Không gian Tô Pô doc

Lêi nãi ®Çu

T«p« lµ m«n häc c¬ së cña Gi¶i tÝch hiÖn ®¹i, tµi liÖu viÕt vÒ nã rÊt nhiÒu

song rÊt Ýt tµi liÖu cã c¸c bµi tËp kÌm theo lêi gi¶i chi tiÕt minh ho¹ cho m«n

häc hÊp dÉn nh−ng t−¬ng ®èi trõu t−îng nµy. Nh»m gióp cho mét sè b¹n häc

viªn Cao häc To¸n c¸c kho¸ sau (KÓ tõ khãa 10) häc tËp ®ì vÊt v¶ vµ c¶m thÊy

thó vÞ h¬n m«n T«p«. Dùa vµo ch−¬ng tr×nh häc T«p« ®¹i c−¬ng cña Cao häc

10 To¸n, t¸c gi¶ thèng kª vµ gi¶i c¸c bµi tËp T«p« ®· gÆp trong ch−¬ng tr×nh

häc. §a sè c¸c lêi gi¶i tr×nh bµy chi tiÕt, cã nh÷ng bµi tËp hay t¸c gi¶ tr×nh bµy

nhiÒu c¸ch gi¶i ®Ó b¹n ®äc tham kh¶o.

V× n¨ng lùc cßn h¹n chÕ vµ ®©y chØ lµ c¸c lêi gi¶i mang tÝnh chñ quan cña

t¸c gi¶, ®iÒu kiÖn vËt chÊt kh«ng cho phÐp, nªn chØ cã thÓ tr×nh bµy ®−îc c¸c

bµi to¸n s¸t víi Bµi gi¶ng cña PGS TS TrÇn V¨n ¢n cho Häc viªn cao häc To¸n

kho¸ 9-10 §H Vinh.

Ch¾c ch¾n sÏ kh«ng tr¸nh khái thiÕu sãt, song còng mong nhËn ®−îc sù ñng

hé, ý kiÕn ®ãng gãp cña b¹n ®äc quan t©m ®Õn T«p«.

Cuèn s¸ch gåm bèn phÇn chÝnh:

I. Kh«ng gian T«p«

II. Kh«ng gian Mªtric

III. Kh«ng gian Compact

IV. Kh«ng gian Liªn th«ng

Nh©n ®©y còng xin ®−îc c¶m ¬n anh NguyÔn Hång C−êng HV CH10 To¸n

®· ®Ò nghÞ t¸c gi¶ hoµn thµnh tµi liÖu nµy.

Vinh, ngµy 30 th¸ng 04 n¨m 2003

Ng« Quèc Chung12

Tr−êng PTDL Hermann Gmeiner Vinh, NghÖ An

1Email: [email protected]

2Mobile: 0906236777

1

2

Kh«ng gian t«p«

Bµi 1 : Cho kh«ng gian t«p« X, E lµ tËp con cña X ta lu«n cã:

a ) E ®ãng ⇔ EI ⊂ E

b ) E = EI ∪ E

c ) intE lµ tËp më lín nhÊt chøa trong E

d ) E lµ tËp ®ãng nhá nhÊt chøa E

e ) E lµ tËp më ⇔ E lµ l©n cËn cña ∀x ∈ E

Chøng minh

a) Gi¶ sö E ®ãng mµ EI W⊂ E ⇒ ∃ ®iÓm x ∈ EI mµ x W∈ E ⇒ x ∈ X\E

l¹i do E ®ãng ⇒ X\E më ⇒ ∃ l©n cËn U cña x sao cho x ∈ U ⊂ X\E ⇒

U ∩ E = ∅ ⇒ U ∩ E\{x} = ∅ tr¸i víi gi¶ thiÕt x ∈ EI ⇒ EI ⊂ E

Gi¶ sö EI ⊂ E ⇒ ∀x ∈ X\E th× x W∈ EI ⇒ ∃ l©n cËn U cña x sao cho

U ∩E\{x} = ∅ ⇒ U ∩E = ∅ (v× x W∈ E) ⇒ U ⊂ X\E ⇒ X\E më ⇒ E ®ãng

b) Gi¶ sö x ∈ E ∪ EI ⇒ x ∈ E hoÆc x ∈ EI

.

NÕu x ∈ E râ rµng x ∈ E.

NÕu x ∈ EI ⇒ ∀ l©n cËn U cña x th× ta cã

U ∩ E\{x} W= ∅ vµ E\{x} ⊂ E\{x}

⇒ U ∩ E\{x} W= ∅

⇒ x ∈ EI

⊂ E

⇒ E ∪ EI ⊂ E

Gi¶ sö x /∈ X\E ∪ EI ⇒ x /∈ EI ⇒ tån t¹i l©n cËn U cña x sao cho

U ∩ E\{x} = ∅ mµ x /∈ E ⇒ U ∩ E = ∅ ⇒ X\{E ∪ EI

} lµ tËp më mµ

E ⊂ E ∪ EI ⇒ E ⊂ E ∪ EI

c) Ta sÏ chøng minh r»ng mäi tËp më n»m trong E ®Òu n»m trong intE.

ThËt vËy:

Gi¶ sö U lµ tËp më bÊt k× sao cho U ⊂ E ⇒ ∀x ∈ U th× x ∈ U ⊂ E ⇒ E

lµ l©n cËn cña x ⇒ x lµ ®iÓm trong cña E ⇒ x ∈ intE

⇒ U ⊂ intE

3