Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế (Phần 1: Đại số tuyến tính)

Ì5NG ĐẠI HỌC KINH TỂ QUỐC DÂN

B Ộ M Ô N T O A N C ơ B A N

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP■

T O Á N C Ạ O C Ấ P

CHO CÁC NHÀ KINH TÊ

(Phần i: Đại sô tuyên tính)

NHÀ XUẤT BẢN ĐAI HỌC KINH TỂ QUỐC DÂN

LỜI NÓI ĐẤU

Tiếp theo cuốn bài tẠp-“Tođn cao eấp cho các nhã kinh tế*, do

Nhà xuất bản Thđng ke án hành nSm 200S, lẩn này chúng tôi cho biên

soạn cuốn “Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế”.

Mục đích cùa cuốn sách nhảm giúp cho sinh viên có thể tự bọc tốt

môn học, hoặc dùng để ôn lập thi hết bọc phẩn, thi tuyến sinh dáu vào

Sau đại học.

Kết CẨU cuốn sách gổm hại phẩn chính tương úng vói nội dung của

giáo trình lý thuyết v& cuốn bài tập. Trong mỏi bài học, chúng tôi tóm

tắt lại các khái niệm và kết quả cơ bản cùng các ví dụ miu. Hướng dán

phương pháp giải các loại bài tập cụ tbé, cuối cùng là các bài tập và

đáp số hoặc gợi ý để các bạn tự rèn luyện.

Hy vọng cuốn sách sẽ giúp các bạn tự học và ôn tạp tót môn học

'Toán cao cấp cho các nhà kinh tế”.

Lần đẩu biẽn soạn, cuốn sách khổng tránh k h a thiếu sót, rát mong

nhân được sự góp ý của bạn dọc và đổng nghiệp aể lẩn xuỉt bản sau

được hoàn thiện hơn.

Mọi ý kiến góp ỷ xin gửi vé: Bộ môn Toán cơ bản, Khoa Toán

Kinh tế, Trường Đại học Kinh tỄ Quốc dân.

ĐT/Fax: (04) 6283007.

Email: [email protected]

Xin chân thành cảm ơn!

Trường Bộ môn Toán Ca bản, ĐH KTQD.

NGUYỄN HUY HOÀNG

Phấn 1

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Tái bản lần thứ 3

(C ó sửa chữa bổ sung)

C h u ơ n g 1

K H Ô N G GIAN VECTƠ

§1. H ệ phương trình tuyến tính tổng quát

A. Tóm tá t lý thuyết và các ví dụ m ẫu

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát gồm m phương trình và n ẩn:

a„x, + al2x2 + — + aInx„ = b,

a 2lx, + au x 2 + - + a2nxn = b2

a„,x, + am2x2 + - + a „ x , = bm

Hệ tam giác:

an x, + a,jX2 + — + alnx„ = b,

a22x2 + + a2nxD = bj

annxo = bn

ơđó, * 0 và ajj = 0 với i> j.

Hệ dạng tam giác có nghiệm duy nhất.

Cách giải: Từ phương trình cuối cùng giải được ẩn x„, thay ngược

lên các phương trình ưên tìm các ẩn còn lại, nghiệm của hệ phưcmg

trình là duy nhất.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

|

2 x ,+ x j- X, =5

X j + 3 X j = 7

5x, =2

Giải. Lần luợt tìm giấ tĩị của ẩn x ,,x 2,x,. Hẹ phuơng trình đă cho có

nghiẹm duy nhít:

Hệ Müh thang:

aMx, + a,jX2 + - + a ^ x , + - + alax„ = b,

a H x 2 + - + a 2« x . + + a 2 . \ , =

ở đó, ai 5tO,Vi = l,2,...,m ;m <n và aÿ =0 với i> j.

Cách giải:

+ Chọn là các ẩn chính (sổ ẩn chíoh báng sổ phnơng

trình); là ẩn tự do.

+ Chuyển các ẩn tự do sang VẾ phải và gán cho chiỉog nhũng giá

a ị tnỳ ý:

Khi dó, la thu đuợc hẹ mới có dạng tam giác với các ẩn chinh, giải

hệ này ta đuợc:

vạy ta cố nghiệm cùa hệ phương trình dã cho có dạng:

(O p « i.....

Vì các giá trị m ì ta gán cho các ẩn tự do là tuỳ ỷ nên bệ hình

thang có vở số nghiệm .

Ví dụ 2: Giải hệ phuơng trình:

+ a^x, b.

x»*l ~ a B»l> xm»2 - x« - CT|

2x, + 3 x 2 - X, + x 4 = 5

Xj - X, -2x„ = -2

2 x , - X, = 3

Giải: Chọn x,,x2,x, là các ẩn chính; x4 là ẩn cự do, x4 * a, a e R.

Hệ phutmg trình ds cho tương dưong:

Ì

2 x , + 3 x j ’ - X, = 5 - a

Kj - X , = - 2 + 2 a

X, = 3 + a

= -8 a + 8 X, = - 8 ( a - l)

Xj = ị ( a + 3) + 2 a - 2 o ■ x2 = ị ( 5 a - l )

* j = ỉ ( a + 3) [x, = i ( a + !)

Nghiệm tổng quát: ( ^ ( a - l ^ ị ^ a - l ^ ^ a + l),«*).

Phương pháp khử ẩn liỀn tiếp

Các phép biến dổi tuong đương dổi với hẹ phương trình tuyến tính:

• Đổi chỗ hai phuơng trình trong hệ cho nhau;

• Nhan hai vế của một phuong trình ưong hẹ với một số khác

khổng;

• Cộng v&o hai vế của một phuơng trinh hai vé tương úng của

một phương trinh khỉc sau khi dã nhãn với một số.

Bây giờ chung tôi Ún giới thiệu phương pháp khử ẩn liên tiếp

Gauss dể giải hệ phuơng trình tuyến tính tổng quát

Nội đủng:

Chuyển hộ phương trình tuyến tính tổng quát vổ hệ tam giác hoặc

hệ hình thang, bằng các phép biến dổi tuơng dương dối với hệ phutmg

trình tuyến tính.

Chú ý:

Để giải hệ phương trình tuyến tính ta thường biên đổi ữên ma trận

mờ rộng tương ứng của hệ phương ưình đó.

Cách giải: Tương ứng với hệ phương ưình tuyến tính tổng quát ta có

ma trận mờ rông và khổng mất tính tổng quát giả sử a,, * 0.

Bước 1: Khử ẩn X, bàng cách lấy dòng một nhân với và cộng

®II

vào dòng i, i = 2,3,...,m.

a!2 ■•• »1. b ,' '»II _ ■ a,n

A = *22 ••• a2„ b2 ->

0 »'» • a'í„ t>;

*aml a»2 • • a^, o

a«i

Bước 2: Khử ẩn Xj (giả sử a'^ * 0) bằng cách lấy dòng hai nhân với

â* - — rồi công vào dòng i, i = 3,4,...,m.

ȇ

Cứ tiếp tục quá trình ưên ta đưa được hê phương ưìiih đã cho vé hệ

tam giác hoặc hẹ hình thang.

Trong quá trình sừ dụng các phép biến đổi tưong đương nếu thấy

trong hẹ phương trình xuất hiện phương trình dạng:

• 0x, + 0x2 +... + 0xn = b * 0 thì kết luận hẹ phương trình đã

cho vô nghiệm;

• 0x, + Ox, +... + 0xn = 0 thì có thể bỏ phưcmg trình này.

Ví dụ 3: Giải hệ phuơng trình:

X + 2 y - 3z = 1

2 x - 3 y + z = 2

3 x - y - 2 z = 4

'1. 2 3 r '\ 2 -3 f '1 2 -3 r

2 -3 1 2 -¥ 0 -7 7 0 -> 0 -7 7 0

,3 -1 - 2 4J ,0 -7 7 K ,0 0 0 K

Hệ phương trình ưẻn tương đương với hệ phương trình:

X + 2y - 3z = 1

- l y + 72 = 0

Oz = 1

Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Vi dụ 4\ Giải hệ phương trình:

I

X + y + z = 6

2x + y - z = 1

3x - y + 2 = 4

Giải:

' 1 1 1 6 ' ' 1 1 1 6 ^ ' 1 1 1 6 '

2 1 - 1 1 —> 0

1

1ũ»

1

-» 0 -1 - 1 -11

,3 - ! 1 4 0 - 4 - 2 -14 0 0 10 30

Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau:

x + y + z = 6 X = 1

- y - 3z = -1 1 o • y = 2

10z = 3 0 [z = 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhát (1,2,3).

Vi dụ 5: Giải hệ phương trình:

-4x, - Xj + lOx, - 5x, = 0

X, + 2x, - 2x, + X, = 0

- 2 x , + 3X j + 7 x , - 2 x 4 = 0

Giải:

'-4 -1 10 -5 ' ' 1 2 -2 1 '

1 2 -2 1 —►-4 -1 10 -5

,-2 3 7 -2, ,-2 3 7 -2 ,

1 2 -2 1 " 1 2 -2 1 1

-♦ 0 7 2 -1 —* 0 7 2 -1

.0 7 3 0 , ,0 0 I '

Hẹ phuong trình đ a cho tuong đương với hệ phương trình sau:

X, + 2X j - 2Xj + X, = 0

7 X j + 2 x , - * 4 = 0

Xj + x4 = 0

Chọn x ,,x,,x, làcácẩncMnh; x.làấntựdo.gánchox,, =a, VaeR.

Hệ phuong trình bện tương đương với hệ phương trình sau:

ix , + X , - 2 k , = - a X, = - a - 2a - - ậ a X, « - f a

7 x , + 2 x , = a O ' K2 = | a <=> *2 *= - f a

[ *» ậ -« X, = - a * - a

( 27 3 ^ Vậy nghiệm cùa bệ phuoDg trình là. I - — 0 , - 0 , - a , a l , o e E .

Chú ý: Mọi hệ phaong trình tuyến tính thuán nhất cỗ sỗ phuong trình

ít hơn sổ ẩn đểu có vô stf nghiệm (có nghiệm không tầm tliuùDg).

B. BỒI tập

IểĐỂb&l

Giải các bệ pbuơng trình tuyến tính sau bằng phương pháp kbử ẩn

liên úếp Gaus«:

2x+ 3 y * 5

3 x - y — 9

* +2y=4

X - 2 v * 3

2 x - y = 1

3 x -3 y =5

3.

5.

7.

9.

l l ể

13.

15.

8x - y =10 X + y + z =6

1 0 * -9 * =19 4. 2 x + y -z = 1

1

9

II

00

J x - y + z =4

X -6 y + 8 z = 0 * + 2 y -3 z = 1

3 x -4 y + 5 z =18 6. 2 * -3 y + z =2

2 * + 4 y -3 z =26 3 x - y -2 z =4

2 x -3 y + 2z = 1 X -2 y + 3z =0

J x - 5 y - 4 z =2 8. 2 x + 3 y -3 z =0

3 x -4 y + 1 0 z =1 4 x -3 y + 5z =0

2x+ y -3 * =0

3x+2y+ z = 0

4x + 3y+5z = 0

10.

X - y - z = -2

2x +3y + 2z = 1

3x - 5 y - 4 z = -8

-2x + 2y + 3z = 4

X + y + z = 3 X, +X, = 4

X +2y+3z « 2

12.

2x3 + X, = 1 i

2x+ 3y+ 2z = 0 3 x ,+ x ' =22

3x+ y +2z =4 4x, + X, =29

x ,+ k , + x, = 6 x,+x,-x,+x. =-2

x , + x ,+ x 4 =9

X, + x4 + X| =8

14.

X,-X ,-X, J-X, = 0

X,+Xj+X,-X4 = 2

x4 + x, +Kj =7 X, -Xj +x, -X, = 4

X, - 2x, + 3xj - X, =2

2x, + X, - X, +3x4 » 1

4x, - 3 *j + SXj + x 4 =3

16.

X, - 4 x ¡ + 6 x , - 4 Xj = - 1 0

-2x,+3x, - 4 x, + 5x 4 = 7

3x, + 2 X j - 5 \ , - 3 Xj = 7

17.

19.

X, - 2 x 2 + 3 X j - 4 x 4 = 1

2 x , - 3 x , + 4 x , - x 4 = 2

3 x , - 5 x 2 + 7 x , - 5 x 4 = 3

4 x ,- 6 x 2 + 8 x ,- 2 x 4 =4

X, +3x2 -3 x , - 2x< = 0

X, - 3 X j + 2 X j - 3 x 4 = 0

2x, +3x2 - Xj - 5x4 = 0

4 x , - 3 x 2 - 2 x 3 - 1 0 x 4 = 0

18.

20.

X, + 2 x 2 + 3 x , + 4 x4 = 0

2x, +3Xj +4x3 + x4 =0

3x, + 4 X j + X , + 2 x 4 = 0

4 x , + Xj + 2 x j + 3 x 4 = 0

X, - Xj + 2x, -3 x 4 =0

2x, - 3 x j - X, + x 4 = 0

- X , + 2 x 2 + 3 x , - 4 x 4 = 0

3x, - 4 x 2 + X, - 2 x „ = 0

II. Đáp số

I. (x = -2, y = 3). 2. Vô nghiộm. 3. (x = 1, y = -2, z = -1).

4. (x = 1, y = 2, z = 3). 5. (x = 8, y = 4, X = 2). 6. Vô nghiệm.

7. (x = -2 2 cc-l, y = - 1 4 a - l , z = a ). 8. (x = 0, y = 0, z = 0).

9. (x = 7 a , y = - l l a , z = a ) . 10. (x = - l , y = l, z = 0).

I I . Vô nghiệm. 12. (x, =1, x2 =3, Xj =5, x4 =7).

13. (x, = 1, Xj = 2, Xj = 3, x4 = 4).

14. (x, =1, x2 =-1, X, =2 + a, x4 = a). 15. Vô nghiệm.

16. (x, =2a, x2 = a +1, X, = a -1, x4 = a ).

17. (x, = l + a - 1 0 p , Xj = 2 a - 7 p , X, = a , x4 = (3).

18. (x, =Xj = x , = x 4 =0). 19.(x, =13a, x2 =0, X, = a , x4 =5a).

20. (x, = - 7 a + ìop, Xj = -5 a + 7ị3, X, = a , x4 =p).

A. Tóm tát lý thuyết và các ví dụ mãu

Định nghĩa:

+ Phép cộng hai véc tơ cùng chiểu:

X = (x „ x 2,...,x„);

Y = (y „y 2.....y„).

=> X + Y = (x, + y„Xj + y2,...,x„ + y„ ).

+ Phép nhân một số với véc tơ:

X = (x ,,x ,.....x„), a € R.

s a x = (ax,,axj.... ax„).

+ Véc tơ không:

0. = (0,0,—,0)

n

+ Véc tơ đối:

Cho véc tơ X = (x ,,x 2,...,x„), ta có -X = (-x l,- x J,...,-x„).

là véc tơ đối của véc tơ X.

Tính chát:

Với X, Y, z e R’ ; a , p 6 R, ta có các tính chất sau:

* X + Y = Y + X;

* (X + Y) + Z = X + (Y + Z);

« X + 0„=X;

. X + (-X ) = 0„;

* 1.x =X;

* a(X + Y )-a X + a Y ;

* (a + 0)X = aX + ßY;

* (a ß )x = a (p x ) = ß (ax).

Ví dụ 1 : Xác dịnh véc tơ X biết

a. X = 2X, -X ,;

b. 3X - 2X, + Xj = Oj.

Giải:

-x--BA-ĩ)

v ty; X . 2 X . - X , w-i)

b. 3X - 2X, + X, = 0 o 3X =2X, - X j

Khống gian con

Đính nghĩa: Một tập hợp khổng rống L c RỆ duợc gọi là không gian

con của khống gian R° nếu nó thoả mãn:

i. L đóng kín đối với phép cộng các véc tơ (V X,Y eL thì

X + Y eL);

ii.L dóng kúi đổi với phép nhân véc tơ với sđ (V X eL ,V o eE

thì aX € L).

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: L, = {X = (xÉ,Xj):Xj =oỊ !à khôog gian

con cùa khổng gian R 2.

Giải:

Hiển nhiên L, * 0 vỉ 0j e L,.

Ltfy X=(x,,Jtj),Y=(y„yj) bất kì 6 L, nen 3«j= (\y,= 0i> xi+ yi= 0

=>X +Y =(x, + y ,,X j+ y ,)e L l. Mặt khác, V X = (x„xI) c L „ a e E

=>€LX=(otx1)axJ)e L | vì 0tXj =0.

Vậy theo định nghĩa L, là khổng gian con của kbổng gian RJ.

Ví dụ 3: Tập véc ta sau dây có phải là không gian con của khổng gian

véc tơ R 3 khổng?

L = | x = ( x 1, X j , X j ) e R ’ : X, + X j + x , = l | c R 5

Oiải: Hiển nhiên L * 0 vì X = (l,0 ,0 )e L .

Lấy X = (x ,,x „ x 3),Y = (y,,y2,y5) b ắ tk ìc L tức là: x ,+ x ,+ * ,= l,

y i+ y j + y} = 1 =>X + Y = (x, + y „ x 2+ y j,x ,+ y ,), ta có:

(x1+ y1)+ (x J + yJ)+ (x , + yJ) = (x1+x2 + x ,)+ (y ,+ y J + y ,)= 2 5íl.

=»X + Y&L.

Vây theo định nghía thì L khổng là khống gian con của không gian R3.