Một số bất đẳng thức hình học trong tam giác thiết lập từ các bất đẳng thức số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ HẢO

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC

CẢM SINH TỪ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - 2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ HẢO

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC

CẢM SINH TỪ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SỐ

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. Lê Công Trình

Bình Định - 2021

Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Một số ký hiệu 4

1 Tính đối ngẫu giữa các bất đẳng thức hình học và các bất đẳng thức số 5

1.1 Tính đối ngẫu giữa các bất đẳng thức hình học và các bất đẳng thức

số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Mối liên hệ giữa độ dài ba cạnh một tam giác và ba số thực

không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Tính đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Một số bất đẳng thức hình học trong tam giác . . . . . . . . . . . . . 12

2 Các bất đẳng thức hình học cảm sinh từ các đa thức thuần nhất đối xứng 26

2.1 Bất đẳng thức thuần nhất đối xứng ba biến . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Các kết quả tổng quát của P. J van Albada và K. B. Stolarsky . . . . . 27

2.3 Các bất đẳng thức đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.1 Bậc 2, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.2 Bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.3 Bậc 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Các bất đẳng thức tốt nhất có thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.1 Bậc 2,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.2 Bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.3 Bậc 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.4 Bậc 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5 Về bất đẳng thức Gerretsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) . . . . . . . . . . . . .

1

MỞ ĐẦU

Bất đẳng thức là một trong những nội dung khó trong chương trình toán trung

học phổ thông, thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. Đặc

biệt, việc đưa ra hay chứng minh các bất đẳng thức hình học trong tam giác, là

các bất đẳng thức liên hệ giữa các đại lượng trong tam giác, như cạnh, góc, diện

tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp,..., thường không dễ dàng.

Do đó, một vấn đề cấp thiết được đặt ra, là nghiên cứu nguồn gốc, bản chất

của các bất đẳng thức hình học trong tam giác. Có một chú ý rằng hầu hết các

bất đẳng thức hình học trong tam giác được đưa về các bất đẳng thức liên hệ giữa

các cạnh, các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp,

nửa chu vi. Hơn nữa, từ ba số thực không âm ta luôn xây dựng được ba cạnh của

một tam giác, và ngược lại.

Chính vì thế, có thể chuyển đổi qua lại giữa các bất đẳng thức số với các bất

đẳng thức hình học trong tam giác. Các bất đẳng thức số đã được nghiên cứu

trong rất nhiều tài liệu liên quan. Trong đề tài chúng tôi tập trung nghiên cứu các

bất đẳng thức hình học trong tam giác được cảm sinh từ các bất đẳng thức số.

Nội dung chính của luận văn dự kiến sẽ được trình bày trong hai chương.

Chương 1: Tính đối ngẫu giữa các bất đẳng thức hình học và các bất đẳng thức

số.

Trong chương này chúng tôi trình bày sự chuyển đổi qua lại giữa các cạnh

của tam giác với các số thực không âm. Trên cơ sở đó chúng tôi trình bày tính

đối ngẫu giữa các bất đẳng thức hình học và các bất đẳng thức số. Cuối chương

chúng tôi đưa ra một số bất đẳng thức hình học trong tam giác dựa vào các bất

đẳng thức số đã được nghiên cứu.

Chương 2: Các bất đẳng thức hình học cảm sinh từ các đa thức thuần nhất đối

xứng.

Trong chương này chúng tôi trình bày một số dạng bất đẳng thức hình học

đặc biệt, cảm sinh từ các đa thức thuần nhất đối xứng theo ba biến. Cuối chương

chúng tôi đưa ra một số bất đẳng thức hình học dựa vào một số đa thức thuần

nhất đối xứng đặc biệt.

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sự kính trọng sâu sắc đến PGS.

2