Mối liên hệ đại số của các ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LÊ NGỌC QUỲNH

MỐI LIÊN HỆ ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH

XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHÔNG GIAN

XẠ ẢNH PHỨC

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

Mã số: 62.46.01.05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH SĨ ĐỨC QUANG

HÀ NỘI, 2016

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả được trình

bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa

từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Lê Ngọc Quỳnh

ii

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn

tận tình, chu đáo của PGS. TSKH Sĩ Đức Quang. Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ sự tri

ân và lòng biết ơn sâu sắc đến người Thầy đã hết lòng dạy dỗ, giúp đỡ, động viên cũng

như tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến GS. TSKH Đỗ Đức Thái vì sự giúp đỡ và những lời

khuyên quý báu của Giáo sư trong quá trình hoàn thành luận án. Tác giả cũng xin gửi

lời cảm ơn chân thành đến các thành viên trong seminar hình học phức của Bộ môn

Hình học, Khoa Toán - Tin, đặc biệt là TS Hà Hương Giang vì sự quan tâm và giúp đỡ

tận tình trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại Hà Nội.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin,

phòng Sau đại học và các phòng ban chức năng của trường Đại học Sư phạm Hà Nội vì

những sự giúp đỡ mà tác giả đã nhận được trong suốt quá trình học tập tại trường.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ủy ban nhân dân tỉnh An Giang,

Ban giám hiệu trường Đại học An Giang, Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm, Ban chủ nhiệm

bộ môn Toán cùng các phòng ban chức năng của trường Đại học An Giang và anh chị,

bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành

nhiệm vụ Nghiên cứu sinh.

Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô phản biện đã dành thời gian đọc và

đóng góp những ý kiến quý báu cho luận án này.

Lời cuối cùng, tác giả xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, những người thân luôn

tin tưởng, thương yêu, động viên và giúp đỡ tác giả vượt qua mọi khó khăn trong suốt

quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án này.

Tác giả

iii

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN ii

LỜI CẢM ƠN iii

MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU v

MỞ ĐẦU 1

1 TỔNG QUAN 4

1.1 Sự phụ thuộc tựa phân tuyến tính của hai hàm phân hình có chung ảnh

ngược đối với các cặp hàm nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình trùng nhau trên ảnh ngược

của họ siêu phẳng cố định với bội bị ngắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Tính suy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối

với họ siêu phẳng di động với bội bị ngắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trùng nhau trên ảnh ngược

của họ siêu phẳng di động không tính bội . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 SỰ PHỤ THUỘC TỰA PHÂN TUYẾN TÍNH CỦA HAI HÀM PHÂN

HÌNH CÓ CHUNG ẢNH NGƯỢC ĐỐI VỚI CÁC CẶP HÀM NHỎ 16

2.1 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình trên mặt phẳng phức . . . . . 17

2.2 Hai hàm phân hình có chung ảnh ngược đối với các cặp hàm nhỏ . . . . 19

iv

3 SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA BA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÙNG

NHAU TRÊN ẢNH NGƯỢC CỦA HỌ SIÊU PHẲNG CỐ ĐỊNH VỚI

BỘI BỊ NGẮT 35

3.1 Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức 36

3.2 Sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 TÍNH SUY BIẾN ĐẠI SỐ CỦA CẶP ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CÓ

CHUNG ẢNH NGƯỢC ĐỐI VỚI HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG VỚI

BỘI BỊ NGẮT 55

4.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Tính suy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình . . . . . . . . . . . . . . 60

5 SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÙNG

NHAU TRÊN ẢNH NGƯỢC CỦA HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG

KHÔNG TÍNH BỘI 71

5.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2 Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình . . . . . . . . . . . . . . . 74

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 85

NHỮNG CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 86

TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

v

MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU

Trong toàn bộ luận án, ta thống nhất một số kí hiệu như sau.

• P

N (C): không gian xạ ảnh phức N− chiều.

• kzk =

￾

|z1|

2 + · · · + |zn|

2

1/2

với z = (z1, . . . , zn) ∈ C

n

• B(r) := {z ∈ C

n

: kzk < r} là hình cầu mở bán kính r trong C

n

• S(r) := {z ∈ C

n

: kzk = r} là mặt cầu bán kính r trong C

n

• d = ∂ + ∂, dc

:=

√

−1

4π

(∂ − ∂): các toán tử vi phân.

• vn−1 := (ddckzk

2

)

n−1

, σn := d

c

logkzk

2 ∧ (ddc

logkzk

2

)

n−1

: các dạng vi phân.

• O(1): đại lượng bị chặn.

• O(r): đại lượng vô cùng bé cùng bậc với r khi r → +∞.

• o(r): vô cùng bé bậc cao hơn r khi r → +∞.

• log+

r = max{log r, 0}, r > 0.

• “|| P”: có nghĩa là mệnh đề P đúng với mọi r ∈ [0, +∞) nằm ngoài một tập con

Borel E của [0, +∞) thoả mãn R

E

dr < +∞.

• ] S: lực lượng của tập hợp S.

• Rf : Trường tất cả các hàm phân hình nhỏ (tương ứng với hàm phân hình f) trên

C.

• R{ai}

q

i=1 : Trường con nhỏ nhất của M (trường tất cả các hàm phân hình trên

C

n

) chứa C và tất cả aik/ail với ail 6= 0 trong đó ai = (ai0 : · · · : aiN ) (1 ≤ i ≤ q)

là các ánh xạ phân hình từ C

n vào P

N (C)

∗

.

v

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Lý thuyết Nevanlinna, hay thường được gọi là Lý thuyết phân bố giá trị, được xây

dựng đầu tiên bởi R. Nevanlinna [19] vào năm 1926 cho trường hợp hàm phân hình một

biến phức. Sau khi bài báo của ông được công bố, lý thuyết này đã được mở rộng và

nghiên cứu sâu sắc cho các ánh xạ phân hình nhiều biến phức bởi nhiều nhà toán học

như A. Bloch, H. Cartan, H. J. Weyles, L. Ahlfors, W. Stoll, J. Noguchi và một số tác

giả khác.

Cho đến nay, lý thuyết Nevanlinna đã trở thành một trong những lý thuyết quan

trọng của toán học và thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế

giới với nhiều kết quả đẹp đẽ và sâu sắc đã được công bố. Những kết quả của lý thuyết

Nevanlinna đã được ứng dụng trong việc nghiên cứu nhiều vấn đề của hình học phức và

giúp cho việc hình thành lên nhiều hướng nghiên cứu như nghiên cứu về tính duy nhất,

tính hữu hạn, sự phụ thuộc đại số và tính suy biến đại số của các ánh xạ phân hình.

Đặc biệt, trong những năm gần đây, H. Fujimoto ([10], [11]), G. Dethloff, Đỗ Đức

Thái, Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang ([6], [7], [15], [23], [24], [36], [37], [40]), Z. Chen -

Q. Yan [3] và nhiều tác giả khác đã thu được những kết quả quan trọng về tính duy

nhất, hữu hạn và suy biến của ánh xạ phân hình từ C

n vào P

N (C) với điều kiện về ảnh

ngược của họ các siêu phẳng. Tuy nhiên, các kết quả trên hầu hết chỉ liên quan đến tính

duy nhất hay hữu hạn của ánh xạ phân hình và cần ít nhất điều kiện trên 2N + 2 siêu

phẳng. Việc nghiên cứu về mối liên hệ giữa các ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược

đối với các siêu phẳng trong trường hợp số siêu phẳng (cố định hoặc di động) ít hơn thì

đây vẫn là một vấn đề còn mới mẻ, có rất ít kết quả được công bố.

1

Vì những lí do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Mối liên hệ đại số của các

ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức”. Cụ thể, chúng tôi tập trung

nghiên cứu mối quan hệ đại số giữa các ánh xạ phân hình từ C

n vào P

N (C), đồng thời

chúng tôi cũng đưa ra kết quả về sự suy biến đại số của ánh xạ tích của hai ánh xạ phân

hình vào P

N (C).

2. Mục đích và đối tượng nghiên cứu

Mục đích đầu tiên của luận án là nghiên cứu về hàm phân hình trên mặt phẳng

phức C và đưa ra định lý về sự phụ thuộc tựa phân tuyến tính (tựa M¨obius) của hai

hàm phân hình có chung ảnh ngược đối với các cặp hàm nhỏ. Tiếp theo chúng tôi áp

dụng lý thuyết Nevanlinna để nghiên cứu bài toán về sự phụ thuộc đại số của các ánh

xạ phân hình nhiều biến vào không gian xạ ảnh phức dựa trên các điều kiện đặt ra trên

ảnh ngược của họ các siêu phẳng cố định hoặc di động cho trước.

Đối tượng nghiên cứu của chúng tôi là các hàm phân hình trên C và các ánh xạ phân

hình nhiều biến từ C

n vào không gian xạ ảnh P

N (C).

3. Phương pháp nghiên cứu

Dựa trên cơ sở các phương pháp nghiên cứu cũng như những kĩ thuật truyền thống

của hình học phức và lý thuyết phân bố giá trị, chúng tôi sẽ cố gắng đề xuất những kĩ

thuật mới nhằm giải quyết những vấn đề đặt ra trong luận án.

4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận án góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu biết về mối liên hệ

đại số của các ánh xạ phân hình vào đa tạp xạ ảnh phức. Đồng thời, luận án là một

trong những tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh theo

hướng nghiên cứu này.

2

5. Cấu trúc luận án

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và kiến nghị, danh mục công trình khoa học của

nghiên cứu sinh liên quan đến luận án và tài liệu tham khảo, luận án bao gồm năm

chương:

Chương I. Tổng quan.

Chương II. Sự phụ thuộc tựa phân tuyến tính của hai hàm phân hình có chung ảnh

ngược đối với các cặp hàm nhỏ.

Chương III. Sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình trùng nhau trên ảnh

ngược của họ siêu phẳng cố định với bội bị ngắt.

Chương IV. Tính suy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược

đối với họ siêu phẳng di động với bội bị ngắt.

Chương V. Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trùng nhau trên ảnh

ngược của họ siêu phẳng di động không tính bội.

Luận án được viết dựa trên 4 bài báo, trong đó có 3 bài công bố trên các tạp chí

International Journal of Mathematics, Kodai Mathematical Journal, Complex Variable

and Elliptic Equation và 1 bài còn lại đang gửi đăng.

3