d…n vµ ÆÈng vi™n t´i

trong qu¸ tr×nh h‰c tÀp, nghi™n c¯u cÒa m×nh.

T´i xin tr©n tr‰ng c¶m ¨n Khoa To¸n; Phflng ßµo t¹o Sau ƹi h‰c -

Tr­Íng ß¹i h‰c S­ ph¹m - ß¹i h‰c Hu’ vµ Ban ßµo t¹o - ß¹i h‰c Hu’ Æ·

t¹o m‰i Æi“u ki÷n thuÀn lÓi cho t´i trong suËt qu¸ tr×nh h‰c tÀp, nghi™n c¯u

vµ hoµn thµnh ch­¨ng tr×nh nghi™n c¯u sinh cÒa m×nh.

T´i xin tr©n tr‰ng c¶m ¨n Tr­Íng Cao ƺng C´ng nghi÷p Hu’ Æ· hÁ trÓ

v“ vÀt ch t cÚng nh­ tinh th«n, t¹o Æi“u ki÷n cho t´i trong suËt thÍi gian

h‰c tÀp, nghi™n c¯u vµ hoµn thµnh luÀn ¸n.

T´i xin ch©n thµnh c¶m ¨n nh„m nghi™n c¯u ß¹i sË k’t hÓp, GS. TS.

L™ V®n Thuy’t; GS. TSKH. Ph¹m Ng‰c ¸nh - Vi÷n Hµn l©m khoa h‰c

Hungary; GS. TS. BÔi Xu©n H¶i -Tr­Íng ß¹i h‰c Khoa h‰c T˘ nhi™n - ß¹i

h‰c QuËc gia TP. HCM; TS. Phan D©n -Tr­Íng ß¹i h‰c QuËc t’ HÂng Bµng

TP. HCM; TS. Tr­¨ng C´ng Qu˙nh -Tr­Íng ß¹i h‰c S­ ph¹m - ß¹i h‰c ßµ

N½ng; TS. Tr«n Giang Nam - Vi÷n To¸n h‰c; TS. Trfinh Thanh ßÃo - Tr­Íng

ß¹i h‰c Khoa h‰c T˘ nhi™n - ß¹i h‰c QuËc gia TP. HCM, Æ· c„ nh˜ng ˝

ki’n th¶o luÀn, g„p ˝ c„ gi¸ trfi trong qu¸ tr×nh nghi™n c¯u t¹i Vi÷n nghi™n

c¯u Cao c p v“ To¸n.

CuËi cÔng, t´i xin c¶m ¨n c¸c thµnh vi™n trong gia Æ×nh, nh˜ng ng­Íi

Æ· ÆÂng c¶m, chia sŒ, ÆÈng vi™n, cÊ vÚ vµ lµ ÆÈng l˘c thÛc Æ»y t´i hoµn

thµnh vi÷c h‰c tÀp vµ nghi™n c¯u cÒa m×nh. T´i xin c¶m ¨n nh˜ng ng­Íi

b¹n vµ ÆÂng nghi÷p Æ· c„ s˘ quan t©m, ÆÈng vi™n t´i v­Ót qua nh˜ng kh„

kh®n Æ” hoµn thµnh luÀn ¸n nµy.

3

MÙc lÙc

MÎ Æ«u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Ch­¨ng 1. Ki’n th¯c chu»n bfi.

1.1. C¸c k˝ hi÷u vµ kh¸i ni÷m c¨ b¶n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. M´Æun nÈi x¹ vµ mÈt sË lÌp m´Æun mÎ rÈng cÒa n„. . . . . . . . . 18

1.3. M´Æun x¹ ¶nh vµ mÈt sË lÌp m´Æun mÎ rÈng cÒa n„. . . . . . . . . 21

1.4. M´Æun vµ vµnh Artin, N¨te.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5. Vµnh t˘a Frobenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Ch­¨ng 2. M´Æun vµ vµnh gi¶ c+-nÈi x¹.

2.1. M´Æun gi¶ c-nÈi x¹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2. M´Æun gi¶ c+-nÈi x¹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Ch­¨ng 3. MÈt sË tr­Íng hÓp mÎ rÈng cÒa m´Æun x¹ ¶nh.

3.1. M´Æun n©ng cËt y’u vµ m´Æun c„ ph«n phÙ cËt y’u. . . . . . . . . 58

3.2. M´Æun Æfia ph­¨ng cËt y’u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3. M´Æun th·a m·n Æi“u ki÷n d©y chuy“n tr™n c¸c m´Æun con

b– cËt y’u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

K’t luÀn vµ ki’n nghfi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Danh mÙc c¸c c´ng tr×nh cÒa t¸c gi¶. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Tµi li÷u tham kh¶o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4

B¶ng c¸c k˝ hi÷u vµ vi’t tæt

Z : Vµnh c¸c sË nguy™n

N : TÀp c¸c sË t˘ nhi™n

A ≤ B (A<B) : A lµ m´Æun con (t.­., con th˘c s˘) cÒa B

A ≤max B : A lµ m´Æun con c˘c ƹi cÒa B

A ≤⊕ B : A lµ h¹ng tˆ tr˘c ti’p cÒa B

A ≤e B : A lµ m´Æun con cËt y’u cÒa B

A  B : A lµ m´Æun con b– (ÆËi cËt y’u) cÒa B

A δ B : A lµ m´Æun con δ-b– cÒa B

A e B : A lµ m´Æun con b– cËt y’u cÒa B

A ∼= B : A ƺng c u vÌi B

A ⊕ B : TÊng tr˘c ti’p cÒa m´Æun A vµ m´Æun B

ACC (DCC) : ßi“u ki÷n d©y chuy“n t®ng (t.­., gi¶m)

E(M), Soc(M) : Bao nÈi x¹, Æ’ cÒa m´Æun M (t­¨ng ¯ng)

End(M) : Vµnh c¸c t˘ ÆÂng c u cÒa m´Æun M

u. dim(M) : Chi“u Goldie (chi“u Æ“u) cÒa m´Æun M

HomR(M,N) : Nh„m c¸c R-ÆÂng c u tı M vµo N

Im(f), Ker(f) : ¶nh, h¹t nh©n cÒa ÆÂng c u f (t­¨ng ¯ng)

M(I) : ⊕i∈IM (tÊng tr˘c ti’p cÒa I b¶n sao cÒa M)

MI : Πi∈IM (t›ch tr˘c ti’p cÒa I b¶n sao cÒa M)

MR (RM) : M lµ mÈt R-m´Æun ph¶i (t.­., tr¸i)

Rad(M), J(R) : C®n cÒa m´Æun M, c®n cÒa vµnh R (t­¨ng ¯ng)

δ(M) : TÊng c¸c m´Æun con δ-b– cÒa M

Rade(M) : TÊng c¸c m´Æun con b– cËt y’u cÒa M

Z(M) : M´Æun con suy bi’n cÒa m´Æun M

5

MÎ Æ«u

Trong luÀn ¸n nµy, R Æ­Óc dÔng Æ” k˝ hi÷u cho vµnh k’t hÓp c„ ƨn

vfi 1 6= 0 vµ m‰i R-m´Æun lµ m´Æun unita. VÌi vµnh R Æ· cho, ta vi’t MR

(t.­., RM) Æ” chÿ M lµ mÈt R-m´Æun ph¶i (t.­., tr¸i), khi kh´ng sÓ nh«m

l…n v“ ph›a cÒa m´Æun, ta vi’t g‰n lµ m´Æun M thay cho MR.

Nh­ chÛng ta Æ· bi’t, vµnh t˘a Frobenius (th­Íng Æ­Óc vi’t tæt lµ vµnh

QF) lµ vµnh t˘ nÈi x¹ hai ph›a vµ Artin hai ph›a. Vi÷c nghi™n c¯u lo¹i vµnh

nµy xu t ph¸t tı l˝ thuy’t bi”u di‘n nh„m h˜u h¹n. Nh˜ng n®m Æ«u cÒa

th’ k˚ XX, G. Frobenius vµ mÈt sË t¸c gi¶ kh¸c nh­ R. Brauer, C. Nesbitt,

T. Nakayama bæt Æ«u nghi™n c¯u v“ ƹi sË Frobenius, c¸c k’t qu¶ li™n quan

Æ· Æ­Óc c´ng bË trong nh˜ng n®m cuËi cÒa thÀp ni™n 30 vµ Æ«u cÒa thÀp

ni™n 40. Kh¸i ni÷m vµnh t˘a Frobenius Æ­Óc T. Nakayama giÌi thi÷u vµo

n®m 1939. C¸c t¸c gi¶ C. Faith vµ E. A. Walker Æ· chÿ ra mÈt ÆÆc tr­ng

quan tr‰ng cÒa c¸c m´Æun tr™n vµnh QF: vµnh R lµ QF khi vµ chÿ khi m‰i

R-m´Æun ph¶i (hoÆc tr¸i) nÈi x¹ lµ x¹ ¶nh, khi vµ chÿ khi m‰i R-m´Æun

ph¶i (hoÆc tr¸i) x¹ ¶nh lµ nÈi x¹. Tuy nhi™n, ÆÆc tr­ng t˘ nÈi x¹ hai ph›a vµ

Artin hai ph›a Æ­Óc n™u Î tr™n lµ kh¸ m¹nh, ch›nh v× vÀy nhi“u t¸c gi¶ Æ·

t×m c¸ch gi¶m nh— c¸c Æi“u ki÷n nµy Æ” ÆÆc tr­ng cho vµnh QF.

N®m 1951, Æi“u ki÷n t˘ nÈi x¹ hai ph›a vµ Artin hai ph›a Æ­Óc M. Ikeda

gi¶m nh— trÎ thµnh Æi“u ki÷n t˘ nÈi x¹ mÈt ph›a vµ Artin mÈt ph›a. Sau

Æ„, n®m 1965, Y. Utumi Æ· ÆÆc tr­ng vµnh QF bÎi Æi“u ki÷n li™n tÙc hai

ph›a vµ Artin hai ph›a. N®m 1966, C. Faith Æ· Æ­a ra Æi“u ki÷n gi¶m nh— so

vÌi k’t qu¶ cÒa M. Ikeda, Æ„ lµ Æi“u ki÷n t˘ nÈi x¹ mÈt ph›a vµ th·a m·n

Æi“u ki÷n ACC tr™n c¸c linh h„a tˆ tr¸i (hoÆc ph¶i). ßÂng thÍi, B. Osofsky,

W. K. Nicholson vµ M. F. Yousif cÚng Æ· ÆÆc tr­ng vµnh nµy th´ng qua

vµnh hoµn chÿnh, Æ„ lµ Æi“u ki÷n t˘ nÈi x¹ hai ph›a (hoÆc nÈi x¹ ƨn hai

ph›a) vµ hoµn chÿnh tr¸i. N®m 1994, W. K. Nicholson vµ M. F. Yousif Æ·

6

mÎ rÈng k’t qu¶ cÒa Y. Utumi vµ cÒa C. Faith vÌi Æi“u ki÷n ÆÒ lµ vµnh li™n

tÙc ph¶i, min-CS tr¸i vµ th·a m·n Æi“u ki÷n ACC tr™n c¸c linh h„a tˆ ph¶i.

Ngoµi ra, nhi“u t¸c gi¶ kh¸c cÚng Æ· nghi™n c¯u vµ t×m c¸ch ÆÆc tr­ng vµnh

t˘a Frobenius theo c¸c h­Ìng mÎ rÈng kh¸c, chºng h¹n nh­, J. Clark vµ

D. V. Huynh ([9]); C. Faith vµ D. V. Huynh ([16], ... Tuy nhi™n, cho Æ’n

nay mÈt gi¶ thuy’t cÒa C. Faith, vµnh t˘ nÈi x¹ ph¶i vµ hoµn chÿnh tr¸i

hoÆc ph¶i lµ vµnh QF, v…n ch­a c„ c©u tr¶ lÍi. Gi¶ thuy’t nµy v…n cfln mÎ

ÆËi vÌi vµnh nˆa nguy™n s¨.

Vi÷c nghi™n c¯u mÎ rÈng ÆÆc tr­ng cÒa vµnh QF chÒ y’u tÀp trung theo

hai h­Ìng, mÈt lµ gi¶m nh— Æi“u ki÷n t˘ nÈi x¹ hoÆc hai lµ gi¶m nh— Æi“u

ki÷n Artin. Trong Æ“ tµi nµy, chÛng t´i v…n l y ÆÆc tr­ng cÒa vµnh QF lµm

n“n. ßfinh l˝ Faith-Walker chÿ ra mÈt ÆÆc tr­ng quan tr‰ng cÒa vµnh QF Æ„

lµ, vµnh R lµ QF khi vµ chÿ khi m‰i R-m´Æun ph¶i (hoÆc tr¸i) nÈi x¹ lµ x¹

¶nh, khi vµ chÿ khi m‰i R-m´Æun ph¶i (hoÆc tr¸i) x¹ ¶nh lµ nÈi x¹. Ch›nh

v× vÀy, c¸c tr­Íng hÓp mÎ rÈng cÒa m´Æun nÈi x¹ vµ x¹ ¶nh Æ­Óc xem x–t

Æ’n. CÙ th”, trong Ch­¨ng 2, chÛng t´i nghi™n c¯u c¸c lÌp mÎ rÈng cÒa

m´Æun nÈi x¹ vµ trong Ch­¨ng 3 lµ c¸c lÌp mÎ rÈng cÒa m´Æun x¹ ¶nh.

ßÂng thÍi, vi÷c nghi™n c¯u ÆÆc tr­ng cÒa vµnh QF th´ng qua c¸c lÌp vµnh

mÎ rÈng cÒa vµnh t˘ nÈi x¹ vµ vµnh Artin nh­ Æ· n™u Î tr™n lµ mÈt h­Ìng

nghi™n c¯u Æ­Óc nhi“u t¸c gi¶ quan t©m nhªm t×m c©u tr¶ lÍi cho gi¶ thuy’t

cÒa C. Faith. Tı vi÷c nghi™n c¯u c¸c lÌp mÎ rÈng cÒa m´Æun nÈi x¹, chÛng

t´i t×m ÆÆc tr­ng cÒa vµnh QF th´ng qua c¸c lÌp vµnh Æ„, ÆÂng thÍi, tı vi÷c

nghi™n c¯u c¸c lÌp mÎ rÈng cÒa m´Æun x¹ ¶nh, chÛng t´i t×m ÆÆc tr­ng cÒa

vµnh QF th´ng qua ÆÆc tr­ng cÒa vµnh Artin, vµnh hoµn chÿnh, vµnh nˆa

hoµn chÿnh,...

C u trÛc cÒa LuÀn ¸n gÂm c„ 3 ch­¨ng. Ch­¨ng 1 tr×nh bµy v“ c¸c

ki’n th¯c chu»n bfi, Ch­¨ng 2 tr×nh bµy c¸c k’t qu¶ li™n quan Æ’n m´Æun

gi¶ c-nÈi x¹ vµ gi¶ c+-nÈi x¹, Ch­¨ng 3 tr×nh bµy c¸c k’t qu¶ v“ m´Æun

7

n©ng cËt y’u, m´Æun c„ ph«n phÙ cËt y’u vµ m´Æun Æfia ph­¨ng cËt y’u.

Tı vi÷c kh¶o s¸t c¸c lÌp m´Æun tr™n, Î Ch­¨ng 2, chÛng t´i Æ­a ra c¸c ÆÆc

tr­ng cÒa vµnh QF th´ng qua vµnh gi¶ c+-nÈi x¹ vµ Î Ch­¨ng 3 lµ c¸c ÆÆc

tr­ng cÒa m´Æun vµ vµnh Artin th´ng qua m´Æun c„ ph«n phÙ cËt y’u vµ

Æi“u ki÷n d©y chuy“n tr™n c¸c m´Æun con b– cËt y’u.

Kh¸i ni÷m v“ m´Æun nÈi x¹ bæt Æ«u xu t hi÷n trong danh mÙc c¸c c´ng

tr×nh nghi™n c¯u v“ nh„m aben. N®m 1935, Zippin chÿ ra rªng, mÈt nh„m

aben lµ chia Æ­Óc khi vµ chÿ khi n„ lµ h¹ng tˆ tr˘c ti’p cÒa m‰i nh„m lÌn

h¨n, ch¯a n„ nh­ lµ mÈt nh„m con. Kh¸i ni÷m m´Æun nÈi x¹ Æ­Óc R. Baer

nghi™n c¯u Æ«u ti™n vµo n®m 1940. Nh˜ng n®m sau Æ„, kh¸i ni÷m nµy vµ

c¸c kh¸i ni÷m mÎ rÈng cÒa n„ Æ· nhÀn Æ­Óc s˘ quan t©m nghi™n c¯u cÒa

nhi“u nhµ To¸n h‰c tr™n th’ giÌi. N®m 1961, R. E. Jonhson vµ E. T. Wong

([27]) Æ· giÌi thi÷u kh¸i ni÷m m´Æun t˘a nÈi x¹. ß©y lµ mÈt lÌp m´Æun mÎ

rÈng cÒa lÌp m´Æun nÈi x¹. Nhi“u ÆÆc tr­ng cÒa m´Æun t˘a nÈi x¹ vµ vµnh

t˘ nÈi x¹ cÚng Æ· Æ­Óc chÿ ra.

MÈt lÌp m´Æun mÎ rÈng cÒa lÌp t˘a nÈi x¹ Æ­Óc S. Singh vµ S. K. Jain

([39]) Æ­a ra vµo n®m 1967, Æ„ lµ lÌp m´Æun gi¶ nÈi x¹. M´Æun M Æ­Óc

g‰i lµ gi¶ nÈi x¹ n’u vÌi m‰i m´Æun con A cÒa M, vÌi mÁi ƨn c u tı A vµo

M, Æ“u mÎ rÈng Æ­Óc Æ’n ÆÂng c u tı M vµo M. C¸c t¸c gi¶ R. R. Hallett

([21]), S. K. Jain, S. Singh ([26]) vµ M. L. Teply ([40]) Æ· Æ­a ra c¸c v› dÙ

ch¯ng t· rªng lÌp m´Æun nµy lµ mÎ rÈng th˘c s˘ cÒa lÌp m´Æun t˘a nÈi x¹.

Sau Æ„, nhi“u t¸c gi¶ kh¸c cÚng Æ· ti’p tÙc nghi™n c¯u v“ lÌp m´Æun nµy

vµ lÌp vµnh t­¨ng ¯ng, chºng h¹n, A. K. Tiwary vµ B. M. Padeya ([45]),

T. Wakamatsu ([48]), P. C. Bharadwaj vµ A. K. Tiwary ([6]), H.Q. Dinh

([12]), ...

N®m 1982, M. Harada ([22]) Æ­a ra kh¸i ni÷m m´Æun GQ-nÈi x¹. M´Æun

M Æ­Óc g‰i lµ GQ-nÈi x¹ n’u vÌi m‰i m´Æun con A ƺng c u vÌi m´Æun

8

con Æ„ng cÒa M, vÌi mÁi ÆÂng c u tı A vµo M Æ“u mÎ rÈng Æ­Óc Æ’n

ÆÂng c u tı M vµo M. Sau Æ„, C. S. Clara vµ P. F. Smith ([11]) Æ­a ra kh¸i

ni÷m m´Æun t˘a c-nÈi x¹. M´Æun N Æ­Óc g‰i lµ t˘a c-nÈi x¹ n’u vÌi mÁi

m´Æun con Æ„ng A cÒa M vµ mÁi ÆÂng c u tı A vµo M Æ“u c„ th” mÎ

rÈng Æ’n ÆÂng c u tı M vµo M.

Ngoµi ra, c¸c lÌp mÎ rÈng kh¸c nh­ m´Æun li™n tÙc, t˘a li™n tÙc, CS,...

cÚng Æ­Óc nhi“u t¸c gi¶ quan t©m nghi™n c¯u, chºng h¹n, Y. Utumi ([47]);

S. K. Jain, S. H. Mohamed ([24]), S. K. Jain, B. J. Muller ([25]); K. Oshiro

([35], [36]); M. Harada ([22]), L. V. Thuyet, T. C. Quynh ([42]); L. V. Thuyet

vµ N. Chien ([10]);...

Theo h­Ìng mÎ rÈng tr™n, chÛng t´i Æ­a ra c¸c kh¸i ni÷m mÎ rÈng cÒa

m´Æun nÈi x¹, Æ„ lµ m´Æun gi¶ c-nÈi x¹ vµ gi¶ c+-nÈi x¹. M´Æun M Æ­Óc

g‰i lµ gi¶ c-nÈi x¹ (t.­., gi¶ c+-nÈi x¹) n’u vÌi m‰i m´Æun con A cÒa M,

A Æ„ng trong M (t.­., A ƺng c u vÌi m´Æun con Æ„ng cÒa M), vÌi mÁi

ƨn c u tı A vµo M Æ“u mÎ rÈng Æ­Óc Æ’n ÆÂng c u tı M vµo M. C¸c

k’t qu¶ li™n quan Æ· Æ­Óc c´ng bË trong c¸c bµi b¸o [2], [37], [44] vµ Æ­Óc

tr×nh bµy trong Ch­¨ng 2 cÒa luÀn ¸n. ChÛng t´i ch¯ng minh Æ­Óc rªng,

lÌp m´Æun gi¶ c+-nÈi x¹ lµ lÌp m´Æun mÎ rÈng th˘c s˘ cÒa c¸c lÌp m´Æun

gi¶ nÈi x¹ vµ lÌp m´Æun li™n tÙc. ßÂng thÍi, lÌp m´Æun gi¶ c+-nÈi x¹ lµ

lÌp con th˘c s˘ cÒa lÌp m´Æun gi¶ c-nÈi x¹ vµ lÌp m´Æun th·a m·n Æi“u

ki÷n C2. H¨n n˜a, mÈt sË Æi“u ki÷n ÆÒ Æ” m´Æun gi¶ c+-nÈi x¹ lµ m´Æun

li™n tÙc hoÆc t˘a nÈi x¹ cÚng Æ· Æ­Óc chÿ ra.

MÈt t›nh ch t quan tr‰ng cÒa lÌp m´Æun gi¶ c+-nÈi x¹ Æ„ lµ t›nh nÈi x¹

t­¨ng hÁ cÒa c¸c h¹ng tˆ tr˘c ti’p cÒa chÛng. Trong [32], S. H. Mohamed

vµ B. J. Muller Æ· chÿ ra rªng n’u M ⊕N lµ m´Æun li™n tÙc th× M lµ N-nÈi

x¹. T¸c gi¶ H. Q. Dinh ([12]) cÚng Æ· ch¯ng minh Æ­Óc k’t qu¶ t­¨ng t˘

ÆËi vÌi tr­Íng hÓp M ⊕ N lµ gi¶ nÈi x¹. K’t qu¶ tr™n v…n ÆÛng ÆËi vÌi

9