Hệ phương trình.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

Đề tài:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Giáo viên hướng dẫn : ThS. Phan Thị Quản.

Sinh viên thực hiện : Phùng Thị Hoàng Cúc.

Lớp : 11ST

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2015

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Phan Thị Quản

SVTH: Phùng Thị Hoàng Cúc–Lớp 11ST

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô trường Đại học Sư phạm – Đại học

Đà Nẵng, đặc biệt là thầy cô Khoa Toán đã quan tâm, giúp đỡ và truyền đạt vốn kiến thức quý

báu của mình cho chúng em trong suốt thời gian học tập tại trường và điều đó đã tạo tiền đề cho

em hoàn thành bài khóa luận tốt nghiệp này.

Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, em xin gửi đến cô Phan Thị Quản, người đã tận tình hướng

dẫn, giúp đỡ em hoàn thành bài khóa luận tốt nghiệp.

Cuối cùng em xin kính chúc các thầy cô mạnh khỏe, hạnh phúc và thành công trong công

việc.

Đà Nẵng, ngày 3 tháng 5 năm 2015

Sinh viên thực hiện

PHÙNG THỊ HOÀNG CÚC

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Phan Thị Quản

SVTH: Phùng Thị Hoàng Cúc–Lớp 11ST

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................... 1

PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1

1. Lý do chọn đề tài....................................................................................................1

2. Mục đích nghiên cứu..............................................................................................1

3. Nhiệm vụ nghiên cứu.............................................................................................1

4. Phương pháp nghiên cứu: ......................................................................................1

5. Phạm vi nghiên cứu................................................................................................1

CHƢƠNG 1: HỆ PHƢƠNG TRÌNH............................................................................... 2

1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn..........................................................................2

1.1.1 Định nghĩa.................................................................................................2

1.1.2 Phương pháp giải ......................................................................................2

1.1.3. Một số ví dụ minh họa .............................................................................3

1.2. Hệ phương trình đối xứng...................................................................................6

1.2.1 Hệ phương trình đối xứng loại 1...............................................................6

1.2.1.1 Định nghĩa..........................................................................................6

1.2.1.2 Phương pháp giải ...............................................................................6

1.2.1.3 Một số biến đổi đưa về tổng tích .......................................................7

1.2.1.4 Một số bài toán về hệ đối xứng loại 1................................................7

1.2.1.5. Điều kiện để hệ đối xứng loại 1 có nghiệm......................................9

1.2.1.6. Điều kiện để hệ đối xứng loại 1 có nghiệm duy nhất.....................10

1.2.1.7. Giải và biện luận .............................................................................11

1.2.3 Hệ phương trình đối xứng loại 2.............................................................14

1.2.3.1 Định nghĩa........................................................................................14

1.2.3.2 Phương pháp giải .............................................................................15

1.2.3.3 Một số bài toán về hệ đối xứng loại 2..............................................15

1.2.3.4 Một số bài toán đưa về hệ đối xứng loại 2.......................................18

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Phan Thị Quản

SVTH: Phùng Thị Hoàng Cúc–Lớp 11ST

1.2.3.5 Điều kiện hệ phương trình đối xứng loại II có nghiệm ..................20

1.2.3.6. Điều kiện để hệ phương trình đối xứng loại II có nghiệm duy nhất:

......................................................................................................................22

1.2.3.7 Giải và biện luận hệ phương trình đối xứng loại II.........................22

1.3 Hệ phương trình bậc hai hai ẩn chứa một phương trình bậc nhất .....................25

1.3.1 Định nghĩa ............................................................................................................ 25

1.3.2 Phương pháp giải ................................................................................25

1.3.3 Ví dụ....................................................................................................25

1.4 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 ........................................................................25

1.4.1 Định nghĩa:..............................................................................................25

1.4.2 Phương pháp giải ....................................................................................26

1.4.3 Một số bài toán áp dụng..........................................................................26

1.5 Hệ phương trình hoán vị ....................................................................................27

1.5.1 Định nghĩa...............................................................................................27

1.5.2 Một số bài toán tổng quát về hệ hoán vị.................................................27

1.5.2.1 Bài toán tổng quát 1:........................................................................27

1.5.2.2 Bài toán tổng quát 2:........................................................................30

1.5.2.3 Bài toán tổng quát 3:........................................................................31

CHƢƠNG 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH................... 35

2.1 Phương pháp đặt ẩn phụ.....................................................................................35

2.1.1 Phương pháp giải ....................................................................................35

2.1.2 Ví dụ........................................................................................................35

2.2 Phương pháp phân tích thành nhân tử ...............................................................40

2.2.1 Phương pháp giải ....................................................................................40

2.2.2. Một số phép biến đổi thường gặp ..........................................................40

2.2.3.Một số ví dụ ............................................................................................41

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Phan Thị Quản

SVTH: Phùng Thị Hoàng Cúc–Lớp 11ST

2.3. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số ..............................................46

2.3.1 Kiến thức cơ bản .....................................................................................46

2.3.2. Phương pháp giải ...................................................................................46

2.3.3. Một số ví dụ minh họa ...........................................................................46

2.4 Phương pháp đánh giá:.......................................................................................51

2.4.1 Phương pháp giải ....................................................................................51

2.4.2 Ví dụ........................................................................................................51

2.5 Phương pháp lượng giác hóa .............................................................................55

2.5.1 Một số biểu thức lượng giác cơ bản về miền giá trị:..............................55

2.5.2 Phép đổi biến số:.....................................................................................56

2.5.3 Một số ví dụ minh họa ............................................................................57

2.6 Một số bài toán tổng hợp phối hợp các phương pháp giải ................................63

KẾT LUẬN ...................................................................................................................... 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................... 69

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Phan Thị Quản

SVTH: Phùng Thị Hoàng Cúc Trang 1

PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong cuộc sống hiện nay, nhiều bài toán đã được đặt ra và để giải quyết chúng ta phải đưa về

giải một hệ phương trình nào đó nhằm đáp ứng nhu cầu của bản thân và xã hội.

Bên cạnh đó, chương trình ở các bậc học THCS và THPT luôn có các bài toán liên quan đến hệ

phương trình trong các kỳ thi. Để giải được các bài toán này đòi hỏi sự thông minh, tư duy nhạy

bén, vận dụng các kiến thức và phương pháp đã học.

Đề tài này sẽ nghiên cứu một cách tổng quan về nhận biết và phương pháp giải một số loại hệ

phương trình hay gặp ở chương trình THPT, các kỳ thi Tốt nghiệp, Cao đẳng, Đại học

2. Mục đích nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu các dạng hệ phương trình thường gặp giúp học sinh nhận biết các loại phương

trình, và hướng dẫn các phương pháp giải phù hợp nhằm giải quyết bài toán nhanh gọn, và đưa đến

lời giải hay đối với các bài toán về hệ phương trình.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống hóa các dạng và phương pháp giải hệ phương trình thường gặp.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu:

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu để từ đó tổng hợp, chọn lọc những kiến thức có liên quan để thực

hiện đề tài.

5. Phạm vi nghiên cứu

Hệ phương trình cơ bản hay gặp ở chương trình THPT, các kỳ thi Tốt nghiệp, Cao đẳng, Đại học

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS. Phan Thị Quản

SVTH: Phùng Thị Hoàng Cúc Trang 2

CHƢƠNG 1: HỆ PHƢƠNG TRÌNH

Cho m phương trình

f x g x f x g x f x g x 1 1 2 2 ( ) ( ), ( ),..., ( )      m m  

với

*

m

, miền xác định

lần lượt là

1 2 ,S ,...,Sm

S .

Hệ m phương trình

 

   

   

1 1

2 2

( ) ( ) 1

( ) 2

.....................

( ) m m

f x g x

f x g x

f x g x m

 



 





  

trong đó mỗi phương trình đều được xét trên

miền xác định của hệ

1

m

i

i

S S



 .

Một giá trị

a S 

của x làm từng phương trình đều trở thành đẳng thức đúng:

( ) ( ) i i f x g x 

với

mọi

i m 1,2,..., 

, được gọi là nghiệm của hệ. Trong trường hợp này, ta nói hệ phương trình có

nghiệm. Nếu có một phương trình của hệ vô nghiệm thì hệ là vô nghiệm.

Nếu mỗi phương trình :

( ) ( ) i i f x g x 

có tập nghiệm là

Mi

với mọi

i m 1,2,..., 

thì tập nghiệm

của hệ

1

m

i

i

M M





1.1 Hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn

1.1.1 Định nghĩa

Là hệ phương trình bậc nhất với 2 ẩn x,y.

Hệ có dạng: (I)

1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

   

  

.

Trong đó

1 2 1 2 1 2 a a b b c c , , , , ,

là các hằng số cho trước sao cho

2 2

1 1

2 2

2 2

0

0

a b

a b

   

  

;

x y,

là ẩn cần tìm.

1.1.2 Phƣơng pháp giải

Bước 1:

Tính

1 1

1 2 2 1

2 2

a b

D a b a b

a b

  

1 1

2 1 1 2

2 2

x

c b

D b c b c

c b

  