Giới hạn hàm doc

MôC LôC

2 Hµm sè, giíi h¹n hµm sè vµ hµm liªn tôc 3

2.1 Hµm sË s¨ c p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Hµm th˘c mÈt bi’n sË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.2 C¸c hµm s¨ c p c¨ b¶n vµ hµm s¨ c p . . . . . . . . . . . 5

2.2 GiÌi h¹n hµm sË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 C¸c kh¸i ni÷m v“ giÌi h¹n hµm sË . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2 T›nh ch t vµ c¸c ph–p to¸n v“ giÌi h¹n hµm sË . . . . . . 15

2.2.3 V´ cÔng b– vµ v´ cÔng lÌn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Hµm li™n tÙc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1 Kh¸i ni÷m v“ hµm li™n tÙc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.2 C¸c t›nh ch t cÒa hµm li™n tÙc . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.3 C¸c ph–p to¸n tr™n c¸c hµm li™n tÙc . . . . . . . . . . . . 27

2.3.4 Hµm sË li™n tÙc Æ“u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1

gi¶i tÝch I

S¸ch dÔng cho sinh vi™n tr­Íng ß¹i h‰c x©y d˘ng

vµ sinh vi™n c¸c tr­Íng ß¹i h‰c, Cao ƺng k‹ thuÀt

2

Ch­¨ng 2

Hµm sË, giÌi h¹n hµm sË vµ hµm

li™n tÙc

2.1 Hµm sè s¬ cÊp

2.1.1 Hµm thùc mét biÕn sè

§Þnh nghÜa 2.1.1 ¸nh x¹ f : X → R, X ⊂ R, X 6= ∅ Æ­Óc g‰i lµ hµm sË th˘c

mÈt bi’n sË th˘c vµ g‰i tæt lµ hµm mÈt bi’n sË. X Æ­Óc g‰i lµ tÀp x¸c Æfinh cÒa

hµm sË f, k› hi÷u Df = X. TÀp ¶nh f(X) ∈ R Æ­Óc g‰i lµ tÀp gi¸ trfi cÒa hµm sË

f, k› hi÷u Rf = f(X).

x ∈ Df Æ­Óc g‰i lµ bi’n ÆÈc lÀp hay ÆËi sË cÒa hµm f, ¶nh f(x) ∈ Rf Æ­Óc g‰i lµ

bi’n phÙ thuÈc hay hµm sË. ß” minh h‰a hµm f ¯ng mÁi x ∈ Df vÌi ph«n tˆ x¸c

Æfinh f(x) ∈ Rf , ta th­Íng vi’t y = f(x) hay

f : X → R, x 7→ y = f(x).

VÝ dô 2.1.1

1. ¸nh x¹ ÆÂng nh t f : R → R, x 7→ x hoÆc k› hi÷u f(x) = x ∀x ∈ R.

f cfln Æ­Óc g‰i lµ hµm ÆÂng nh t tr™n R.

2. sign(x) =







1 n’u x > 0

0 n’u x = 0

−1 n’u x < 0



sign(x) Æ­Óc g‰i lµ hµm d u

.

Hi”n nhi™n |x| = x sign(x).

3