Tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các CRtự đẳng cấu vi phân

1

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những kết quả được trình bày trong luận án là trung

thực, mới, đã được công bố trên các tạp chí Toán học trong và ngoài nước.

Các kết quả này chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một tạp chí nào

khác. Các kết quả viết chung với GS. TSKH Đỗ Đức Thái, GS. Pascal J.

Thomas, PGS. TS Nguyễn Văn Trào, TS. Ninh Văn Thu và ThS. Chử Văn

Tiệp đã được sự đồng ý của các đồng tác giả khi đưa vào luận án.

Nghiên cứu sinh: Mai Anh Đức

2

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ dạy tận tình của

GS. TSKH Đỗ Đức Thái. Nhân dịp này, tôi xin được kính gửi tới Thầy lời

cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Bộ môn Hình học, Ban Chủ nhiệm Khoa

Toán - Tin, Phòng Sau Đại học và Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi sớm hoàn thành luận án của

mình.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Bộ môn Đại số - Hình học, Ban

Chủ nhiệm Khoa Toán - Lý - Tin, Ban Giám hiệu Trường Đại học Tây Bắc

đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi yên tâm học tập và nghiên cứu.

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong

Khoa Toán - Tin thuộc Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; Khoa Toán - Lý -

Tin thuộc Trường Đại học Tây Bắc; các thành viên seminar Hình học phức

thuộc Khoa Toán - Tin và seminar Đại số Giao hoán - Hình học phức -

Phương pháp giảng dạy thuộc Khoa Toán - Lý - Tin; các đồng nghiệp, anh

em, bạn bè đã khích lệ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên

cứu, học tập và công tác.

Nghiên cứu sinh: Mai Anh Đức.

3

MỤC LỤC

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Danh mục các kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Chương 1. Tính hyperbolic modulo và tính taut modulo của

miền kiểu Hartogs 18

1.1 Không gian hyperbolic modulo và taut modulo một tập con giải

tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 Tính hyperbolic modulo S × C

m của miền ΩH(X) . . . . . . . . 23

1.3 Tính taut modulo S × C

m của miền ΩH(X) . . . . . . . . . . . 28

Chương 2. Đường cong giới hạn Brody trong C

n và (C

∗

)

2 37

2.1 Tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức . 37

2.2 Vấn đề đường cong giới hạn Brody trong C

n

. . . . . . . . . . . 47

2.3 Vấn đề đường cong giới hạn Brody trong (C

∗

)

2

. . . . . . . . . . 50

Chương 3. Nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân 58

3.1 Ví dụ về trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt thực nhẵn 58

3.2 Không gian vectơ thực của các trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình 64

Kết luận và Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Danh mục công trình công bố của tác giả . . . . . . . . . . . . 79

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

• N, Z, Q, R, C: tương ứng là tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu

tỷ, tập số thực, tập số phức.

• Ω: Một miền trong C

n

.

• Aut(Ω): Nhóm tự đẳng cấu của miền Ω.

• Hol(X, Y ): Không gian các ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức X

vào không gian phức Y được trang bị tôpô compact mở.

• cX: Giả khoảng cách Caratheodory trên không gian phức X.

• dX: Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X.

• Dr := {z ∈ C : |z| < r}: Đĩa mở bán kính r trong C, ta kí hiệu D1 bởi

D.

• ρ(a, b) := log |1−ab|+|a−b|

|1−ab|−|a−b|

, với mọi a, b ∈ D: Khoảng cách Poincare trên

D.

• ds2

F S: Metric Fubini-Study trên P

n

(C).

• a . b có nghĩa là tồn tại hằng số C > 0, không phụ thuộc vào các tham

số sao cho a ≤ Cb.

• a & b có nghĩa là tồn tại hằng số C > 0, không phụ thuộc vào các tham

số sao cho a ≥ Cb.

• a ≈ b có nghĩa là tồn tại các hằng số C1 > 0, C2 > 0 không phụ thuộc

vào các tham số sao cho C1b ≤ a ≤ C2b.

• ΩH(X): Miền kiểu Hartogs.

5

• Ωϕ(X): Miền Hartogs.

• (M, p): Mầm các siêu mặt thực nhẵn lớp C

1

tại p ∈ C

n

.

• hol0(M, p): Không gian vectơ thực gồm tất cả các mầm trường vectơ

chỉnh hình (H, p) triệt tiêu tại p và tiếp xúc với M.

• (X, p): Mầm trường vectơ nhẵn trên M.

• (H, p): Mầm trường vectơ chỉnh hình trong C

n

.

6

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Vào những năm 60 của thế kỷ trước, nhà toán học Nhật Bản Shoshichi

Kobayashi đã xây dựng trên mỗi không gian phức một giả khoảng cách bất

biến đối với các tự đẳng cấu chỉnh hình. Giả khoảng cách đó ngày nay được

gọi là giả khoảng cách Kobayashi. Khi giả khoảng cách Kobayashi trên một

không gian phức trở thành khoảng cách thì không gian phức đó được gọi

là không gian phức hyperbolic. Tính hyperbolic của không gian phức cho

phép chúng ta tiếp cận đến nhiều tính chất hình học của không gian phức.

Ta thấy, tính hyperbolic của không gian phức thực chất là kiểm soát

tính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi tại hai điểm bất kỳ

của không gian đó. Vì thế, một vấn đề tự nhiên được đặt ra là: Ta có thể

thu được những tính chất hình học như thế nào trong trường hợp ta không

thể kiểm soát được tính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi

tại một số cặp điểm? Từ ý tưởng trên, S. Kobayashi đã đề xuất khái niệm

không gian phức hyperbolic modulo một tập con giải tích. Ông và một vài

tác giả sau này đã nghiên cứu vấn đề trên và thu được nhiều kết quả đẹp

đẽ. Tuy nhiên, chúng ta biết chưa nhiều ví dụ cụ thể về không gian phức

hyperbolic modulo một tập con giải tích. Ngoài ra, những kết quả của M.

Zaidenberg, J. Noguchi về giả thuyết Mordell trong tình huống compact và

không compact cho chúng ta thấy rõ tầm quan trọng của việc nghiên cứu

tính hyperbolic modulo một tập con giải tích.

Từ lý do trên, luận án đặt ra vấn đề đầu tiên là nghiên cứu tính hyperbolic

modulo một tập con giải tích và những thuộc tính liên quan của miền kiểu

Hartogs. Nói thêm rằng miền Hartogs là trường hợp đặc biệt của miền kiểu

7

Hartogs và là một đối tượng cơ bản, quen thuộc của giải tích phức nhiều

biến. Những kết quả của luận án về chủ đề này sẽ góp phần để hiểu rõ hơn

những tính chất hình học của miền Hartogs.

Một ứng dụng quan trọng của tính hyperbolic đó là, tính hyperbolic cho

phép chúng ta kiểm soát hình thái của dãy đĩa chỉnh hình trong một đa

tạp phức khi dãy đĩa đó tiến ra "vô cùng" (tức là tiến ra "biên" của đa

tạp). Đã có nhiều kết quả đẹp của các nhà toán học trong và ngoài nước

về chủ đề này như: L. Zalcman, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Văn Trào.... Hình

thái của dãy đĩa chỉnh hình trong đa tạp phức còn cho phép chúng ta tiếp

cận đến một số vấn đề của Hệ động lực học phức nhiều biến. Trong việc

nghiên cứu chủ đề này, nghiên cứu tính Zalcman của không gian phức là

một vấn đề rất quan trọng. Đặc biệt, giả thuyết về tính Zalcman của C

n

khi n ≥ 2 cho đến nay vẫn là một câu hỏi mở.

Vì thế vấn đề thứ hai được nghiên cứu trong luận án là nghiên cứu đường

cong giới hạn Brody trong C

n và (C

∗

)

2

. Chúng tôi hy vọng rằng cách tiếp

cận của chúng tôi về vấn đề này sẽ cho phép chúng ta giải quyết được giả

thuyết về tính Zalcman đã nói ở trên.

Như chúng ta đã biết, hình học theo quan điểm KLEIN là hình học của

các nhóm biến đổi. Vì thế một bài toán cổ điển trong hình học đó là mô tả

các tự đẳng cấu của một lớp đa tạp nào đó. Trong phần cuối của luận án,

dưới góc độ của hình học phức hyperbolic, chúng tôi giải quyết vấn đề thứ

ba của luận án đó là mô tả tường minh các CR-tự đẳng cấu vi phân giải

tích thực của một lớp các siêu mặt thực kiểu vô hạn trong C

2

.

Với tất cả những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án là: "Tính

hyperbolic của không gian phức và nhóm các CR-tự đẳng cấu vi

8

phân". Chúng tôi hy vọng rằng những kết quả đạt được của luận án sẽ

góp phần giúp chúng ta hiểu rõ hơn các đặc trưng hình học của các không

gian phức.

2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là:

Đưa ra điều kiện cần và đủ cho tính hyperbolic modulo và tính taut

modulo một tập con giải tích của miền kiểu Hartogs.

Đưa ra câu trả lời cho giả thuyết về tính Zalcman của không gian phức

C

n

.

Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của các siêu

mặt kiểu vô hạn thông qua không gian vectơ các trường vectơ tiếp xúc

chỉnh hình.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án gồm các không gian phức, miền kiểu

Hartogs, siêu mặt thực nhẵn kiểu vô hạn M trong C

2

.

Phạm vi nghiên cứu của đề tài đó là tính hyperbolic modulo, tính taut

modulo một tập con giải tích của miền kiểu Hartogs; tính Zalcman của

không gian phức; trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình của siêu mặt thực nhẵn

kiểu vô hạn M trong C

2

.

4. Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng các

phương pháp và kỹ thuật truyền thống của Giải tích phức, Hình học

phức,....

5. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài

Luận án đạt được một số kết quả sau: