HD chấm thi HSG huyện Toán 9 (07-08)

Híng dÉn chÊm to¸n 9

C©u 1. (4 ®iÓm, mçi c©u 2 ®iÓm)

T×m x, y ∈N *

sao cho:

a) xy - 3x + y = 20;

<=> xy - 3x + y -3 = 17<=> x(y – 3) + (y -3) = 17

<=> (y – 3)(x + 1) = 17 <=>

x 1 1

y 3 17

 + = 

 − =

<=>

x 0

y 20

 =



 =

(lo¹i) ; HoÆc

x 1 17

y 3 1

 + = 

 − =

<=>

x 16

y 4

 =



 =

VËy cÆp sè x, y tháa m·n ®/k cña bµi to¸n lµ: (16, 4)

b)

+

=

+

2 2

x y 3

x y 5

V× vai trß cña x vµ y nh nhau nªn gi¶ sö x ≥ y. Ta cã: 5(x + y) = 3(x2 + y2

) <=> x(5 – 3x) = y(3y - 5).

V× x, y cïng dÊu nªn 5 – 3x vµ 3y– 5 cïng dÊu.

+ NÕu 5 – 3x > 0 th× 3y– 5 > 0 => x < 5

3

vµ y > 5

3

=> y > x v« lý.

+ NÕu 5 – 3x < 0 th× 3y– 5 < 0 => x > 5

3

vµ y < 5

3

=> y =1, x = 2;

VËy cÆp sè (x,y) tho¶ m·n ®/k bµi to¸n lµ (1, 2); (2, 1)

C©u 2. (4 ®iÓm, mçi c©u 2 ®iÓm)

Cho c¸c sè d¬ng a, b, c tháa m·n a + b + c = 6abc.

a) Chøng minh 2 2 2

1 1 1 6

a b c

+ + ≥

¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cosi cho hai sè d¬ng ta cã:

2 2

2 2

2 2

1 1 2

a b ab

1 1 2

b c bc

1 1 2

c a ac



+ ≥ 





+ ≥ 





+ ≥ 



=> 2 2 2

1 1 1

a b c

+ + ≥ 1 1 1 a b c 6

ab bc ca abc

+ +

+ + = =

VËy 2 2 2

1 1 1 6

a b c

+ + ≥ . DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi

2 2 2

a b c 6abc

1 1 1

a b c

 + + = 



= = 



=> a = b = c =

1

2

b) T×m gÝa trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 3 3 3

a b c

b c a

+ + .

¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cosi cho hai sè d¬ng ta cã:

3 2

3 2

3 2

a 1 2

b ab b

b 1 2

c bc c

c 1 2

a ac a



+ ≥ 





+ ≥ 





+ ≥ 



=> 3 3 3

a b c

b c a

+ + + 6 ≥ 2 2 2 2

1 1 1 ( ) 12

a b c

+ + ≥ . VËy 3 3 3

a b c 6

b c a

+ + ≥

DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi: a = b = c = 1

2

C©u 3. (4 ®iÓm, mçi c©u 2 ®iÓm)

a) T×m phÇn d R(x) khi chia ®a thøc P(x) = x2007 + x207 + x27 + x7 + x + 1 cho ®a thøc Q(x) = x3 - x

R(x) cã d¹ng: ax2

+ bx + c ; P(x) = Q(x) . M(x) + R(x)

= x(x – 1)(x + 1) . M(x) + ax2

+ bx + c.

P(0) = 1 = c; P(1) = 6 = a + b + c; P(-1) = - 4 = a – b + c => a = 0; b = 5. VËy R(x) = 5x + 1