K-lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5-phân lá

1

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự

hướng dẫn của PGS. TS. Lê Anh Vũ. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã

được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả của luận án là

mới và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả

Dương Quang Hòa

2

Mục lục

Trang

Lời cam đoan ....................................................................................................... 1

Mục lục ................................................................................................................ 2

Danh mục các ký hiệu ......................................................................................... 3

MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 5

Chương 1 – K-QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD(5,4)-NHÓM

1.1. Các MD-nhóm và MD-đại số .................................................................. 13

1.2. Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo ......................................................... 19

1.3. Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm ................... 22

Chương 2 – LỚP MD(5,4)-PHÂN LÁ

2.1. Phân lá...................................................................................................... 26

2.2. Tôpô phân lá ........................................................................................... 29

2.3. Phân lá đo được ....................................................................................... 30

2.4. Phân loại tôpô các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhóm ... 31

Chương 3 – K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI CÁC MD(5,4)-PHÂN LÁ

3.1. C*-đại số Connes liên kết với phân lá .................................................... 40

3.2. Phép đặc trưng các C*-đại số bằng phương pháp K-hàm tử................... 50

3.3. K-lý thuyết đối với phân lá ..................................................................... 57

3.4. K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá ............................................... 59

KIẾN NGHỊ VÀ KẾT LUẬN .......................................................................... 78

Danh mục các công trình của tác giả ................................................................ 80

Tài liệu tham khảo ............................................................................................. 81

Phụ lục .............................................................................................................. 85

3

Danh mục các ký hiệu

: Tổng trực tiếp

, 

: Tích tenxơ và tích tenxơ ngoài

■ : Kết thúc một phép chứng minh

Ad : Biểu diễn phụ hợp

ad : Vi phân của biểu diễn phụ hợp

AutG

: Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G

A A G ã

: Tích xiên của

A

và G bởi tác động

 ,

: Trường số phức, trường số thực

C X

: C*-đại số các hàm phức liên tục trên

X

C X 0

: C*-đại số các hàm phức liên tục trên

X

triệt tiêu ở vô cùng

 2 C0



: Đơn vị hoá của C*-đại số

2 C0



C H c

: Không gian các hàm trơn trên H có giá compact, nhận giá trị phức

1/ 2

, C H c

: Không gian các nửa mật độ trên H

C V F ( , )

: C*-đại số Connes liên kết với phân lá

( , ) V F ( , ) C G A c

: Không gian các ánh xạ liên tục có giá compact từ G vào

A

End(G) : Không gian các đồng cấu trên G

exp : Ánh xạ mũ exp

Ext B J ( , )

:

KK

nhóm của Kasparov

G Lie G

: Đại số Lie của nhóm Lie G

4

G* : Không gian đối ngẫu của đại số Lie G

1 GL C S 1

: Tập các ma trận cấp 1 khả nghịch với phần tử thuộc

1 C S 0 1 GL C S 2

:

1

2

exp Mat C S – thành phần liên thông đường của ma trận

đơn vị cấp 2 với phần tử thuộc

1 C S Index A

: (Hệ) bất biến chỉ số của C*-đại số

A

( ) K Ai

:

Ki

nhóm của C*-đại số

A

K

: C*-đại số các toán tử compact trên không gian Hilbert vô hạn

chiều tách được

2 1 2

, L Hx

: Không gian các nửa mật độ trên

Hx

bình phương khả tích

Mat A n

: Tập hợp các ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc A

2 P C S 2

:

2 P M C S 2 – tập các phần tử chiếu (projection) của C*-

đại số các ma trận vuông cấp 2 với phần tử thuộc

2 C S n

S

: Mặt cầu đơn vị n-chiều

TV : Phân thớ tiếp xúc của V

V F,

: Không gian phân lá.

V F/

: Không gian các lá của phân lá

V F,

F

: Quỹ đạo Kirillov qua F

1/ 2

x

x V

: Phân thớ các nửa mật độ trên V

F G

:

| F X X G

: Độ đo hoành (đối với phân lá)

0 1 ,

: Cặp đồng cấu nối trong dãy khớp tuần hoàn 6 thành phần

5

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Xuất phát điểm của vấn đề mà chúng tôi quan tâm là bài toán “Đi tìm lớp

các C*-đại số có khả năng đặc trưng được bằng phương pháp K-hàm tử”.

Năm 1943, I. Gelfand và A. Naimark ([13]) đưa ra khái niệm C*-đại số.

Các C*-đại số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng trong Toán học và Vật lý.

Tuy nhiên chính vấn đề mô tả cấu trúc các C*-đại số trong trường hợp tổng quát

lại rất phức tạp và cho đến nay vẫn còn là một bài toán mở.

Năm 1975, theo một gợi ý của A. A. Kirillov về việc “Đặc trưng (cấu trúc

toàn cục) C*-đại số của một lớp các nhóm Lie giải được bằng các K-hàm tử

đồng điều”, Đ. N. Diệp ([11]) đã thành công trong việc sử dụng các K-hàm tử

đồng điều của Brown-Douglas-Fillmore (còn gọi là K-hàm tử BDF) để đặc trưng

C*-đại số C*(Aff



) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng thực

 . Năm 1976, J. Rosenberg ([18]) đã sử dụng phương pháp tương tự để đặc

trưng C*-đại số C*(Aff



) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng

phức



và C*-đại số của một vài nhóm Lie giải được khác. Trong công trình

này, J. Rosenberg đã gọi phương pháp đặc trưng cấu trúc toàn cục của C*-đại số

bằng các K-hàm tử BDF là phương pháp của Diệp (Diep’s method). Năm 1977,

Đ. N. Diệp ([12]) đã cải tiến phương pháp của mình để đặc trưng các C*-đại số

kiểu I bằng các mở rộng lặp nhiều tầng.

Đến lúc này, các K-hàm tử BDF dường như không còn thích hợp với việc

đặc trưng cấu trúc cho lớp các C*-đại số phức tạp hơn. Từ đó, một cách tự nhiên,

nảy sinh hai vấn đề lớn như sau:

6

Vấn đề 1: Tổng quát hóa các K-hàm tử BDF theo cách nào đó để có

thể đặc trưng được một lớp rộng hơn các C*-đại số.

Vấn đề 2: Đi tìm và khảo sát lớp rộng hơn các C*-đại số hoặc lớp

các nhóm Lie mà C*-đại số của chúng có khả năng đặc trưng được bằng các

K-hàm tử mở rộng.

Năm 1980, G. G. Kasparov ([14]) đã nghiên cứu vấn đề thứ nhất và thành

công trong việc tổng quát hóa các K-hàm tử BDF thành các K-song hàm tử toán

tử (còn gọi là các KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều. Như một áp

dụng đầu tiên, Kasparov đã sử dụng các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-

đại số C*(H3) của nhóm Heisenberg H3.

Đối với hướng nghiên cứu thứ hai, cần lưu ý rằng phương pháp K-hàm tử

thường thích hợp với các C*-đại số có cấu trúc phổ (tức là không gian các lớp

tương đương unita của các biểu diễn bất khả quy với tôpô được cảm sinh từ tôpô

Jacobson) không quá phức tạp. Đối với C*-đại số nhóm, phổ của nó có thể đồng

nhất với đối ngẫu unita của nhóm (tức là không gian các lớp tương đương unita

của các biểu diễn unita bất khả quy của nhóm).

Đặc biệt đối với các nhóm Lie, phương pháp quỹ đạo Kirillov cho thấy

rằng tập đối ngẫu unita của nhóm có liên hệ trực tiếp với không gian các K-quỹ

đạo (hay quỹ đạo đối phụ hợp) của nó. Do đó, việc chọn lớp các nhóm Lie có

không gian các K-quỹ đạo không quá phức tạp cho phép ta đặc trưng các C*-đại

số nhóm của chúng bằng phương pháp K-hàm tử.

Dựa trên ý tưởng đó, năm 1980, Đ. N. Diệp đã đề nghị xét lớp các C*-đại

số của các MD-nhóm. Lớp này rất đơn giản về phương diện phân tầng các K-quỹ

đạo nên nói chung C*-đại số của chúng có thể đặc trưng được nhờ các KK-hàm

tử.

7

Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được n chiều (n là một số nguyên

dương). G được gọi là một MDn-nhóm nếu các K-quỹ đạo của nó hoặc là không

chiều hoặc có chiều là một hằng số k (chẵn) nào đó không vượt quá n. Khi

k n

thì G còn được gọi là một

MDn -nhóm. Đại số Lie(G) của mỗi MDn-nhóm (tương

ứng

MDn -nhóm) được gọi là một MDn-đại số (tương ứng

MDn -đại số). Rõ ràng

lớp

MD

là con của lớp MD. Đến đây, một bài toán lớn được đặt ra là: “Phân loại

các MD-đại số đồng thời đặc trưng C*-đại số của các MD-nhóm tương ứng

bằng phương pháp K-hàm tử”.

Năm 1984, H. H. Việt ([35]) đã phân loại triệt để các

MDn -đại số. Lớp

này chỉ gồm các đại số Lie giao hoán

n



, đại số Lie affine thực Lie(Aff



) và

đại số Lie affine phức Lie(Aff



). Ngay sau đó, H. H. Việt đã dùng phương pháp

K-hàm tử để đặc trưng C*

Aff  

của phủ phổ dụng

Aff  

đối với nhóm affine

phức Aff



. Như vậy, cùng với các kết quả có trước của Đ. N. Diệp và J.

Rosenberg, việc nghiên cứu lớp con các

MD-đại số và

MD-nhóm xem như đã

được giải quyết triệt để. Bài toán tương tự đối với các MD-đại số và MD-nhóm

vẫn còn là bài toán mở.

Ngoài ra, cũng do sự phân tầng đơn giản của các K-quỹ đạo đối với lớp

các MD-nhóm mà người ta nhận thấy rằng: đối với mỗi MD-nhóm, họ các K-quỹ

đạo chiều cực đại của nó tạo thành một phân lá đo được theo nghĩa của A.

Connes ([8]). Các phân lá này được gọi là các MD-phân lá liên kết với các MD￾nhóm đã xét.

Đối với một phân lá

V F,

tùy ý, một trong những bài toán quan trọng

của “tôpô phân lá” là nghiên cứu không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá)

của phân lá đó. Tuy nhiên, đáng tiếc là không gian các lá

V

F

thường có tôpô

8

không Hausdorff, do đó ta không thể định nghĩa được K-lý thuyết đối với không

gian các lá (theo nghĩa thông thường). Đây là một trở ngại lớn trong nghiên cứu

tôpô phân lá. Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, A. Connes ([8]) đã đề ra ý

tưởng là thay

0 C V

F

bởi

*

C V F, , mà từ đó Connes định nghĩa:

*

, , 0,1 . i

i K K C V F i V

F

Như vậy, để nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá

(hay vắn tắt là K-lý thuyết đối với phân lá), ta cần phải tìm hiểu cấu trúc của C*-

đại số Connes

*

C V F,

liên kết với phân lá (hay vắn tắt là C*-đại số của phân

lá). Kể từ công trình [8] của A. Connes, việc nghiên cứu C*-đại số của phân lá

và K-lý thuyết đối với phân lá trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan

trọng thuộc lĩnh vực Hình học không giao hoán do chính A. Connes khởi xướng

vào cuối thập niên 70 của thế kỷ trước.

Vấn đề đặt ra là: “Liệu C*-đại số của các phân lá có thích hợp với phương

pháp K-hàm tử hay không?”. Đáng chú ý, năm 1985, A. M. Torpe ([22]) đã dùng

các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-đại số của phân lá Reeb trên xuyến 2

chiều và một số phân lá trên mặt cầu đơn vị S

3

.

Kết hợp hai hướng nghiên cứu trên làm nảy sinh bài toán “Nghiên cứu K-lý

thuyết đối với không gian lá của các MD-phân lá, đồng thời đặc trưng C*-đại số

của các MD-phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử”. Năm 1990, L. A. Vũ ([2])

đã thành công trong việc nghiên cứu bài toán trên lớp con các MD4-phân lá.

Những kết quả ban đầu đạt được trên lớp MD-phân lá đã tạo nên những

động lực cần thiết cho việc tiếp tục nghiên cứu sâu hơn. Trường hợp khả dĩ đầu

tiên mà chúng tôi nghĩ đến là tiếp tục bài toán với số chiều cao hơn, để từ đó làm

9

cơ sở cho việc phát triển các công cụ cần thiết nhằm giải quyết bài toán trong

trường hợp tổng quát.

Ý tưởng đó đã dẫn đến đề tài “K-lý thuyết đối với không gian lá của một

lớp các MD5-phân lá” của tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Anh Vũ.

2. Mục đích của đề tài

Mục đích chính của đề tài là “Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian

lá của một lớp các MD5-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực

đại của một lớp con các MD5-nhóm, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các

phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử”. Cụ thể như sau:

1. Trên cơ sở định lí phân loại các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán

của L. A. Vũ và K. P. Shum, chúng tôi mô tả K-quỹ đạo của lớp con các

MD(5,4)-nhóm, tức là các MD5-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân

mà MD5-đại số tương ứng của chúng có ideal dẫn xuất (giao hoán) 4

chiều.

2. Phân loại tôpô trên các MD(5,4)-phân lá tương ứng, tức là các MD-phân

lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của mỗi MD(5,4)-

nhóm được xét.

3. Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá và

đặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu một lớp con của các MD5-phân lá

được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm tương

ứng. Cụ thể, chúng tôi xét bài toán mô tả các K-quỹ đạo của mỗi MD(5,4)-nhóm

liên thông, đơn liên, bất khả phân.

10

Tiếp theo, chúng tôi xem xét các MD(5,4)-phân lá liên kết với các

MD(5,4)-nhóm được xét.

Cuối cùng, chúng tôi xét C*-đại số Connes liên kết với phân lá và khảo sát

bài toán đặc trưng C*-đại số của các MD(5,4)-phân lá bằng phương pháp K-hàm

tử.

4. Phương pháp nghiên cứu

Để nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã áp dụng một số kỹ thuật và phương

pháp như sau:

 Trước hết, chúng tôi đã dùng một số kỹ thuật cơ bản trong phương

pháp quỹ đạo của Kirillov ([15]), đặc biệt là phương pháp mô tả các K￾quỹ đạo đã được L. A. Vũ ([2]) cải tiến cho phù hợp với lớp MD-nhóm.

 Tiếp theo, chúng tôi dùng một số kỹ thuật của lý thuyết tôpô phân lá.

 Cuối cùng, chúng tôi đã sử dụng các kỹ thuật cơ bản của K-lý thuyết

đối với C*-đại số, đặc biệt là phương pháp đặc trưng C*-đại số của phân

lá bằng các KK-hàm tử đã được nêu ra trong tài liệu [22] của A. M. Torpe

và tài liệu [2] của L. A. Vũ với một vài cải tiến cho thích hợp.

5. Ý nghĩa khoa học của đề tài

Đề tài góp phần chỉ ra lớp các C*-đại số thích hợp với phương pháp K￾hàm tử (Vấn đề 2), đó chính là lớp các C*-đại số Connes liên kết với các MD￾phân lá. Ngoài ra, các kết quả của đề tài còn là những đóng góp cho những thể

hiện, minh họa của Hình học không giao hoán nói chung, của hướng nghiên cứu

K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá nói riêng trên một lớp các phân lá

cụ thể. Vì thế, các kết quả của đề tài là có ý nghĩa khoa học.