Không gian Hyperbolic đầy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯƠNG THANH TÙNG

KHÔNG GIAN HYPERBOLIC ĐẦY

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2013

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯƠNG THANH TÙNG

KHÔNG GIAN HYPERBOLIC ĐẦY

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số : 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai

Thái Nguyên - 2013

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

i

Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. Không gian phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Không gian phân thớ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Không gian phức Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5. Một số kết quả bổ trợ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Chương 2. KHÔNG GIAN PHỨC HYPERBOLIC ĐẦY . . . 27

2.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2. Một số tính chất của không gian phức Hyperbolic đầy. . . . . . . . 29

2.3. Một số định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

1

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết các không gian phức được S. Kobayashi đưa ra đầu những 70

của thế kỉ 20, là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải

tích phức. Sau đó, lý thuyết này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của

nhiều nhà toán học trên thế giới. Một số kết quả sâu sắc và đẹp đẽ của lý

thuyết này đã được chứng minh bởi S. Kobayashi, M. Kwack, J. Noguchi,

S. Lang,.... Những công trình nghiên cứu đó đã thúc đẩy hướng nghiên cứu

này phát triển mạnh mẽ và đã hình thành nên một chuyên ngành mới của

giải tích toán học đó là giải tích phức hyperbolic. Có thể nói giải tích phức

hyperbolic đang là một lĩnh vực nghiên cứu nằm ở chỗ giao nhau của nhiều

ngành toán học lớn: Hình học vi phân phức, giải tích phức, hình học đại số

và lý thuyết số. Một trong những không gian phức Hyerbolic được đưa ra

là không gian phức Hyperbolic đầy, cụ thể là:

Cho G là một miền tuỳ ý trong C

n được trang bị khoảng cách liên tục dG.

Một miền G được gọi là dG - đầy đủ nếu mọi dãy dG - Cauchy {zv}v∈N ⊂ G

hội tụ tới z0 ∈ G, tức là: kzv − z0k →

v→∞

0 . Hơn thế nữa, cũng có khái niệm

quan trọng khác được mượn từ hình học vi phân, như là: miền G là hyper￾bolic đầy khi và chỉ khi mỗi hình cầu đóng trong (G, dG) là compact. Nếu ta

thay lần lượt khoảng cách liên tục dG bằng các khoảng cách Carathéodory,

Bergman hay Kobayashi, thì ta được các không gian đầy đủ tương ứng.

Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi xin trình bày các kết quả liên

quan đến không gian phức hyperbolic đầy theo khoảng cách Kobayashi. Nội

dung luận văn bao gồm 2 chương.

Trong chương 1, trình bày một số kiến thức cơ sở có liên quan chặt chẽ

đến nội dung chính của luận văn như: không gian phức, giả khoảng cách

Kobayashi, không gian phức Hyperbolic và một số kết quả bổ trợ khác.

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/