Một số bất đẳng thức cổ điển và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ MÂY

VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN VÀ

ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ MÂY

VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN VÀ

ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số : 8460113

Người hướng dẫn : PGS.TS. LƯƠNG ĐĂNG KỲ

Mục lục

Lời mở đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Một số bất đẳng thức cơ cở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Quan hệ thứ tự trên R và bất đẳng thức . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức . . . . . . . . . . 3

1.2 Một số bất đẳng thức liên quan đến các đại lượng trung bình . . . . 4

1.2.1 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân . . 5

1.2.2 Bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình nhân và trung bình

điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình

bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Một số bất đẳng thức cổ điển 14

2.1 Hàm lồi và Bất đẳng thức Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1 Hàm lồi và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2 Bất đẳng thức Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.3 Xây dựng một số bất đẳng thức hàm lồi . . . . . . . . . . . . 23

2.1.4 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Bất đẳng thức Bernoulli và một số bất đẳng thức liên quan . . . . . 26

2.2.1 Bất đẳng thức Bernoulli và một số dạng tương đương . . . . 26

2.2.2 Một số bất đẳng thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.3 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Bất đẳng thức Cauchy và một số bất đẳng thức liên quan . . . . . . 33

2.3.1 Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.2 Một số hệ quả của Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . 34

2.3.3 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4 Bất đẳng thức H¨older và Bất đẳng thức Minkowski . . . . . . . . . 36

2.4.1 Bất đẳng thức H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

i

ii

2.4.2 Bất đẳng thức Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.3 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5 Bất đẳng thức Chebyshev và một số bất đẳng thức liên quan . . . . 44

2.5.1 Bất dẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu . . . . . . . 44

2.5.2 Một số bất đẳng thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.5.3 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6 Bất đẳng thức Abel và một số bất đẳng thức liên quan . . . . . . . 48

2.6.1 Bất đẳng thức Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6.2 Một số bất đẳng thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.6.3 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 Ứng dụng trong giải toán sơ cấp 53

3.1 Một số bài toán cơ bản trong chương trình phổ thông . . . . . . . . 53

3.1.1 Bất đẳng thức 1

a

+

1

b

≥

4

a + b

và mở rộng . . . . . . . . . . . 53

3.1.2 Bất đẳng thức a

3 + b

3 ≥ ab(a + b) và mở rộng . . . . . . . . . 56

3.1.3 Bất đẳng thức (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) ≤ abc, với a, b, c

là độ dài ba cạnh của một tam giác và mở rộng . . . . . . . 59

3.2 Một số bài toán liên quan đến các kỳ thi học sinh giỏi . . . . . . . . 61

Kết luận 70

Tài liệu tham khảo 71

LỜI MỞ ĐẦU

Bất đẳng thức là một lĩnh vực toán học tương đối khó, yêu cầu óc quan sát và

linh cảm thực tế, đòi hỏi tư duy và khả năng sáng tạo của người học. D.S.Mitrinovic

(1908-1995) được biết đến với câu danh ngôn độc đáo tạm dịch “Không có gì là

đẳng thức, thậm chí cả trong đời sống con người - bất đẳng thức luôn luôn hiện

hữu”. Điều đó cho thấy bất đẳng thức không chỉ là công cụ thiết yếu trong toán

học mà còn có vai trò to lớn trong thực tế cuộc sống.

Trong chương trình Toán học ở trường phổ thông, bất đẳng thức đóng một vai

trò hết sức quan trọng trong việc giải các bài toán sơ cấp. Đặc biệt, bất đẳng thức

là một trong các dạng toán khó thường xuất hiện trong những kì thi trung học

phổ thông, các kì thi học sinh giỏi cấp quốc gia, cấp quốc tế và các kì thi Olympic

Toán Sinh viên trong nước và quốc tế.

Các bất đẳng thức cổ điển là nền móng quan trọng, luôn được đánh giá cao

đặc biệt đối với những người yêu bất đẳng thức. Trong những năm gần đây, tuy

có rất nhiều tài liệu được nghiên cứu, biên soạn và trình bày về bất đẳng thức.

Tuy nhiên, mỗi tài liệu lại chỉ nghiên cứu về một số dạng cụ thể với cách nhìn và

phương pháp giải riêng. Vì vậy, vấn đề đặt ra đối với mỗi người học Toán là phải

nắm chắc được một số bất đẳng thức cổ điển và ứng dụng của chúng trong giải

toán sơ cấp. Đó là lý do tại sao tôi chọn đề tài “Về một số bất đẳng thức cổ điển

và ứng dụng” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình.

Cấu trúc của luận văn gồm: Lời mở đầu, nội dung chính và danh mục tài liệu

tham khảo. Nội dung chính của luận văn gồm ba chương.

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày chi

tiết các bất đẳng thức cơ sở và các bất đẳng thức liên quan đến các trung bình,

làm cơ sở cho các lập luận ở các chương tiếp theo của luận văn.

Chương 2. Một số bất đẳng thức cổ điển. Trong chương này, chúng tôi

trình bày chi tiết các bất đẳng thức cổ điển như Bất đẳng thức Jensen và hàm lồi,

Bất đẳng thức Bernoulli, Bất đẳng thức Cauchy,...

Chương 3. Ứng dụng trong giải toán sơ cấp. Trong chương này, chúng tôi

trình bày một số ứng dụng của bất đẳng thức trong các bài toán sơ cấp.

1

2

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sự kính trọng sâu sắc đến thầy

PGS. TS. Lương Đăng Kỳ, trường Đại học Quy Nhơn, thầy đã trực tiếp giảng dạy,

hướng dẫn và tạo mọi điều kiện trong quá trình học tập và nghiên cứu để tôi có

thể hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất. Bên cạnh đó, tôi cũng xin chân

thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Khoa Toán và Thống kê, trường

Đại học Quy Nhơn cùng quý thầy cô giáo của trường, quý thầy cô giáo thỉnh giảng

đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, hoàn thành các học

phần tại trường. Nhân đây, tôi cũng xin cảm ơn các anh, chị học viên trong lớp

Phương pháp toán sơ cấp khóa 22, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã giúp đỡ,

động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Mặc dù rất cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và trình độ nên bên cạnh

những kết quả đã đạt được, luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu

sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý thẳng thắn và chân thành của quý thầy

cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Ngày 19 tháng 9 năm 2021

Học viên thực hiện

Nguyễn Thị Mây

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về quan hệ thứ

tự trên R, một số bất đẳng thức liên hệ giữa các đại lượng trung bình như trung

bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa.

1.1 Một số bất đẳng thức cơ cở

1.1.1 Quan hệ thứ tự trên R và bất đẳng thức

Trên tập hợp các số thực R, xét quan hệ hai ngôi < định nghĩa như sau: Với

mọi a, b ∈ R,

a < b ⇔ b − a là số dương.

Ta cũng kí hiệu a ≤ b nếu a < b hoặc a = b. Khi đó < là một quan hệ thứ tự trên R.

Khi a < b (tương ứng, a ≤ b) thì ta cũng viết b > a (tương ứng, b ≥ a). Các mệnh

đề dạng này được gọi là các bất đẳng thức.

1.1.2 Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức

(1) Tính chất giao hoán: a ≤ b ⇔ b ≥ a.

(2) Tính chất bắc cầu: Nếu a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c.

(3) Liên hệ với phép cộng: a ≤ b ⇔ a ± m ≤ b ± m.

Nếu a ≤ b, c ≤ d thì a + c ≤ b + d.

Nếu a ≤ b và c ≤ d thì a − d ≤ b − c.

3