Hệ phương trình đối xứng và phản đối xứng trong đại số.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THÙY

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

VÀ PHẢN ĐỐI XỨNG

TRONG ĐẠI SỐ

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60 46 0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu

Phản biện 1: TS. Trương Công Quỳnh.

Phản biện 2: PGS.TS Trần Đạo Dõng.

Luận văn đã được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ khoa học, họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày

14 tháng 06 năm 2014.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

• Trung tâm thông tin học liệu, Đại Học Đà Nẵng.

• Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1 . Lý do chọn đề tài

Hệ phương trình là một mảng kiến thức chuyên đề rất quan

trọng trong chương trình Toán phổ thông. Lớp các hệ phương trình

rất phong phú và đa dạng, là dạng toán có nhiều phương pháp

giải rất linh hoạt. Trong những năm gần đây hệ phương trình đối

xứng và phản đối xứng thường xuyên xuất hiện trong các đề thi

học sinh giỏi, đề thi Olympic và các đề thi tuyển sinh Đại học và

Cao đẳng,. . . Vì vậy việc trang bị cho học sinh kiến thức liên quan

đến hệ phương trình đối xứng và phản đối xứng là rất cần thiết.

Luận văn “ Hệ phương trình đối xứng và phản đối xứng trong đại

số” sẽ trình bày cơ sở lí thuyết, phương pháp giải hệ và phương

pháp giải các dạng toán đưa về hệ phương trình đối xứng và phản

đối xứng trong đại số.

2. Mục đích nghiên cứu:

Luận văn “Hệ phương trình đối xứng và phản đối xứng trong

đại số” nhằm thể hiện rõ vai trò quan trọng của hệ phương trình

trong đại số. Luận văn nhằm tổng quan về hệ phương trình đối

xứng và phản đối xứng thông qua các định nghĩa, định lý và các

bài tập áp dụng.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các tài liệu về đa thức đối xứng, phương

trình và hệ phương trình trong trong đại số.

Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu từ các tài liệu của giáo viên

hướng dẫn, các bạn học viên trong lớp, và các tài liệu sưu tầm

được, đồng thời sử dụng các trang web như: www.diendantoanhoc.net,

www.mathvn.com, www.vntoanhoc.com.

2

4. Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp các tài liệu liên quan, nắm cốt lõi nội dung kiến thức

từ đó sắp xếp trình bày một cách có hệ thống và khai thác các

ứng dụng theo đề tài đã chọn.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn về hệ phương

trình đối xứng và phản đối xứng trong đại số. Tạo được một đề tài

phù hợp cho việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường

trung học phổ thông.

6. Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và ba chương.

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Hệ phương trình đối xứng

Chương 3: Các dạng toán đưa về hệ phương trình đối xứng và

phản đối xứng

3

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày các kiến thức về đa thức đối xứng,

phương trình đối xứng và phản đối xứng cùng các tính chất liên

quan. Chương này tham khảo ở tài liệu [1].

1.1. ĐA THỨC ĐỐI XỨNG HAI BIẾN

1.1.1. Các định nghĩa

Định nghĩa 1.1.

Ví dụ 1.1.

Định nghĩa 1.2.

Định nghĩa 1.3.

Ví dụ 1.2.

Định nghĩa 1.4.

Định nghĩa 1.5. Đa thức P(x, y) được gọi là đối xứng, nếu nó

không thay đổi khi đổi chổ của x và y, nghĩa là

P(x, y) = P(y, x).

Ví dụ 1.3.

4

Định nghĩa 1.6. Ký hiệu

σ0 = 1, σ1 = x + y, σ2 = xy.

Các đa thức σj (j = 0, 1, 2) được gọi là các đa thức đối xứng cơ

sở của các biến x, y.

Định nghĩa 1.7.

1.1.2. Tổng lũy thừa và công thức Waring

Định nghĩa 1.8. Các đa thức sk = x

k +y

k

(k=1,2, . . .) được gọi

là các tổng lũy thừa bậc k của các biến x, y.

Định lý 1.1. Mỗi tổng lũy thừa sm = x

m + y

m có thể biễu diễn

được dưới dạng một đa thức bậc m của σ1 và σ2.

Định lý 1.2 (Công thức Waring). Tổng lũy thừa sk được biểu

diễn qua các đa thức đối xứng cơ sở σ1, σ2 theo công thức:

sk

k

=

[

X

k/2]

m=0

(−1)m(k − m − 1)!

m!(k − 2m)! σ

k−2m

1

σ

m

2

, (1.2)

trong đó [k/2] là kí hiệu phần nguyên của số k/2.

1.1.3. Các định lý cơ bản về đa thức đối xứng hai biến

Định lý 1.3 (Định lý cơ bản). Mọi đa thức đối xứng P(x, y)

theo các biến x, y đều có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức

p(σ1, σ2) theo các biến σ1 = x + y và σ2 = xy, nghĩa là

P(x, y) = p(σ1, σ2).

Định lý 1.4 (Tính duy nhất).

5

1.2. ĐA THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN

1.2.1. Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.9.

Định nghĩa 1.10.

Định nghĩa 1.11. Đa thức P(x, y, z) được gọi là đối xứng, nếu

nó không thay đổi với mọi hoán vị của (x, y, z), nghĩa là

P(x, y, z) = P(x, z, y) = P(y, x, z) = P(z, x, y).

Ví dụ 1.4.

Định nghĩa 1.12.

Định nghĩa 1.13.

1.2.2. Tổng lũy thừa

Định nghĩa 1.14.

Định lý 1.5. (Công thức Newton). Với mọi k ∈ Z, ta có hệ thức

sk = σ1sk−1 − σ2sk−2 + σ3sk−3 (1.1)

Định lý 1.6.

Định lý 1.7 (Công thức Waring). Tổng lũy thừa skđược biễu

diễn qua các đa thức đối xứng cơ sở theo công thức:

sk

k

=

X

`+2m+3n=k

(−1)k−`−m−n

(` + m + n − 1)

`!m!n!

σ

`

1σ

m

2 σ

n

3

6

1.2.3. Các định lý cơ bản của đa thức đối xứng ba biến

Định lý 1.8.

Định lý 1.9 (Định lý duy nhất).

Mệnh đề

1.3. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

Định nghĩa 1.15. Đa thức

f(z) = a0z

n + a1z

n−1 + · · · + an−1z + an (a0 6= 0)

được gọi là đa thức có hệ số đối xứng, nếu hệ số cách đều hai đầu

bằng nhau, nghĩa là

a0 = an, a1 = an−1, a2 = an−2, . . . . . .

Phương trình của đa thức đối xứng được gọi là phương trình đối

xứng.

Định lý 1.10.

1.4. ĐA THỨC PHẢN ĐỐI XỨNG

Định nghĩa 1.16. Đa thức phản đối xứng là đa thức thay đổi

dấu khi thay đổi vị trí của hai biến bất kỳ.

Định lý 1.11 (Định lý Bezout).

Định lý 1.12.

Định lý 1.13.

Định nghĩa 1.17.

7

CHƯƠNG 2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

Trong chương này ta trình bày phương pháp giải các bài toán

về hệ phương trình đối xứng và phản đối xứng. Chương này tham

khảo ở các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5].

2.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1

2.1.1. Định nghĩa

Giả sử P(x, y) và Q(x, y) là các đa thức đối xứng. Xét hệ

phương trình:

(

P(x, y) = 0

Q(x, y) = 0

(I)

Bằng cách đặt x + y = σ1,xy = σ2, trên cơ sở Định lý cơ bản,

ta đưa hệ (I) về dạng :

(

p(σ1, σ2) = 0

q(σ1, σ2) = 0

(II)

Nhìn chung thì hệ phương trình (II) đơn giản hơn hệ (I) và ta

có thể tìm được nghiệm (σ1, σ2). Sau khi tìm được các giá trị của

σ1, σ2, cần phải tìm các giá trị của các ẩn số x và y là nghiêm của

hệ (I). Điều này có thể thực hiện được nhờ định lý sau đây.