Hệ số của đa thức chia đường tròn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

ĐOÀN BÁ THƯỢNG

HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRÒN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

ĐOÀN BÁ THƯỢNG

HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRÒN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Đoàn Trung Cường

THÁI NGUYÊN - 2017

i

Mục lục

Lời nói đầu 1

1 Đa thức chia đường tròn 3

1.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Quan hệ giữa các đa thức Φn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Tính chất thuận nghịch của đa thức chia đường tròn . . . . . . 11

1.4 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Giá trị của đa thức chia đường tròn và cấp của phần tử 15

1.4.2 Định lý Zsigmondy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.3 Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Hệ số của đa thức chia đường tròn Φn(x) 24

2.1 Hệ số của đa thức Φpq(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Hệ số của đa thức Φn(x) với n nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Hệ số của đa thức Φpqr(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Các số nguyên là hệ số của một đa thức chia đường tròn . . . . 39

Kết luận 41

Tài liệu tham khảo 42

1

Lời nói đầu

Đa thức chia đường tròn là một đối tượng thú vị và quan trọng xuất hiện ở nhiều

lĩnh vực toán học khác nhau như Số học, Đại số, Hình học..., ở cả Toán phổ

thông và Toán cao cấp. Có nhiều nghiên cứu xung quanh các đa thức này, từ

các công trình từ thế kỷ 19 cho đến những công trình xuất hiện mới gần đây.

Một hướng nghiên cứu đáng lưu ý là về hệ số của các đa thức chia đường tròn

Φn. Bằng tính toán trực tiếp, người ta nhận thấy rằng các đa thức chia đường

tròn đầu tiên (n nhỏ) có hệ số chỉ nằm trong các số −1,0,1. Đã có giả thuyết là

điều này đúng với mọi đa thức chia đường tròn bất kỳ, tuy nhiên điều này không

đúng. Nghiên cứu kỹ hơn, người ta nhận thấy các hệ số của đa thức chia đường

tròn Φn phụ thuộc sâu sắc vào phân tích ra thừa số nguyên tố của số n, mặc dù

vẫn có một số đánh giá độ lớn của các hệ số này qua n.

Mục đích chính của luận văn là dựa trên các tài liệu [2, 3, 7, 8], trình bày chi

tiết một số điều kiện đủ để đa thức chia đường tròn là phẳng, có nghĩa là các

hệ số của đa thức đó nhận một trong các giá trị −1,0,1. Kết quả chính được

trình bày là trường hợp n = pq, n = pqr là tích của hai và ba số nguyên tố khác

nhau. Ngoài ra câu hỏi những số nguyên nào có thể là hệ số của một đa thức

chia đường tròn cũng được xét trong luận văn này.

Luận văn được chia thành hai chương. Chương 1 nhắc lại định nghĩa đa thức

chia đường tròn và nêu một số ví dụ về những đa thức chia đường tròn đầu tiên.

Một số tính chất cơ bản của các đa thức chia đường tròn cũng được lựa chọn

trình bày trong chương này như mối liên hệ giữa các đa thức khác nhau, tính

chất thuận nghịch. Một số ứng dụng của đa thức chia đường tròn cũng được

trình bày trong phần cuối của chương này. Chương 2 tập trung xét các tính chất

của hệ số của các đa thức chia đường tròn Φpq(x) và Φpqr(x), với p,q,r là các