Hình học giải tích: Hình cầu

CHUYEÂN ÑEÀ 10: HÌNH CAÀU

TOÙM TAÉT COÂNG THÖÙC

(1) Phöông trình maët caàu

1) Phöông trình maët caàu (S) coù taâm I(a, b, c) baùn kính R laø

(x – a)2

+ (y – b)2

+ (z – c)2

= R2

2) Daïng toång quaùt cuûa phöông trình maët caàu laø

x

2

+ y2

+ z2

– 2ax – 2by – 2cz + d = 0

seõ coù taâm I(a, b, c) baùn kính R = 2 22 abcd + + − neáu ta coù ñieàu kieän

a2

+ b2

+ c2

– d > 0

3) Ñieàu kieän tieáp xuùc giöõa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S) coù taâm I baùn kính R laø khoaûng

caùch töø I ñeán (P) baèng baùn kính R.

Ví duï 1:

Laäp phöông trình maët caàu coù taâm I(2, 3, –1) caét ñöôøng thaúng (d)

5 4 3 20

3 4 80

xyz

x yz

⎧ − ++ = ⎨

⎩ − +−=

0

taïi hai ñieåm A vaø B sao cho AB = 16

Giaûi

Goïi (P) laø maët phaúng qua I vaø vuoâng goùc ñöôøng thaúng (d). Ta coù phöông trình tham soá ñöôøng

(d) laø

14

1 2

2 2

x t

y t

z t

⎧ = −

⎪

⎪

⎨ = −

⎪

⎪ = − ⎩

5

Goïi (P) laø maët phaúng qua I(2, 3, –1) vaø vuoâng goùc ñöôøng thaúng (d) neân coù phaùp vectô laø a

G

=

1 1, , 1 2

⎛

⎜ − ⎝ ⎠

⎞

⎟ . Vaäy phöông trình (P) vieát

(x – 2) + 1

2

(y – 3) - (z + 1) = 0 ⇔ 2x + y – 2z – 9 = 0

Giao ñieåm K giöõa (d) vaø (P) coù toïa ñoä ( t – 14, 1

2

t –

25

2 , –t )

thoûa phöông trình (P). Vaäy ta coù

1