HD chấm thi Olympic huyện Toán 7 (07-08)

Híng dÉn thi ¤-lim -pic huyÖn M«n To¸n Líp 7 N¨m häc 2007-2008

Bµi 1. TÝnh tæng: S =

5 13 25 41 181

...

1.2 2.3 3.4 4.5 9.10

+ + + + + (3,5 ®iÓm)

Gi¶i: NhËn xÐt: tö sè cã d¹ng 2n(n + 1) + 1. MÉu sè cã d¹ng n(n + 1), n ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6;7; 8; 9}

Nªn

2n(n 1) 1 1 1 1 2 2 ( )

n(n 1) n(n 1) n n 1

+ +

= + = + −

+ + +

.LÇn lît thay gi¸ trÞ n tõ 1 ®Õn 9 ta cã:

S = 18 +( 1- 1 1 1 1 1 1

. . .

2 2 3 3 9 10

+ − + − + − ) = 18 + (1 - 1

10

) = 18,9

Bµi 2. T×m gi¸ trÞ x, y nguyªn d¬ng trong biÓu thøc sau: 1 1 1 1

2x 2y xy 2

+ + = (3,5 ®iÓm)

Gi¶i: Gi¶ sö x ≥ y th×

1 1 1 1

,

2x 2y xy y

≤ < nªn

1 1 1 1 2

2 2x 2y xy y

= + + < => y < 4. MÆt kh¸c y > 1

xÐt y ∈{ 2; 3} ta ®îc y = 2 => x = 4; y = 3 => kh«ng cã gÝa trÞ x tho¶ m·n

VËy x = 2 => y = 4 hoÆc y = 2 => x = 4

Bµi 3. T×m x biÕt: a) 3 1 3 − = − x x (3®iÓm)

Gi¶i: Ta cã 1 – 3x ≥ 0 => x ≤

1

3

=> 3 3 − = − x x . Ta cã pt 3 - x = 1 - 3x => x = -1 tho¶ m·n ®/k bµi to¸n. VËy x = -1

b)

1 1

x x

5 5

− = − (3®iÓm)

Gi¶i:

1 1

x x

5 5

− = − = - (

1

x )

5

− =>

1

x 0

5

− ≤ hay

1

x

5

≤

VËy víi ∀x

1

5

≤ tho¶ m·n ®/k bµi to¸n

Bµi 4. Trong ®ît ph¸t ®éng trång c©y ®Çu Xu©n n¨m míi, ba líp häc sinh khèi 7 cña mét trêng

THCS ®· trång ®îc mét sè c©y. BiÕt tæng sè c©y trång ®îc cña líp 7A vµ 7B; 7B vµ 7 C; 7C vµ 7A tû

lÖ víi c¸c sè 4, 5, 7 . T×m tû lÖ sè c©y trång ®îc cña c¸c líp. (3®iÓm)

Gi¶i: Gäi sè c©y trång ®îc cña c¸c líp lµ a, b, c. Theo bµi ra ta cã:

(a + b) : (b + c) : (c + a) = 4 : 5 : 7. Hay: a b b c c a k (k Q)

4 5 7

+ + +

= = = ∈

=> a + b = 4k; b + c = 5k; c + a = 7k => a + b + c = 8k => c = 4k ; a = 3k ; b = k => a: b: c =3 : 1 : 4.

VËy sè c©y trång ®îc cña c¸c líp 7 tû lÖ víi c¸c sè 3, 1, 4

Bµi 5. Cho tam gi¸c nhän ABC, trªn nöa mÆt ph¼ng bê AC kh«ng chøa B vÏ tam gi¸c vu«ng c©n

ACD ( · 0 ADC = 90 ), trªn nöa mÆt ph¼ng bê BD kh«ng chøa C vÏ tam gi¸c vu«ng c©n BDE (

· 0 BDE = 90 ). §êng th¼ng ED c¾t ®êng th¼ng BC t¹i F, ®êng th¼ng EA c¾t ®êng th¼ng BD t¹i M.

Chøng minh: DF = DM (4 ®iÓm)

Gi¶i: +) XÐt ∆ CBD vµ ∆ ADE cã:

CD = AD (gt), BD = DE (gt)

· · CDB ADE = (cïng phô ·BDA )

=> ∆ CDB =∆ ADE (c.g.g) => · · CBD AED = (1)

+) XÐt ∆ FDB vµ ∆ MDE cã:

· · 0

FDB MDE 90 = = (gt), BD = ED (gt)

· · CBD AED = ( theo 1)

=> ∆ FDB = ∆ MDE => DF = DM (§pcm)

A

B C F

D

E

M