Một số lớp bất đẳng thức hàm và áp dụng.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHAN THỊ HẠNH

MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC HÀM

VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60. 46. 0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu

Phản biện 1: TS. Cao Văn Nuôi

Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào

ngày 14 tháng 06 năm 2014.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài:

Trong toán học, bất đẳng thức có vị trí đặc biệt, không chỉ là

những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như một công cụ

đắc lực ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau.

Bất đẳng thức là một trong những chuyên mục có tính hấp dẫn

trong giáo trình giảng dạy và học tập bộ môn toán ở nhà trường phổ

thông. Nó là một đề tài thường xuyên có mặt trong các đề thi toán ,

trong các kỳ thi tuyển sinh quốc gia cũng như các kỳ thi tuyển sinh

Olympic về toán ở mọi cấp.

Đối với chương trình toán phổ thông, bất đẳng thức là một

chuyên đề khó, và khó hơn cả với học sinh trong đội tuyển học sinh

giỏi. Các bài toán về bất đẳng thức khá đa dạng và có thể chứng

minh bằng nhiều phương pháp khác nhau. Vì vậy việc giải các bài

toán bất đẳng thức đòi hỏi phải vận dụng kiến thức một cách linh

hoạt, có tính sáng tạo, người học cần khéo léo sử dụng các kỹ thuật

đề đưa bài toán đến kết quả nhanh nhất. Học sinh thường gặp khó

khăn trong việc định hướng cách giải trong các bài toán bất đẳng

thức. Do đó, việc phân loại và đưa ra phương pháp giải cụ thể cho

từng dạng là vấn đề chúng ta cần quan tâm. Với ý tưởng này, tôi

chọn cho mình đề tài “ Một số lớp bất đẳng thức hàm và áp dụng”.

Đề tài sẽ đưa ra hệ thống lý thuyết, bài tập và phương pháp

giải các bài toán bất đẳng thức hàm một cách rõ ràng, cụ thể.

2. Mục tiêu nghiên cứu:

Sưu tầm, giới thiệu, hệ thống hóa và phân loại một số lớp bất

đẳng thức hàm để áp dụng giải các bài toán sơ cấp khó, hay gặp

trong các kỳ thi vào lớp chuyên, thi đại học và thi học sinh giỏi quốc

2

gia và Olympic quốc tế như: chứng minh bất đẳng thức, giải phương

trình, giải bất phương trình...

Hệ thống các bài toán về một số lớp bất đẳng thức hàm, phân

dạng và nêu áp dụng của chúng.

Nắm được một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức, tạo ra các

bất đẳng thức mới từ bất đẳng thức đã biết.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu các bất đẳng thức liên

quan đến các lớp hàm như: bất đẳng thức hàm Cauchy, hàm đơn điệu

và hàm tựa đơn điệu, hàm lồi, lõm và tựa lồi, lõm, bất đẳng thức hàm

Jensen, bất đẳng thức hàm Karamata, bất đẳng thức liên quan đến

tam giác và các áp dụng liên quan.

Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của

GS. TSKH Nguyễn Văn Mậu, các tạp chí toán học, và một số chuyên

đề về bất đẳng thức.

4. Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp tự nghiên cứu các tư liệu gồm: sách giáo khoa

phổ thông trung học, các tài liệu tham khảo về bất đẳng thức, tạp chí

toán học tuổi trẻ, các đề tài nghiên cứu có liên quan …

Phương pháp tiếp cận lịch sử, sưu tầm, phân tích, tổng hợp tư

liệu và tiếp cận hệ thống.

5. Cấu trúc luận văn

Luận văn này dành để trình bày một số lớp bất đẳng thức hàm

và áp dụng.

Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm ba chương và danh

mục tài liệu tham khảo.

3

Chương I, dành để trình bày cơ sở lý thuyết (đặc biệt bất đẳng

thức hàm Cauchy, hàm đơn điệu và tựa đơn điệu, hàm lồi, lõm và tựa

lồi, lõm) sẽ dùng đến trong các chương sau.

Chương II, trình bày một số lớp bất đẳng thức hàm như: bất

đẳng thức hàm Jensen, bất đẳng thức hàm Karamata, bất đẳng thức

liên quan đến tam giác.

Chương III, trình bày một số áp dụng vào giải bài toán liên

quan (đặc biệt bất đẳng thức AG suy rộng và một số kỹ thuật vận

dụng bất đẳng thức AG).

6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu

Đề tài đưa ra hệ thống lý thuyết, bài tập và phương pháp giải

một số lớp bất đẳng thức hàm. Giải quyết hàng loạt các bài toán

chứng minh bất đẳng thức khó ở trung học phổ thông.

4

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Ở chương 1, chúng tôi giới thiệu các kiến thức cơ sở sẽ được

sử dụng trong luận văn. Chương này trình bày các khái niệm, tính

chất, định lý cơ bản về một số lớp bất đẳng thức hàm. Chương này

tham khảo ở các tài liệu [3]

1.1. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

Định lý 1.1. (Xem [3]).

Nhận xét rằng, bất đẳng thức Cauchy cũng có thể được suy

trực tiếp từ đồng nhất thức Lagrange sau đây

Định lý 1.2. (Lagrange).

Bài toán 1.1.

Hệ quả 1.2.

Hệ quả 1.3. (Xem [3]).

Hệ quả 1.4. (xem [3]).

1.2. HÀM ĐƠN ĐIỆU VÀ TỰA ĐƠN ĐIỆU

1.2.1. Hàm đơn điệu

Về sau ta thường sử dụng ký hiệu I(a b, ) Ã ° là nhằm định

một trong bốn tập hợp (a,b),[a,b),(a b, ] hoặc[a b, ]với a b < .

Thông thường, khi hàm số f x( ) xác định trên tập I(a b, ) Ã °

và thỏa mãn điều kiện:

Với mọi x1 2 , x Œ I(a b, ) ta đều có

£ ¤ £ 1 2 1 2 f (x ) f ( ) x x x

thì ta nói rằng f x( ) là một hàm đơn điệu tăng trên I(a b, ) .

Đặc biệt, khi ứng với mọi cặp x1 2 , x Œ I(a b, ) ta đều có

< ¤ < 1 2 1 2 f (x ) f ( ) x x x

thì ta nói rằng f x( ) là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên I(a b, ) .

5

Ngược lại, khi

³ ¤ £ 1 2 1 2 f (x ) f ( ) x x x , " Œ 1 2 x , x I(a b, )

thì ta nói rằng f x( ) là một hàm đơn điệu giảm trên I(a b, ) . Nếu xảy

ra

1

> 2 ¤ 1

< 2 " Π1 2 f (x ) f (x ) x x , x , x I(a b, )

thì ta nói rằng f x( ) là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên I(a b, )

Những hàm số đơn điệu tăng thực sự trên I(a b, ) được gọi là

hàm đồng biến trên I(a b, ) và hàm số đơn điệu giảm thực sự trên

I(a b, ) được gọi là hàm nghịch biến trên tập đó.

Định lý 1.3. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên khoảng (a b, ).

(i) Nếu f x '( ) 0 > với mọi x Œ(a b, ) thì hàm số f x( ) đồng

biến trên khoảng đó.

(j) Nếu f x '( ) 0 < với mọi x Œ(a b, ) thì hàm số f x( ) nghịch

biến trên khoảng đó.

Định lý 1.4. Hàm f x( ) xác định trên + ° là một hàm số đợn điệu

tăng khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương 1 2 , ,...,

n

a a a

và 1 2 , ,...,

n

x x x , ta đều có

= = =

 £   1 1 1

( ) ( ) ( )

n n n

k k k k

k k k

a f x a f x (1.5)

Định lý 1.5. Để bất đẳng thức

= =

  £

1 1

( ) ( )

n n

k k

k k

f x f x (1.8)

được thỏa mãn với mọi bộ số dương 1 2 , ,...,

n

x x x , điều kiện đủ là hàm

=

( ) ( ) : f x

g x

x

đơn điệu tăng trên + ° .

Hệ quả 1.5. Giả sử =

( ) ( ) f x

g x

x

là hàm đơn điệu tăng trong

[0, ] +• . Khi đó với mọi dãy số dương và giảm 1 2 , ,...,

n

x x x , ta đều có

-

+

=

- ³ - Â

1

1 1

1

( ) ( ( )).

n

n k k

k

f x x f x f x

6

Nếu bổ sung thêm điều kiện : =

( ) ( ) : f x

g x

x

là hàm đồng biến

trên + ° và 1 2 , ,...,

n

x x x là bộ số gồm các số lớn hơn 1, thì ta thu được

bất đẳng thức thực sự:

= =

  <

1 1

( ) ( ).

n n

k k

k k

f x f x

Tương tự ta cũng có thể phát biểu các đặc trưng đối với các

hàm đơn điệu giảm.

Định lý 1.6. Hàm f x( ) xác định trên + ° là một hàm số đơn điệu

giảm khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương 1 2 , ,...,

n

a a a

và 1 2 , ,...,

n

x x x , ta đều có

= = =

 ³   1 1 1

( ) ( ) ( )

n n n

k k k k

k k k

a f x a f x .

Định lý 1.7. Để bất đẳng thức

= =

  ³

1 1

( ) ( ).

n n

k k

k k

f x f x

được thỏa mãn với mọi bộ số dương 1 2 , ,...,

n

x x x , điều kiện đủ là hàm

=

( ) ( ) : f x

g x

x

đơn điệu giảm trên + ° .

Định lý 1.8.

Định lý 1.9. (Maclaurin, Cauchy).

Định lý 1.10.

Hệ quả 1.6.

Định lý 1.11.

Định lý 1.12.

Hệ quả 1.7.

Định lý 1.13. (Bất đẳng thức thứ tự Chebyshev). Giả sử f x( ) và

g x( ) là hai hàm đơn điệu tăng và ( ) k

x là một dãy đơn điệu tăng:

£ £ £ 1 2 ...

n

x x x

7

Khi đó với mọi bộ trọng ( )j

p :

pj n ³ 0, j =1,2,...,n; p1 2 + p p + ... 1 + =

ta đều có

 ( )   ( ) £ ( ) ( ) k k k k k k k p f x p g x p f x g x

1.2.2. Hàm tựa đơn điệu

Ta nhắc lại tính chất quen biết sau đây.

Giả sử hàm số f x( ) xác định và đơn điệu tăng trên I(a b, ) .

Khi đó với mọi x1 2 , x Œ I(a b, ) , ta đều có

< fi £ 1 2 1 2 x x f (x ) f x( )

và ngược lại, ta có

< fi ³ 1 2 1 2 x x f (x ) f x( ) , " Œ 1 2 x , x I(a b, )

khi f x( ) là một hàm đơn điệu giảm trên I(a b, ) .

Tuy nhiên, trong ứng dụng, có nhiều hàm số chỉ đòi hỏi có

tính chất yếu hơn, chẳng hạn như:

£ ¤ £ " > 1 2 1 2 1 2 f (x ) f (x ) x x ; x x, 0

mà + £ 1 2 x x 1 , thì không nhất thiết f x( ) phải là một hàm đơn điệu

tăng trên (0,1).

Ví dụ, với hàm số f (x x ) = sinp , ta luôn có khẳng định sau

đây.

Bài toán 1.2.

Định nghĩa 1.1. Hàm số f x( ) xác định trong (0,b) Ã (0, ) + • được

gọi là hàm số tựa đồng biến trong khoảng đó, nếu

< ¤ < " > 1 2 1 2 1 2 f (x ) f (x ) x x ; x x, 0 mà + < 1 2 x x b (1.21)

Tương tự ta cũng có định nghĩa hàm tựa nghịch biến trong một

khoảng cho trước.

Định nghĩa 1.2. Hàm số f x( ) xác định trong (0,b) Ã (0, ) + • được

gọi là hàm số tựa nghịch biến trong khoảng đó, nếu

< ¤ > " > 1 2 1 2 1 2 f (x ) f (x ) x x ; x x, 0 mà + < 1 2 x x b (1.22)

Bài toán 1.3.

8

Bài toán 1.4.

Định lý 1.14. Mọi hàm f x( ) xác định trong (0,b) Ã (0, ) + • và thỏa

mãn các điều kiện:

(i) f x( ) đồng biến trong khoảng (0, )

2

b

(j) ( ) ³ ( - ), " Œ[ , )

2

b

f x f b x x b

đều là hàm tựa đồng biến trong khoảng đã cho.

1.3. HÀM LỒI, LÕM VÀ TỰA LỒI, LÕM

1.3.1. Các tình chất cơ bản của hàm lồi

Định nghĩa 1.3. (Xem[3]). Hàm số f x( ) được gọi là hàm lồi (lồi

dưới) trên tập [a,b) à ° nếu với mọi " Œ 1 2 x x, [a,b) và với mọi cặp

số dương a b, có tổnga b + =1 , ta đều có

f (a x1

+ b x212 ) £ + a b f (x ) f x( ) (1.24)

Nếu dấu đẳng thức trong (1. 24) xảy ra khi và chỉ khi =1 2 x x

thì ta nói hàm số f x( ) là hàm lồi thực sự (chặt) trên [a b, ) .

Hàm số f x( ) được gọi là hàm lõm (lồi trên) trên tập [a,b) Ã ° nếu

" Œ 1 2 x x, [a,b) và với mọi cặp số dương a b, có tổnga b + =1 , ta

đều có

f (a x1

+ b x212 ) ³ + a b f (x ) f x( ) (1.25)

Nếu dấu đẳng thức trong (1. 25) xảy ra khi và chỉ khi =1 2 x x

thì ta nói hàm số f x( ) là hàm lõm thực sự (chặt) trên [a b, ) .

Tương tự, ta cũng có định nghĩa về hàm lồi (lõm) trên các tập

(a,b),(a b, ] và[a,b]. Về sau, ta sử dụng kí hiệu I(a b, ) là nhằm

ngầm định một trong bốn tập hợp (a,b),[a,b),(a b, ] và[a,b].

Chú ý rằng, đôi khi ta chỉ nói về tính lồi của một hàm số mà

không nói tới hàm đó lồi trên tập I(a b, ) một cách cụ thể như đã nêu

ở trên.

Nhận xét rằng, khi <1 2 x x thì = + a b 1 2 x x x vói mọi cặp số

dương a b, có tổnga b + =1 , đều thuộc 1 2 (x x, ) và