Không gian đối xứng với sn-mạng σ-hữu hạn địa phương

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

TÔ THỊ NGỌC HUYỀN

KHÔNG GIAN ĐỐI XỨNG VỚI sn-MẠNG

σ-HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2017

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Phản biện 1: Phan Đức Tuấn

Phản biện 2: Hoàng Quang Tuyến

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học họp tại Phân hiệu Kon Tum - Đại học Đà Nẵng vào

ngày 26 tháng 8 năm 2017

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Năm 2002, Y. Ikeda, C. Liu và Y. Tanaka đã đưa ra khái niệm mạng

σ-mạnh và xét các tính chất ảnh thương của không gian metric nhờ mạng

σ-mạnh. Bằng cách sử dụng mạng σ-mạnh, các tác giả đã thu được nhiều

đặc trưng ảnh thương của không gian mêtric (và đã đặt ra các bài toán sau.

Bài toán 1. Nếu X là không gian đối xứng với cs∗

-mạng đếm được,

thì X có mạng σ-mạnh gồm các cs∗

-phủ hữu hạn hay không?

Bài toán 2. Nếu X là không gian đối xứng với cs-mạng σ-hữu hạn

theo điểm, thì X có cs-mạng σ-hữu hạn theo điểm mạnh hay không?

Đến năm 2006, Y. Tanaka và Y. Ge đã giới thiệu khái niệm không gian

g-trải được mạnh như là sự mở rộng của không gian trải được và đã chứng

minh được rằng, mọi không gian g-trải được mạnh là không gian đối xứng

Cauchy ℵ-không gian. Các tác giả nghi ngờ chiều ngược lại của kết quả này

vẫn đúng và đã đặt ra câu hỏi sau.

Bài toán 3. Mỗi không gian đối xứng Cauchy và ℵ-không gian có

là không gian g-trải được mạnh hay không?

Đến nay, L. Q. Tuyển đã đưa ra câu trả lời khẳng định cho Bài toán 1,

Bài toán 2, và Bài toán 3.

Với mong muốn tìm hiểu phép chứng minh cho Bài toán 3, cũng như nhờ

sự định hướng của thầy giáo Lương Quốc Tuyển, chúng tôi đã quyết định

2

chọn đề tài: “Không gian đối xứng với sn-mạng σ-hữu hạn địa phương”

làm đề tài luận văn thạc sỹ.

2. Mục đích nghiên cứu

• Tìm hiểu mối quan hệ giữa cơ sở, cơ sở yếu, sn-mạng và cs-mạng.

• Tìm hiểu một số tính chất của không gian đối xứng, không gian g-trải

được mạnh, ℵ-không gian và mối liên hệ giữa chúng.

• Tìm hiểu phép chứng minh chi tiết cho Bài toán 3.

3. Đối tượng nghiên cứu

Không gian đối xứng với các tính chất mạng, không gian g-trải được

mạnh, ℵ-không gian và mối liên hệ giữa chúng.

4. Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về mối liên hệ giữa cơ sở yếu, sn-mạng, cs-mạng, cũng như

tìm hiểu phép chứng minh chi tiết Bài toán 3.

5. Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình

thực hiện đề tài. Bằng cách thu thập những bài báo liên quan với đề tài

của các tác giả đi trước nhằm hiểu được phép chứng minh chi tiết cho Bài

toán 3.

6. Tổng quan và cấu trúc luận văn

Trong luận văn này, chúng tôi chứng minh chi tiết mối liên hệ giữa cơ

sở, cơ sở yếu, sn-mạng, cs-mạng; Chứng minh một số tính chất của không

3

gian đối xứng với các tính chất mạng; Chứng minh chi tiết cho Bài toán 3.

Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương. Ngoài ra, luận văn có

Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Phần mở đầu, phần Kết luận và Kiến

nghị, Tài liệu tham khảo.

Chương 1, trình bày về các kiến thức cơ bản của topo đại cương nhằm

phục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2.

Chương 2, trình bày về mối quan hệ giữa các mạng, tính chất của

không gian đối xứng, không gian đối xứng Cauchy và lời giải chi tiết cho

Bài toán 3.

4

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức về topo đại

cương, các khái niệm và các tính chất trong chương này được chúng tôi

trình bày và chứng minh chi tiết nhằm hiểu thấu đáo hơn các kiến thức về

topo đại cương, cũng như nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả

chính của chương sau.

Sau đây là những ký hiệu được chúng tôi sử dụng trong toàn bộ

luận văn.

N = {1, 2, . . . }, ω = N ∪ {0}.

1.1. Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử τ là họ gồm các tập con nào đó của tập hợp

X thỏa mãn các điều kiện sau.

(a) ∅, X ∈ τ ;

(b) Nếu {Uα}α∈Λ ⊂ τ , thì S

α∈Λ

Uα ∈ τ ;

(c) Nếu U, V ∈ τ , thì U ∩ V ∈ τ .

Khi đó,

1) τ được gọi là một topo trên X.

2) Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian topo.

3) Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở.

5

4) Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó.

Nhận xét 1.1.2. Từ Định nghĩa 1.1.1 ta suy ra rằng

1) ∅, X là các tập hợp mở;

2) Giao hữu hạn tập hợp mở là một tập hợp mở;

3) Hợp tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp mở.

Định nghĩa 1.1.3. Giả sử τ1, τ2 là các topo trên tập hợp X. Ta nói rằng

τ1 mạnh hơn τ2 hay τ2 yếu hơn τ1 nếu τ2 ⊂ τ1.

Ví dụ 1.1.4. Giả sử X là một tập hợp, τ1 là họ gồm tất cả các tập con

của X và τ2 = {∅, X}. Khi đó,

• τ1, τ2 là các topo trên X.

• τ1 mạnh hơn τ2.

• Trong (X, τ1), mỗi tập con vừa đóng vừa mở.

Lúc này, ta nói rằng τ1 là topo rời rạc và τ2 là topo thô trên X.

Ví dụ 1.1.5. Giả sử (X, d) là một không gian metric và

τ = {A ⊂ X : A là tập con mở trong (X, d)}.

Khi đó, τ là một topo trên X và ta nói rằng τ là topo được sinh bởi

metric d. Đặc biệt, nếu X = R và metric d là khoảng cách thông thường

trên R, nghĩa là

d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ R,

thì ta nói rằng τ là topo thông thường trên R.

6

Định nghĩa 1.1.6. Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ ).

Khi đó, tập con U của X được gọi là một lân cận của A nếu tồn tại V ∈ τ

sao cho

A ⊂ V ⊂ U.

Ngoài ra, nếu U ∈ τ , thì ta nói rằng U là lân cận mở của A. Đặc biệt,

nếu A = {x}, thì ta nói rằng U là lân cận của x.

Nhận xét 1.1.7. Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập hợp

mở, nhưng mỗi tập hợp mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó.

Bổ đề 1.1.8. Giả sử A là tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó,

giao hữu hạn lân cận của A là lân cận của A.

Nhận xét 1.1.9. Giao của một họ tùy ý gồm các lân cận của A có thể

không là một lân cận của A.

Bổ đề 1.1.10. Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là

tương đương.

1) U là tập hợp mở;

2) U là lân cận của mọi điểm thuộc nó;

3) Với mọi x ∈ U, tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx ⊂ U.

1.2. Cơ sở và cơ sở lân cận của không gian topo

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo và B ⊂ τ . Ta

nói rằng B là cơ sở của (X, τ ) (hay là cơ sở của τ ) nếu mỗi phần tử của

τ là hợp nào đó các phần tử của B.