Hàm vectơ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THẢO

HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2016

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. LÊ VĂN DŨNG

Phản biện 1: TS. PHAN ĐỨC TUẤN

Phản biện 2: GS.TS. LÊ VĂN THUYẾT

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8

năm 2016.

Có thể tìm Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Vectơ là một khái niệm trừu tượng. Để nắm được các kiến

thức về vectơ đòi hỏi người học phải có tư duy logic, khả năng sáng

tạo biết vận dụng liên hệ với thực tế. Trong chương trình phổ thông,

kiến thức về vectơ được đề cập xuyên suốt ba năm cấp ba với số tiết

chiếm một nửa tổng số tiết hình học của ba năm cấp ba.

Kiến thức về vectơ ở phổ thông là các định nghĩa, các phép

toán cơ bản để vận dụng giải quyết một số bài toán cơ bản của vectơ

trong không gian, phương pháp tọa độ trong không gian. Đây chỉ là

một phần về kiến thức vectơ và ứng dụng hình học của vectơ. Ngoài

các ứng dụng trong hình học, vectơ còn có các ứng dụng trong vật lí,

trong đạo hàm và tích phân. Hàm vectơ là sự mở rộng khái niệm

vectơ bằng cách đặt tương ứng mỗi giá trị

t R 

một vectơ, khi đó

mỗi vectơ có thể xem là một hàm vectơ hằng. Ứng dụng của hàm

vectơ được vận dụng để giải quyết các bài toán trong Vật lí, chẳng

hạn ta có thể viết phương trình vận tốc của chuyển động

0

. , t

v v a t  

trong đó

a

là vectơ gia tốc và t là thời gian. Khi chuyển động

thẳng đều thì độ lớn của

t

v

là

0

.

t

v v at  

Là giáo viên dạy toán ở trường phổ thông với mong muốn

được tìm hiểu sâu sắc hơn về hàm vectơ và các ứng dụng của hàm

vectơ nhằm có cái nhìn toàn diện hơn từ đó đưa ra cách truyền đạt để

học sinh có thể nắm bắt và tiếp cận kiến thức về vectơ một cách dễ

dàng, tôi quyết định chọn đề tài:

“Hàm vectơ và ứng dụng”

2. Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống lại các kiến thức cơ bản về vectơ.

2

- Phát biểu khái niệm hàm vectơ và các kiến thức liên quan

đến hàm vectơ như: đạo hàm, tích phân, vectơ tiếp tuyến…

- Hệ thống và phân loại một số bài toán có thể giải được bằng

cách sử dụng kiến thức về hàm vectơ.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

- Các kiến thức cơ bản về vectơ.

- Các kiến thức về hàm vectơ và các ứng dụng của hàm vectơ.

- Các bài toán có thể giải được bằng cách sử dụng kiến thức về

hàm vectơ.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

Với đề tài: “Hàm vectơ và ứng dụng” tôi đã sử dụng các

phương pháp nghiên cứu sau:

+ Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội

dung đề tài luận văn.

+ Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận

văn.

+ Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn,

của các chuyên gia và của các đồng nghiệp.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Hệ thống được kiến thức cơ bản về vectơ, khái niệm về hàm

vectơ và một số kiến thức liên quan về hàm vectơ nhằm phục vụ cho đề

tài.

- Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết.Có thể sử dụng luận văn

như là tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán,giáo viên phổ

thông và các đối tượng quan tâm đến các kiến thức về vectơ.

6. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận,tài liệu tham khảo, nội dung

chính của luận văn được chia thành hai chương.

Chƣơng 1: Kiến thức cơ bản về vectơ

Chƣơng 2: Hàm vectơ và ứng dụng

3

CHƢƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ

1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ VECTƠ

Định nghĩa 1.1.1

Đại lượng có hướng được gọi là đại lượng vectơ (hay gọi tắt là

vectơ)

Các đại lượng vật lí như khối lượng, thể tích, công và năng lượng là

vô hướng; trong khi độ dời, vận tốc, gia tốc và lực là các vectơ.

Định nghĩa 1.1.2. Các vectơ có độ lớn bằng 1 được gọi là vectơ đơn

vị. Trong luận văn này vectơ đơn vị được phân biệt với vectơ khác

bằng một dấu mũ; ví dụ

a

ˆ

là đại diện cho một vectơ đơn vị theo

hướng của vectơ

a . Rõ ràng, a

= a

a

ˆ .

Trong hệ trục tọa độ Descartes vuông góc

OXYZ,

các vectơ đơn vị

trên trục

OX , OY , OZ

lần lượt được kí hiệu là

i j k , , .

Định nghĩa 1.1.3. Vectơ - không là vectơ có độ lớn bằng không và

không có hướng, được ký hiệu

0 .

Định nghĩa 1.1.4. Vectơ đối của vectơ

a

, được kí hiệu là – a

, là một

vectơ có modul bằng vectơ

a

nhưng ngược hướng với vectơ

a .

Định nghĩa 1.1.5. Các vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có

cùng modul và cùng hướng.

1.2. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỀ VECTƠ

Định nghĩa 1.2.1 (Phép cộng hai vectơ) Cho hai vectơ

ab,

được

biểu diễn lần lượt bởi

PQ , QR

(Hình (a)). Khi đó vectơ biểu diễn

bởi

PR

được định nghĩa là tổng của

a

và

b , được viết:

a b 

và

được gọi là quy tắc 3 điểm của phép cộng vectơ.

Định nghĩa 1.2.2 (Phép trừ hai vectơ)

4

Hiệu giữa hai vectơ

ab,

được viết là

a b  và theo quy tắc của đại

số vô hướng nó được viết thành tổng

a

+ (- b

). Biễu diễn

ab,

bởi

các vectơ

PQ , QR

như trước, khi đó

QR '

sẽ đại diện cho - b , với

QR' = QR (hình vẽ).

Nên

a b  hoặc

a

+ (- b

) được biểu diễn bởi

PR'

hoặc

SQ

Định nghĩa 1.2.3 (Tổng của nhiều vectơ)

Giả sử có n vectơ

a a a 1 2 , ,..., n

. Cho

a1

được biểu diễn bởi

OA1

, a2

được đại diện bởi

AA1 2

, …, an

được biểu diễn bởi A A

n n 1

.

Vậy thì

2 1 1 2 1 2 OA OA A A     a a

;

3 2 2 3 1 2 3 OA OA A A      a a a

;

4 3 3 4 1 2 3 4 OA OA A A       a a a a

;

……………………………………………

1 1 1 2 3 a a a ... a OA OA A A n n n n n

        

.

Định nghĩa 1.2.4 (Phép nhân một vectơ với một số)

Nếu m là một số thực dương, khi đó m

a

được định nghĩa như một

vectơ cùng hướng

a

có độ lớn bằng ma.

Định lý 1.2.5

Nếu các vectơ

a , b

được biểu diễn lần lượt bởi

OP OQ ,

và m, n là

các hằng số dương, khi đó m

a

+n

b

= (m+n)

c

, với

c

được biểu diễn

bởi vectơ

OR

, R là một điểm trên PQ sao cho

mPR nRQ  .

Định nghĩa 1.2.6 (Thành phần của vectơ trong các hƣớng vuông

góc với nhau)

Giả sử OP

đại diện cho vectơ

r

(Hình vẽ). Qua điểm O vẽ các

đường thẳng vuông góc OX, OY, OZ theo quy tắc đinh ốc xoay bên

phải từ

OY

tới

OZ

dọc theo

OX

và cứ tiếp tục tuần hoàn theo các

r

5

chữ cái X, Y, Z. Vẽ lần lượt các đường vuông góc PQ, PR, PS xuống

mp(YOZ), (ZOX), (XOY) và ta có hình hộp chữ nhật OASBCRPQ.

Đặt OA= x, OB = y , OC = z và gọi các vectơ đơn vị theo các hướng

OX, , OY OZ

là

i , j , k

suy ra:

OA xi OB y j OC zk    ; ;

Vì

OP OA AS SP OA OB OC      

. Nên

r

= x

i

+ y

j

+ z

k .

Các vectơ x

i

, y

j

, z

k

được gọi là các thành phần của

r

trong hệ

trục tọa độ. Các thành phần của

r

theo từng hướng là duy nhất,

giống như chỉ vẽ được 1 hình hộp như ở trên. Do đó nếu 2 vectơ

bằng nhau thì các thành phần tương ứng của chúng cũng bằng nhau.

Trong không gian 2 chiều, nếu

r

nằm trên mp(XOY), kết quả trên

trở thành:

r

= x

i

+ y

j .

Định nghĩa 1.2.7 (Modun và cosin theo hƣớng của một vectơ theo

các thành phần của nó)

Từ hình vẽ trên, dễ thấy rằng :

2 2 2 2 OP OA OB OC   

. Vì vậy

modun r của vectơ

r

được cho bởi:

2 2 2 2

r x y z   

, với x, y, z là

các modul của thành phần của

r

2 2 2

r x y z   

Hướng của vectơ

r

hay

OP

được xác định bởi cosin của góc tạo tạo

bởi

OP

với các trục

OX, , OY OZ

. Nếu góc này lần lượt là

   , ,

thì:

; ;

OA x OB y OC z

cos cos cos

OP r OP r OP r

         cos cos cos    , ,

được gọi là cosin theo hướng của

OP

; chúng phụ

thuộc hệ thức:

6

2 2 2

2 2 2

2

cos cos cos 1 x y z

r

  

 

   

Trong không gian hai chiều, nếu r nằm trên mp(XOY), chúng ta có

kết quả tương tự:

2 2 ; ;

x y

r x y cos cos

r r

      với

2 2 cos cos 1    

Định nghĩa 1.2.8 (Tổng và hiệu các vectơ theo thành phần)

Giả sử các vectơ

r r r 1 2 3 , ,

,… được biểu diễn theo các thành phần

của chúng trong các trục vuông góc

OX, , OY OZ

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 2 3 1 2 3 1 2

................................

.... ( ) ( ) ( ) ...

( ...) ( ...) (

r x i y j z k

r x i y j z k

r x i y j z k

r r r x i y j z k x i y j z k x i y j z k

x x x i y y y j z z z

  

  

  

            

           3  ...)k

Kết quả cho thấy phép cộng các vectơ thực hiện bằng cách cộng các

thành phần của chúng. Hoàn toàn tương tự khi trừ các vectơ.

1.3. TÍCH CỦA CÁC VECTƠ

Định nghĩa 1.3.1 (Tích vô hƣớng) Tích vô hướng của hai vectơ

a

và

b

tạo với nhau một góc



được định nghĩa là đại lượng vô hướng

a.b.cos



và được ký hiệu là

a . b

Rõ ràng, phép nhân vô hướng của các vectơ là có tính giao hoán vì:

a . b

= ab.cos



=ba.cos

 =b . a

Định nghĩa 1.3.2 (Tích có hƣớng) Tích có hướng của 2 vectơ

a , b

tạo với nhau một góc



được định nghĩa như một vectơ (gọi là vectơ

tích) có độ lớn là ab.sin



và có hướng vuông góc với hướng của cả

2 vectơ

a

và

b

theo đường đinh ốc xoắn về phía phải từ hướng của

7

vectơ

a

đến hướng của vectơ

b

di chuyển theo hướng của vectơ

tích. Vectơ tích của 2 vectơ

a

và

b

được ký hiệu là

a  b

hoặc

a

x

b .

Định nghĩa 1.3.3 (Tích hỗn tạp)

Giá trị

a b c   

là kết quả tích

a

và

b c 

, nó được gọi là tích hỗn

tạp và có thể được thể hiện dưới dạng

b

và

c

(bằng

b

và

c

)

Đại diện cho tích hỗn tạp là

v

, sao đó là

v

vuông góc với

b c 

nó

có thể được coi như là trong mặt phẳng của

b

và

c

và do đó nó có

thể được thể hiện như là v = bp + qc trong đó p,q là vô hướng

Lấy hình chữ nhật có vectơ đơn vị

i j k , ,

với

j k,

trong mặt phẳng

b,c và j song song với mặt phẳng b. Khi đó :

b

=b

j

;

c = 2

c j

+

3

c k

;

a = 1 2 3 a i a j a k   v

= (

1 2 3 a i a j a k  

)



[b

j 

(

2

c j

+

3

c k

)]

= (

1 2 3 a i a j a k  

)



(bc

3

j

)

= - 2 3 3 3 a bc k a bc j  =- 2 2 3 3 a b c c j a c b ( )  

=- a bc a c b a c b 2 2 2 3 3  

=(

a c a c 2 2 3 3 

)b￾2 a bc

Nhưng

a c a c 2 2 3 3 

=ac và

2 ab

=ab

a b c ac b ab c              

Chú ý rằng

a b c    

khác với

a b c  

hoặc

   c a b  

nên

tích hỗn tạp không có tính chất giao hoán.

8

CHƢƠNG 2

HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

2.1 VECTƠ CHỨA BIẾN SỐ VÀ ĐỊNH NGHĨA HÀM VECTƠ

Định nghĩa 2.1.1 (Các hàm số vectơ của biến số vô hƣớng)

Cho

 ,   R

. Hàm vectơ là phép đặt mỗi

t  , 

tương ứng duy

nhất với một vectơ kí hiệu là

a t  .

Định nghĩa 2.1.2 (Định nghĩa hàm vectơ trong hệ trục tọa độ

Descartes)

Một hàm có dạng

r t f t i g t j        

hoặc

r t f t i g t j h t k           

là một hàm vectơ, trong đó hàm thành

phần f, g và h là các hàm giá trị thực sự của tham số t. Các hàm giá

trị vectơ đôi khi được biểu thị như

r t f t g t     ,  

hoặc

r t f t g t h t     , ,     .

2.2 ĐẠO HÀM CỦA HÀM VECTƠ

Định nghĩa 2.2.1 (Định nghĩa đạo hàm của một hàm vectơ)

Cho hàm vectơ

r t 

với

t a b ( ; ).

. Đạo hàm của một hàm của vectơ

r t 

được định nghĩa bởi  

   

0

' lim

t

r t t r t

r t

t

 

  





nếu giới hạn trên tồn tại.

Kí hiệu

r t ' 

hoặc

D r t t

   

 

Nếu

r t ' 

tồn tại thì

r

được gọi là khả vi tại t. Nếu

r t ' 

tồn tại cho

tất cả t trong khoảng mở I thì

r

là khả vi trên khoảng I. Sự khả vi

của hàm vectơ có thể được mở rộng cho khoảng đóng bằng cách

xem xét giới hạn một bên như sau.