Không gian sn-đối xứng với cs-mạng đếm được

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

ĐINH THỊ PHƯỢNG

KHÔNG GIAN sn-ĐỐI XỨNG

VỚI cs-MẠNG ĐẾM ĐƯỢC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 84.60.102

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2018

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Phản biện 1:

.................................................

Phản biện 2:

.................................................

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày

17 tháng 06 năm 2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Khái niệm cơ sở chính quy đã được P.S. Alexandroff đưa ra vào những

năm 1960. Năm 1962, A.V Arhangel’skii đã chứng minh rằng một không

gian X là ảnh compact mở của một không gian mêtric khi và chỉ khi X có

cơ sở chính quy theo điểm. Sau đó, S. Lin đã đưa ra khái niệm ánh xạ 1-phủ

dãy vào những năm 1996.

Trong [4], Shou Lin đã chứng minh một kết quả trên T1-không gian

chính quy rằng, không gian X có mạng σ-mạnh gồm các cs∗

-phủ đếm được

khi và chỉ khi X có mạng σ-mạnh gồm cs-phủ hữu hạn, khi và chỉ khi X

là không gian đối xứng có cơ sở yếu đếm được. Nhưng tác giả nghi ngờ

rằng kết quả trên vẫn đúng cho trường hợp X là T2-không gian. Bởi thế,

Shou Lin đã đặt ra bài toán mở sau.

Bài toán 1 ([2], Question 3.2.12). Nếu X là một T2-không gian đối xứng

với cơ sở yếu đếm được, thì X có mạng σ-mạnh gồm các cs∗

-phủ hữu

hạn hay không?

Đến năm 2004, Y. Ge và J. S. Gu đã chứng minh được rằng nếu X là

T1-không gian chính quy với sn-mạng đếm được, thì X có mạng σ-mạnh

gồm các cs-phủ hữu hạn. Ngoài ra, các tác giả đã đưa ra ví dụ chứng tỏ

rằng kết quả trên không đúng trên T2-không gian và đã đặt ra bài toán mở

sau.

Bài toán 2 ([1], Question 3.2). Nếu X là không gian sn-đối xứng với

2

sn-mạng đếm được, thì X có mạng σ-mạnh gồm các cs∗

-phủ hữu hạn

hay không?

Hai bài toán trên đã được Trần Văn Ân và Lương Quốc Tuyển đưa ra

câu trả lời khẳng định trong [2]. Ngoài ra, trong [5], Lương Quốc Tuyển đã

đặt ra bài toán mở sau, và bài toán này đến nay vẫn còn mở.

Bài toán 3 ([5], Question 2.8). Nếu X là không gian đối xứng với sn￾mạng đếm được, thì X có mạng σ-mạnh gồm các cfp-phủ hữu hạn hay

không?

Với mong muốn tìm hiểu phép chứng minh chi tiết cho lời giải các bài

toán trên, cùng với sự định hướng của thầy giáo Lương Quốc Tuyển, chúng

tôi đã quyết định chọn đề tài: “Không gian sn-đối xứng với sn-mạng đếm

được” làm đề tài luận văn thạc sỹ.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm tìm hiểu và làm rõ các vấn đề sau:

(1) Định nghĩa và các tính chất của mạng, cs-mạng, sn-mạng, cơ sở yếu

và mạng σ-mạnh.

(2) Định nghĩa và các tính chất của không gian sn-đốixứng, sn-đối xứng

Cauchy.

(3) Mối quan hệ giữa các tính chất mạng trên không gian tôpô.

(4) Lời giải chi tiết cho Bài toán 1 và Bài toán 2.

3. Đối tượng nghiên cứu

Các kết quả liên quan đến không gian với sn-mạng đếm được, mạng

σ-mạnh gồm các tính chất phủ, sn-mạng đếm được địa phương, lời giải chi

tiết cho Bài toán 1 và Bài toán 2, quan tâm đến Bài toán 3.

4. Phạm vi nghiên cứu

3

Nghiên cứu các kết quả liên quan đến không gian với sn-mạng đếm

được, mạng σ-mạnh gồm các tính chất phủ, sn-mạng đếm được địa phương,

lời giải chi tiết cho Bài toán 1 và Bài toán 2, quan tâm đến Bài toán 3.

5. Phương pháp nghiên cứu

- Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức.

- Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứu liên quan

đến “Không gian sn-đối xứng với cs-mạng đếm được”.

- Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.

- Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như tài liệu tham

khảo dành cho những ai đang quan tâm nghiên cứu về các lớp không gian

sn-đối xứng.

7. Cấu trúc của luận văn

Luận văn sẽ được trình bày trong 2 chương.

• Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi

trình bày những kiến thức cơ bản về không gian tôpô, tập mở, tập

đóng, . . .

• Chương 2: Không gian sn- đối xứng với cs-mạng đếm được. Chương

này trình bày các kết quả liên quan đến không gian với sn-mạng đếm

được, mạng σ-mạnh gồm các tính chất phủ, sn-mạng đếm được địa

phương, lời giải chi tiết cho Bài toán 1 và Bài toán 2, quan tâm đến

Bài toán 3.

4

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Chương này trình bày về những kiến thức cơ bản cần thiết cho các

phần sau như: không gian topo, tập mở, tập đóng,. . . Trong toàn bộ luận

văn này chúng tôi quy ước N = {1, 2, 3, . . . } , ω = N ∪ {0} .

1.1 Không gian mêtric

A. Không gian mêtric và sự hội tụ trong không gian mêtric

Định nghĩa 1.1.1. Không gian mêtric là một cặp (X, d), trong đó X là

một tập hợp khác rỗng, d : X ×X → R là một hàm xác định trên X ×X

thoả mãn ba tiên đề sau:

(1) d(x, y) > 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇔ x = y.

(2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X.

(3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X.

Khi đó:

• Hàm d được gọi là một mêtric trên tập X.

• Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của không gian X.

• d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y.

5

Chú ý 1.1.2. Trên một tập hợp khác rỗng có thể có nhiều mêtric khác

nhau. Do đó, nó sinh ra các không gian mêtric khác nhau.

Định nghĩa 1.1.3. Giả sử (X, d) là một không gian mêtric, Y ⊂ X. Khi

đó, hàm số dY = dY ×Y là một mêtric trên tập hợp Y. Không gian mêtric

(Y, dY ) được gọi là không gian con của không gian mêtric (X, d), dY được

gọi là mêtric cảm sinh bởi mêtric d trên Y.

Định nghĩa 1.1.4. Ta nói dãy {xn} những phần tử của không gian mêtric

(X, d) hội tụ đến phần tử x0 ∈ X nếu:

d(xn, x0)

n→∞

−−−→ 0



hay lim

n→∞

d(xn, x0) = 0

.

Khi đó, ta viết: lim

n→∞

xn = x0, hoặc xn → x0. Ta nói {xn} là dãy hội tụ và

gọi x0 là điểm giới hạn của dãy {xn}.

Bổ đề 1.1.5. Giả sử (X, d) là không gian mêtric, {xn} , {yn} ⊂ X và

a, b, x0 ∈ X. Khi đó, ta có

(1) Nếu xn → x0, thì x0 là duy nhất.

(2) Nếu xn → a và yn → b, thì d(xn, yn) → d(a, b).

B. Tập hợp mở và phần trong của một tập hợp

Định nghĩa 1.1.6. Giả sử (X, d) là một không gian mêtric, x0 ∈ X và

r là một số dương. Khi đó,

(1) Tập hợp

S(x0, r) = {x ∈ X|d(x, x0) < r}

được gọi là hình cầu mở tâm x0, bán kính r.

(2) Tập hợp

S [x0, r] = {x ∈ X|d(x, x0) 6 r}

6

được gọi là hình cầu đóng tâm x0, bán kính r.

Định nghĩa 1.1.7. Giả sử A là một tập con của không gian mêtric (X, d).

Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại r > 0

sao cho S(x0, a) ⊂ A.

Định nghĩa 1.1.8. Giả sử (X, d) là một không gian metric, tập hợp

E ⊂ X được gọi là tập mở nếu mọi điểm của A đều là điểm trong của nó.

Nhận xét 1.1.9. Cho (X, d) là không gian mêtric. Khi đó,

(1) Tập X và tập ∅ đều là những tập mở trong (X, d).

(2) Mỗi hình cầu mở là tập mở trong (X, d).

Định lý 1.1.10. Giả sử (X, d) là không gian mêtric. Khi đó,

(1) Hợp của một họ tuỳ ý những tập mở là một tập mở.

(2) Giao của một số hữu hạn những tập mở là một tập mở.

Nhận xét 1.1.11. Giao tuỳ ý các tập hợp mở có thể không là tập hợp

mở.

Định nghĩa 1.1.12. Cho (X, d) là một không gian mêtric, x ∈ (X, d),

và U ⊂ X. Khi đó, U được gọi là lân cận của x nếu x là điểm trong của

U, nghĩa là tồn tại r > 0 sao cho S(x0, r) ⊂ U. Ngoài ra U được gọi là

một lân cận mở của x nếu U là lân cận của x và U là tập hợp mở.

Nhận xét 1.1.13. Cho (X, d) là không gian mêtric, U ⊂ X. Khi đó,

U mở ⇔ x là điểm trong của U với mọi x ∈ U

⇔ tồn tại rx > 0 sao cho S(x, rx) ⊂ U với mọi x ∈ U

⇔ tồn tại lân cận Ux sao cho x ∈ Ux ⊂ U. với mọi x ∈ U.

Định nghĩa 1.1.14. Tập tất cả các điểm trong của tập A được gọi là

phần trong của A và kí hiệu là: IntA hoặc

o

A.