Hệ số của đa thức chia đường tròn nhị phân và tam phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

————————————

BÙI THỊ LINH

HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG

TRÒN NHỊ PHÂN VÀ TAM PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

————————————

BÙI THỊ LINH

HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG

TRÒN NHỊ PHÂN VÀ TAM PHÂN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGUYỄN DUY TÂN

Thái Nguyên - Năm 2017

1

Mục lục

Mục lục 1

Lời nói đầu 2

Chương 1. Đa thức chia đường tròn 4

1.1 Đa thức chia đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Đa thức chia đường tròn có hệ số nguyên . . . . . 5

1.2.2 Công thức nghịch đảo M¨obius và công thức truy

hồi tuyến tính đa thức chia đường tròn . . . . . . 9

1.3 Mọi số nguyên đều là hệ số của đa thức chia đường tròn 14

Chương 2. Hệ số của đa thức chia đường tròn Φpq(x) 17

2.1 Một định lý của Lam - Leung . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Chương 3. Hệ số của đa thức chia đường tròn Φpqr(x) 26

3.1 Chặn trên cho hệ số của đa thức Φpqr(x) . . . . . . . . . 26

3.1.1 Số Fk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.2 Chứng minh Định lý 3.1.1 . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.3 Chứng minh Định lý 3.1.2 . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Một vài hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Tính chất nhảy đơn vị (jump one) của hệ số . . . . . . . 38

Kết luận 42

Tài liệu tham khảo 43

2

Lời nói đầu

Ta đã biết rằng với mỗi số nguyên dương n, có đúng n căn bậc n của

đơn vị: ξk = cos

2kπ

n

+isin

2kπ

n

, k = 0, 1, . . . , n−1. Chú ý rằng ξk là căn

nguyên thủy bậc n của đơn vị nếu và chỉ nếu gcd(k, n) = 1. Vì thế có

đúng ϕ(n) căn nguyên thủy bậc n của đơn vị, trong đó ϕ là hàm Euler.

Gọi ξkϕ1

, . . . , ξkϕ(n)

là các căn nguyên thủy bậc n đơn vị. Khi đó đa thức

chia đường tròn thứ n, kí hiệu là Φn(x), là đa thức bậc ϕ(n) được cho

bởi công thức Φn(x) = (x − ξk)· · ·(x − ξkϕ(n)

). Mục đích của luận văn

này là tìm hiểu một số tính chất của hệ số của đa thức chia đường tròn.

Luận văn gồm 3 chương. Chương 1 định nghĩa đa thức chia đường

tròn. Trong chương này một số tính chất của đa thức chia đường tròn có

hệ số nguyên được chứng minh. Chúng tôi chứng tỏ rằng Φn(x) có các

hệ số đều nguyên. Hơn nữa, công thức nghịch đảo Mobius và công thức

truy hồi tính đa thức chia đường tròn cũng được trình bày. Chương 2 có

nội dung nói về hệ số của đa thức chia đường tròn Φpq(x) trong đó p, q

là hai số nguyên tố khác nhau. Chương này sẽ chứng minh một định lý

của Lam - Leung và xác định hệ số của đa thức chia đường tròn dạng

Φpq(x), các hệ quả về xác định hệ số trung tâm của nó và khẳng định

các đa thức Φn(x) với n < 100 đều có hệ số thuộc {−1, 0, 1}. Chương 3

trình bày hệ số của đa thức chia đường tròn tam phân Φpqr(x) bao gồm

kết quả của Bzdega về chặn trên trên cho cho hệ số của đa thức Φpqr(x),

một số hệ quả của kết quả trên và một định lý của Suzuki về khẳng định

mọi số nguyên đều là hệ số trong một đa thức chia đường tròn nào đó.

Nội dung của luận văn được viết chủ yếu dựa theo bài báo "The coef-