Một số bất đẳng thức hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Hoàng Ngọc Quang

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

Chuyên Nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Ngọc

Thái Nguyên - 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Ngọc

Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:

Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Ngày .... tháng .... năm 2011

Có thể tìm hiểu tại

Thư viện Đại học Thái Nguyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

Mục lục

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Chương 1. Các bất đẳng thức trong tam giác và tứ giác 6

1.1. Các bất đẳng thức đại số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Các đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản trong tam giác . 8

1.2.1. Các đẳng thức cơ bản trong tam giác . . . . . . . 8

1.2.2. Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác . . . . . 10

1.3. Bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1. Bất đẳng thức về độ dài các cạnh . . . . . . . . . 11

1.3.2. Bất đẳng thức về các đại lượng đặc biệt . . . . . 14

1.4. Các bất đẳng thức sinh ra từ các công thức hình học . . 17

1.5. Bất đẳng thức trong các tam giác đặc biệt . . . . . . . . 23

1.5.1. Các bất đẳng thức trong tam giác đều . . . . . . 23

1.5.2. Các bất đẳng thức trong tam giác vuông và tam

giác cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6. Các bất đẳng thức khác trong tam giác . . . . . . . . . . 29

1.7. Các bất đẳng thức trong tứ giác . . . . . . . . . . . . . . 40

1.7.1. Các bất đẳng thức cơ bản trong tứ giác . . . . . . 41

1.7.2. Các bất đẳng thức khác trong tứ giác . . . . . . . 45

Chương 2. Bất đẳng thức Ptolemy và các mở rộng 48

2.1. Định lí Ptolemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2. Bất đẳng thức Ptolemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3. Định lí Bretschneider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.4. Định lí Casey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.5. Mở rộng bất đẳng thức Ptolemy trong không gian . . . . 68

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

Chương 3. Bất đẳng thức Erdos-Mordell và các mở rộng 70

3.1. Bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tam giác . . . . . . . 70

3.2. Bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tam giác mở rộng . . 79

3.3. Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tứ giác . . . 85

3.4. Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong đa giác . . . 87

3.5. Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tứ diện . . . 90

Chương 4. Các bất đẳng thức có trọng 92

4.1. Bất đẳng thức dạng Hayashi và các hệ quả . . . . . . . . 92

4.1.1. Bất đẳng thức Hayashi . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.1.2. Các hệ quả của bất đẳng thức hyashi . . . . . . . 94

4.1.3. Bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2. Bất đẳng thức Weizenbock suy rộng và các hệ quả . . . 96

4.2.1. Bất đẳng thức Weizenbock suy rộng . . . . . . . 96

4.2.2. Các hệ quả của bất đẳng thức Weizenbock suy rộng101

4.3. Bất đẳng thức Klamkin và các hệ quả . . . . . . . . . . 105

4.3.1. Bất đẳng thức Klamkin . . . . . . . . . . . . . . 105

4.3.2. Các hệ quả của bất đẳng thức Klamkin . . . . . . 106

4.4. Bất đẳng thức Jian Liu và các hệ quả . . . . . . . . . . 108

4.4.1. Bất đẳng thức Jian Liu . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.4.2. Các hệ quả của bất đẳng thức Jian Liu . . . . . . 110

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

Mở đầu

Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học thuộc loại những

bài toán khó, làm cho học sinh phổ thông, nhất là phổ thông cơ sở kể cả

học sinh giỏi lúng túng khi gặp các bài toán loại này. Thực sự nó là một

phần rất quan trọng của hình học và những kiến thức về bất đẳng thức

trong hình học cũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng của toán

học. So với các bất đẳng thức đại số, các bất đẳng thức hình học chưa

được quan tâm nhiều. Một trong những nguyên nhân gây khó giải quyết

vấn đề này là vì phương pháp tiếp cận không phải là các phương pháp

thông thường hay được áp dụng trong hình học và càng không phải là

phương pháp đại số thuần túy. Để giải một bài toán về bất đẳng thức

hình học cần thiết phải biết vận dụng các kiến thức hình học và đại số

một cách thích hợp và nhạy bén.

Luận văn này giới thiệu một số bất đẳng thức hình học từ cơ bản

đến nâng cao và mở rộng. Các bài toán về bất đẳng thức hình học được

trình bày trong luận văn này có thể tạm phân thành các nhóm sau:

I. Nhóm các bài toán mà trong lời giải đòi hỏi nhất thiết phải có

hình vẽ. Phương pháp giải các bài toán nhóm này chủ yếu là "phương

pháp hình học", như vẽ thêm đường phụ, sử dụng tính chất giữa đường

vuông góc và đường xiên, giữa đường thẳng và đường gấp khúc, quan

hệ giữa các cạnh, giữa cạnh và góc trong một tam giác, hay tứ giác v.v..

Bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng thuộc nhóm này là nội

dung thường gặp trong các kì thi chọn học sinh giỏi toán hay thi vào các

trường chuyên.

II. Nhóm thứ hai gồm các bài toán mà khi giải chúng cần phải sử

dụng các hệ thức lượng đã biết, như các hệ thức lượng giác, hệ thức

đường trung tuyến, đường phân giác, công thức các bán kính, công thức

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

4

diện tích của tam giác v.v.. Các bài toán này đã được quan tâm nhiều

và chúng được trình bày khá phong phú trong các tài liệu [4,7], vì thế

luận văn này sẽ không đề cập nhiều đến các bất đẳng thức trong tam

giác có trong các tài liệu trên mặc dù chúng rất hay mà chỉ nêu ra một

số bất đẳng thức cơ bản nhất để tiện sử dụng sau này.

III. Nhóm thứ ba gồm các bài toán liên quan đến các bất đẳng thức

hình học nổi tiếng, đặc biệt là bất đẳng thức Ptolemy và bất đẳng thức

Erdos-Mordell và các bất đẳng thức có trọng như bất đẳng thức Hayshi,

bất đẳng thức Weizenbock, bất đẳng thức Klamkin v.v.. Các bất đẳng

thức này còn ít được giới thiệu bằng Tiếng Việt và thường gặp trong các

đề thi Olympic Quốc tế.

Bản luận văn "Một số bất đẳng thức hình học" gồm có mở đầu,

bốn chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo.

Chương 1. Các bất đẳng thức trong tam giác và tứ giác.

Chương này trình bày một số bất đẳng thức thuộc nhóm I và nhóm II.

Chương 2. Bất đẳng thức Ptolemy và các mở rộng.

Chương này trình bày đẳng thức Ptolemy, bất đẳng thức Ptolemy và

các bài toán áp dụng. Các bài toán này chủ yếu được trích ra từ các đề

thi vô địch các nước, đề thi vô địch khu vực và đề thi IMO, một số là do

tác giả sáng tác. Ngoài ra, còn trình bày một số mở rộng bất đẳng thức

Ptolemy trong tứ giác và trong tứ diện.

Chương 3. Bất đẳng thức Erdos - Mordell và các mở rộng.

Chương này trình bày bất đẳng thức Edos-Mordell và các bài toán liên

quan. Ngoài ra, còn trình bày một số mở rộng bất đẳng thức này trong

tam giác, trong tứ giác và trong đa giác [11-13].

Chương 4. Các bất đẳng thức có trọng.

Chương này trình bày một số bất đẳng thức liên quan đến tổng khoảng

cách từ một hay nhiều điểm của mặt phẳng đến các đỉnh hoặc các cạnh

của tam giác với các tham số dương tùy ý được gọi là trọng số hay gọi

tắt là trọng. Đó là các bất đẳng thức Hyashi, Weizenbock, Klamkin, Jian

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

5

Liu, v.v.. Các bất đẳng thức này còn ít được giới thiệu bằng Tiếng Việt,

một số là kết quả nghiên cứu của các chuyên gia Quốc tế trong lĩnh vực

bất đẳng thức hình học [9,13-14].

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại

học Thái Nguyên với sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Ngọc. Tác giả

xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm hướng dẫn của

Thầy, tới các thầy cô trong Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo và Khoa

Toán-Tin Trường Đại học Khoa học. Đồng thời tác giả xin cảm ơn tới

Sở GD - ĐT tỉnh Yên Bái, Ban Giám đốc, các đồng nghiệp Trung tâm

GDTX - HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên đã tạo điều kiện cho tác

giả học tập và hoàn thành kế hoạch học tập.

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 6 năm 2011.

Tác giả

Hoàng Ngọc Quang

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

6

Chương 1

Các bất đẳng thức trong tam giác

và tứ giác

Chương này trình bày các bất đẳng thức trong tam giác và tứ giác

từ cơ bản đến nâng cao. Nội dung chủ yếu được hình thành từ các tài

liệu [1-7], [10], [12] và [15].

Kí hiệu ∆ABC là tam giác ABC với các đỉnh là A, B, C. Để thuận

tiện, độ lớn của các góc ứng với các đỉnh A, B, C cũng được kí hiệu tương

ứng là A, B, C.

Độ dài các cạnh của tam giác: BC = a, CA = b, AB = c.

Nửa chu vi của tam giác: p =

a + b + c

2

.

Đường cao với các cạnh: ha, hb

, hc

.

Đường trung tuyến với các cạnh: ma, mb

, mc

.

Đường phân giác với các cạnh: la, lb

, lc

.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp: R và r.

Bán kính đường tròn bàng tiếp các cạnh: ra, rb

, rc

.

Diện tích tam giác ABC: S, SABC hay [ABC].

Để giải được các bài toán bất đẳng thức hình học, trước hết ta cần

trang bị những kiến thức cơ sở đó là các bất đẳng thức đại số cơ bản và

các đẳng thức, bất đẳng thức đơn giản trong tam giác.

1.1. Các bất đẳng thức đại số cơ bản

Định lý 1.1. (Bất đẳng thức AM-GM) Giả sử a1, a2, · · · , an là các số

thực không âm. Khi đó

a1 + a2 + · · · + an

n

≥

√n a1a2...an. (1.1)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

7

Hệ quả 1.1. Với mọi bộ số dương a1, a2, · · · , an ta có

√n a1a2...an ≥

n

1

a1

+

1

a2

+ · · · +

1

an

. (1.2)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an.

Hệ quả 1.2. Với mọi bộ số dương a1, a2, · · · , an ta có

1

a1

+

1

a2

+ · · · +

1

an

≥

n

2

a1 + a2 + · · · + an

. (1.3)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an.

Hệ quả 1.3. Với mọi bộ số không âm a1, a2, · · · , an và m = 1, 2, · · · ta

có

a

m

1 + a

m

2 + · · · + a

m

n

n

≥



a1 + a2 + · · · + an

n

m

. (1.4)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an.

Định lý 1.2. (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Cho hai dãy số thực

a1, a2, · · · , an và b1, b2, · · · , bn. Khi đó

(a1b1 + a2b2 + · · · + anbn)

2 ≤

￾

a

2

1 + a

2

2 + · · · + a

2

n

￾b

2

1 + b

2

2 + · · · + b

2

n

. (1.5)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1

b1

=

a2

b2

= · · · =

an

bn

.

Định lý 1.3. (Bất đẳng thức Jensen) Cho f(x) là hàm số liên tục và có

đạo hàm cấp hai trên I (a, b) và n điểm x1, x2, · · · , xn tùy ý trên đoạn

I (a, b). Khi đó

i, Nếu f

00(x) > 0 với mọi x ∈ I (a, b) thì

f(x1) + f(x2) + · · · + f(xn) ≥ nf 

x1 + x2 + · · · + xn

n



.

ii, Nếu f

00(x) < 0 với mọi x ∈ I (a, b) thì

f(x1) + f(x2) + · · · + f(xn) ≤ nf 

x1 + x2 + · · · + xn

n



.

Ở đây I (a, b) nhằm ngầm định là một trong bốn tập hợp (a, b), [a, b),

(a, b] , [a, b].

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.

8

Định lý 1.4. (Bất đẳng thức Chebyshev) Cho hai dãy số thực đơn điệu

cùng chiều a1, a2, · · · , an và b1, b2, · · · , bn. Khi đó ta có

a1b1 + a2b2 · · · + anbn ≥

1

n

(a1 + a2 + · · · + an) (b1 + b2 + · · · + bn). (1.6)

Nếu hai dãy số thực a1, a2, · · · , an và b1, b2, · · · , bn đơn điệu ngược chiều

thì bất đẳng thức trên đổi chiều.

Định lý 1.5. (Bất đẳng thức Nesbitt) Cho a, b, c là các số thực dương.

Bất đẳng thức sau luôn đúng

a

b + c

+

b

c + a

+

c

a + b

≥

3

2

. (1.7)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

1.2. Các đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản trong tam giác

1.2.1. Các đẳng thức cơ bản trong tam giác

Định lý 1.6. (Định lý hàm số sin) Trong tam giác ABC ta có

a

sin A

=

b

sin B

=

c

sin C

= 2R.

Định lý 1.7. (Định lý hàm số cosin) Trong tam giác ABC ta có

a

2 = b

2 + c

2 − 2bc cos A, b2 = c

2 + a

2 − 2ca cos B, c2 = a

2 + b

2 − 2ab cos C.

Định lý 1.8. (Các công thức về diện tích) Diện tích tam giác ABC

được tính theo một trong các công thức sau

S =

1

2

aha =

1

2

bhb =

1

2

chc (1.8)

=

1

2

bc sin A =

1

2

ca sin B =

1

2

ab sin C (1.9)

= pr (1.10)

=

abc

4R

(1.11)

= (p − a)ra = (p − b)rb = (p − c)rc (1.12)

=

p

p (p − a) (p − b) (p − c). (1.13)

Công thức (1.13) được gọi là công thức Hê-rông.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

9

Định lý 1.9. (Định lý đường phân giác) Trong một tam giác, đường

phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với

hai cạnh kề hai đoạn ấy .

Định lý 1.10. (Công thức đường phân giác) Trong tam giác ABC ta

có

la =

2bc

b + c

cos

A

2

, lb =

2ca

c + a

cos

B

2

, lc =

2ab

a + b

cos

C

2

.

Định lý 1.11. (Định lý đường trung tuyến) Trong một tam giác, ba

đường trung tuyến gặp nhau tại một điểm được gọi là trọng tâm của

tam giác. Trên mỗi đường trung tuyến, khoảng cách từ trọng tâm đến

đỉnh bằng hai lần khoảng cách trọng tâm đến chân đường trung tuyến.

Định lý 1.12. (Công thức đường trung tuyến) Trong tam giác ABC ta

có

m2

a =

b

2 + c

2

2

−

a

2

4

, m2

b =

c

2 + a

2

2

−

b

2

4

, m2

c =

a

2 + b

2

2

−

c

2

4

.

Định lý 1.13. (Công thức bán kính đường tròn nội tiếp) Trong tam

giác ABC ta có

r = (p − a) tan A

2

= (p − b) tan B

2

= (p − c) tan C

2

.

Định lý 1.14. (Công thức bán kính đường tròn bàng tiếp) Trong tam

giác ABC ta có

ra = p tan

A

2

, rb = p tan

B

2

, rc = p tan

C

2

.

Định lý 1.15. (Các hệ thức lượng giác cơ bản) Với mọi tam giác ABC

ta luôn có các hệ thức sau

sin A + sin B + sin C = 4 cos

A

2

cos

B

2

cos

C

2

, (1.14)

sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C, (1.15)

cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin

A

2

sin

B

2

sin

C

2

, (1.16)

cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C, (1.17)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

10

sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 (1 + sin A sin B sin C), (1.18)

cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 − 2 cos A cos B cos C, (1.19)

tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C, (1.20)

cot

A

2

+ cot

B

2

+ cot

C

2

= cot

A

2

cot

B

2

cot

C

2

, (1.21)

tan

A

2

tan

B

2

+ tan

B

2

tan

C

2

+ tan

C

2

tan

A

2

= 1, (1.22)

cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1. (1.23)

Riêng với hệ thức (1.20) thì tam giác ABC cần giả thiết không vuông.

1.2.2. Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác

Định lý 1.16. (Bất đẳng thức tam giác) Trong tam giác ABC ta có

|b − c| < a < b + c, |c − a| < b < c + a, |a − b| < c < a + b.

Định lý 1.17. (Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản) Với mọi tam giác

ABC ta luôn có các bất đẳng thức sau

sin A + sin B + sin C ≤

3

√

3

2

, (1.24)

cos A + cos B + cos C ≤

3

2

, (1.25)

cos

A

2

+ cos

B

2

+ cos

C

2

≤

3

√

3

2

, (1.26)

sin

A

2

+ sin

B

2

+ sin

C

2

≤

3

2

, (1.27)

sin

A

2

sin

B

2

sin

C

2

≤

1

8

, (1.28)

cos A cos B cos C ≤

1

8

, (1.29)

sin2 A + sin2 B + sin2 C ≤

9

4

, (1.30)

tan

A

2

+ tan

B

2

+ tan

C

2

≥

√

3, (1.31)

tan A + tan B + tan C ≥ 3

√

3, (1.32)

cot A + cot B + cot C ≥

√

3. (1.33)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn