Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Hệ phương trình và bất phương trình chứa hàm mũ và các bài toán liên quan
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
NGUYỄN THỊ CẨM HƯỜNG
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HÀM MŨ
VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.40
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng - Năm 2013
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU
Phản biện 1: PGS.TSKH. TRẦN QUỐC CHIẾN
Phản biện 2: TS. HOÀNG QUANG TUYẾN
Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa
học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 12 năm 2013.
* Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình và bất phương trình là nội dung cơ bản và quan trọng của chương
trình toán trung học phổ thông. Đây là một vấn đề rất rộng và chứa nhiều dạng
toán hay và khó. Đặc biệt, các dạng toán về phương trình và bất phương trình
mũ cũng là những dạng bài thường gặp trong các kỳ thi đại học và thi học sinh
giỏi quốc gia.
Việc giải các bài toán về phương trình, bất phương trình mũ đòi hỏi phải nắm
vững phương pháp, các kiến thức cơ bản về hàm số mũ cũng như các kiến thức
liên quan và phải biết vận dụng các kiến thức một cách hợp lý, có tính tư duy.
Có nhiều phương pháp để giải phương trình, bất phương trình mũ, mỗi bài toán
ta phải biết nhận dạng và áp dụng phương pháp thích hợp để giải.
Chính vì những lý do trên nên tôi chọn đề tài "Hệ phương trình và bất phương
trình chứa hàm mũ và các bài toán liên quan" nhằm hệ thống một số dạng toán,
phương pháp giải hệ phương trình, bất phương trình mũ và một số dạng toán liên
quan đến hàm mũ.
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống một số dạng toán, phương pháp giải hệ phương trình và bất phương
trình mũ và một số dạng toán liên quan đến hàm mũ.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Khảo sát lớp các hàm số mũ và các dạng phương trình, bất phương trình mũ
và một số dạng toán liên quan đến hàm mũ.
4. Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo, phân tích và tổng hợp các tài liệu chuyên đề, sách giáo khoa, các
tài liệu của giáo viên hướng dẫn, tài liệu trên mạng.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán
bậc trung học phổ thông.
6. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm 3 chương và phần mở đầu, kết luận.
2
Chương I. Trình bày các tính chất của hàm số mũ và các kiến thức liên quan.
Chương II. Trình bày về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình
mũ.
Khảo sát một số dạng phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và
một số dạng toán liên quan.
Chương III. Trình bày về các bài toán liên quan đến hàm số mũ.
Xét một số dạng toán về bất đẳng thức, cực trị và một số dạng toán liên quan.
3
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN LIÊN QUAN
ĐẾN HÀM MŨ
1.1 TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ MŨ
1.1.1 Tính chất của hàm số mũ
Hàm số f(x) = a
x
, 0 < a 6= 1, x ∈ R được gọi là hàm số mũ cơ số a. Khi a = 1
thì a
x ≡ 1.
Nhận xét rằng tập xác định Df = R và tập giá trị Rf = (0; +∞).
Trong các phần tiếp theo, ta giả sử 0 < a 6= 1.
Nhận xét rằng hàm số f(x) = a
x
liên tục và có đạo hàm trên R, hơn nữa
f
0
(x) = ln a.f(x).
Ta khảo sát tính đơn điệu của hàm f(x) trong 2 trường hợp.
- Trường hợp 1: a > 1.
Khi đó, ln a > 0 và vì f(x) > 0 nên suy ra f
0
(x) = ln a.f(x) > 0, ∀x ∈ R.
Vậy khi a > 1 thì f(x) là hàm số đồng biến trên R.
Ta lại có f(0) = 1 và lim
x→+∞
f(x) = +∞; lim
x→−∞
f(x) = 0.
x
a
x
−∞ +∞
0
+∞
0
1
- Trường hợp 2: 0 < a < 1.
Trong trường hợp này, f
0
(x) < 0, ∀x ∈ R.
Vậy khi 0 < a < 1 thì f(x) = a
x
là hàm số nghịch biến trên R.
Ta có bảng biến thiên sau:
x
a
x
−∞ +∞
+∞
0
0
1
4
Tính chất 1.1. Với mọi a > 0 và x1, x2 ∈ R, ta có
(a
x1
)
x2 = a
x1x2
, ax1 a
x2 = a
x1+x2
,
a
x1
a
x2
= a
x1−x2
.
Tính chất 1.2. Với mọi a > 0, b > 0 và x ∈ R, ta có
a
x
b
x = (ab)
x
,
a
x
b
x
=
a
b
x
.
Tính chất 1.3. Hàm số f(x) = a
x
(0 < a 6= 1) có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ R
và (a
x
)
0
= a
x
ln a. Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên khoảng J ⊂ R thì hàm
số y = a
u(x)
có đạo hàm trên J và (a
u(x)
)
0
= u
0
(x)a
u(x)
ln a.
Tính chất 1.4 (SGK, Giải tích Lớp 12). Với mọi x ∈ R, ta đều có e
x ≥ 1 + x.
Tính chất 1.5. Với a > b > 1 thì a
x + a
−x ≥ b
x + b
−x
, ∀x ∈ R.
1.1.2. Một số đặc trưng hàm của hàm số mũ
Đối với hàm số mũ f(t) = a
t
, (0 < a 6= 1), ta có đặc trưng hàm sau đây:
f(x + y) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ R.
Nhờ đặc trưng hàm này, ta có các phương trình hàm tương ứng.
Bài toán 1.1 (Phương trình hàm Cauchy dạng mũ). Xác định các hàm f(x) liên
tục trên R và thỏa mãn điều kiện sau
f(x + y) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ R. (1.1)
Bài toán 1.2. Giả sử hàm f(x) thỏa mãn điều kiện (1.1) và liên tục tại một
điểm cho trước x0 ∈ R. Chứng minh rằng nó liên tục trên cả R, tức f ∈ C(R).
Tiếp theo, ta xét một đặc trưng quan trọng khác của hàm mũ.
Bài toán 1.3. Xác định tất cả các số dương a sao cho hàm mũ f(x) = a
x
thỏa
mãn điều kiện
a
x ≥ 1 + x, ∀x ∈ R. (1.2)
5
1.2 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN
HÀM MŨ
Sử dụng Tính chất 1.4 của hàm mũ, ta có thể chứng minh các bất đẳng thức
cổ điển.
Định lý 1.1 (Bất đẳng thức AM-GM, xem [3],[5]). Giả sử x1, x2, · · · , xn là các
số dương. Khi đó
x1 + x2 + · · · + xn
n
≥
√n x1x2 · · · xn.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn.
Định lý 1.2 (Bất đẳng thức AM-GM suy rộng, xem [3],[5]). Giả sử cho trước
hai cặp dãy số dương x1, x2, · · · , xn và p1, p2, · · · , pn. Khi đó
x
p1
1 x
p2
2
· · · x
pn
n ≤
x1p1 + x2p2 + · · · + xnpn
p1 + p2 + · · · + pn
p1+p2+···+pn
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn.
Nếu p1 + p2 + · · · + pn = 1 thì x
p1
1 x
p2
2
· · · x
pn
n ≤ x1p1 + x2p2 + · · · + xnpn.
Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwaz, xem [3],[5]). Cho hai cặp dãy số
bất kỳ a1, a2, · · · , an và b1, b2, · · · , bn. Khi đó
(a1b1 + a2b2 + · · · + anbn)
2 ≤ (a
2
1 + a
2
2 + · · · + a
2
n
)(b
2
1 + b
2
2 + · · · + b
2
n
).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ∃k để ai = kbi
, ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Định lý 1.4 (Bất đẳng thức Bernoulli, xem [3],[5]). Giả sử x > −1. Khi đó
(1 + x)
α ≤ 1 + αx khi 0 ≤ α ≤ 1
(1 + x)
α ≥ 1 + αx khi α < 0 ∨ α > 1.
Định lý 1.5 (Định lý Fermat). Giả sử hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên
khoảng (a, b) và đạt giá trị cực trị tại một điểm x0 ∈ (a, b) và tồn tại f
0
(x0) thì
f
0
(x0) = 0.
6
CHƯƠNG 2
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ
2.1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG
TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
2.1.1. Lớp phương trình, bất phương trình mũ cơ bản
Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng a
x = m với 0 < a 6= 1.
Nếu m ≤ 0 thì phương trình a
x = m vô nghiệm.
Nếu m > 0 thì phương trình a
x = m có một nghiệm duy nhất x = loga m.
Nói cách khác, ∀m ∈ (0; +∞), ax = m ⇔ x = loga m.
Bất phương trình mũ cơ bản có một trong các dạng sau:
a
x > m, ax ≥ m, ax < m, ax ≤ m với 0 < a 6= 1.
Cách giải bất phương trình dạng a
x > m, ax ≥ m :
Trường hợp 1. Khi m ≤ 0 thì bất phương trình a
x > m, ax ≥ m nghiệm đúng
với mọi x.
Trường hợp 2. Khi m > 0 thì
Nếu a > 1 thì a
x > m ⇔ x > loga m, a
x ≥ m ⇔ x ≥ loga m.
Nếu 0 < a < 1 thì a
x > m ⇔ x < loga m, a
x ≥ m ⇔ x ≤ loga m.
Cách giải bất phương trình dạng a
x < m, ax ≤ m :
Trường hợp 1. Khi m ≤ 0 thì bất phương trình a
x < m, ax ≤ m vô nghiệm.
Trường hợp 2. Khi m > 0 thì
Nếu a > 1 thì a
x < m ⇔ x < loga m, a
x ≤ m ⇔ x ≤ loga m.
Nếu 0 < a < 1 thì a
x < m ⇔ x > loga m, a
x ≤ m ⇔ x ≥ loga m.
2.1.2. Các phương pháp cơ bản
a. Phương pháp đưa về cùng cơ số
Đó là các dạng thường gặp sau:
7
Dạng 1: a
f(x) = a
g(x) ⇔
a
= 1
0 < a 6= 1
f(x) = g(x)
Dạng 2: a
f(x) < ag(x) ⇔
a > 1
f(x) < g(x)
0 < a < 1
f(x) > g(x)
Dạng 3: a
f(x) ≤ a
g(x) ⇔
a > 1
f(x) ≤ g(x)
a
= 1
0 < a < 1
f(x) ≥ g(x)
Ví dụ 2.1. Giải phương trình
(x − 3)3x
2−5x+2 = (x
2 − 6x + 9)x
2+x−4
(2.3)
Ví dụ 2.2. Giải bất phương trình
(
√
3 + √
2) x−3
x−1 > (
√
3 −
√
2) x+1
x+3 (2.4)
b. Phương pháp đặt ẩn phụ
Mục đích chính của phương pháp này là chuyển các phương trình và bất phương
mũ đã cho về các phương trình và bất phương trình đại số quen thuộc.
Các phép đặt ẩn phụ thường gặp đối với phương trình mũ:
Dạng 1. Phương trình αka
kx + αk−1a
(k−1)x + ... + α1a
x + α0 = 0.
Đặt a
x = t, ta được phương trình
αkt
k + αk−1t
(k−1) + ... + α1t + α0 = 0, t > 0.
Dạng 2. Phương trình α1a
x + α2b
x + α3 = 0 với điều kiện ab = 1.
Đặt a
x = t, suy ra b
x =
1
t
t > 0, ta thu được phương trình
α1t +
α2
t
+ α3 = 0 ⇔ α1t
2 + α3t + α2 = 0.
Dạng 3. Phương trình α1a
2x + α2(ab)
x + α3b
2x = 0.
Khi đó chia hai vế phương trình cho b
2x > 0, ta được phương trình
α1
a
b
2x
+ α2
a
b
x
+ α3 = 0