Giáo trình toán. Tập 2: Giải tích 2

Giáo trình Toán - Tập 2 Cours de mathématiques -2

GIẢI TÍCH 2 ANALYSE 2

Cuốn sách này được xuất bản trong

khuôn khổ Chương trình Đào tạo Kỹ

sư Chất lượng cao tại Việt Nam, với

sự trợ giúp của Bộ phận Văn hoa và

Hợp tác của Đại Sứquán Pháp tại nước

Cộng hoa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam

Cet ouvrage, publié dans le cadre du

Programme de Formation d' Ingénieers

đ'Excellence au Vietnam, bénéíicie du

soutien du Service Culturel et de

Coopération de r Ambassade de France

en République Socialiste du Vietnam

Giáo trình Toán - Tập 2 Cours de mathématiques -2

GIẢI TÍCH 2 ANALYSE 2

Cuốn sách này được xuất bản trong

khuôn khổ Chương trình Đào tạo Kỹ

sư Chất lượng cao tại Việt Nam, với

sự trợ giúp của Bộ phận Văn hoa và

Hợp tác của Đại Sứquán Pháp tại nước

Cộng hoa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam

Cet ouvrage, publié dans le cadre du

Programme de Formation d' Ingénieers

d'Excellence au Vietnam, bénéíicie du

soutien du Service Culturel et de

Coopération de r Ambassade de France

en République Socialiste du Vietnam

Jean - Mari e Monie r

Giá o trìn h Toá n

Tập 2

GIẢI TÍCH 2

Giáo trình và 600 bài tập có lời giải

(Tái bán lần thứ tư)

Nguôi dịch :

NGUYÊN VĂN THƯỜNG

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC

Cours de mathématique s - 2

ANALYS E 2

Cours et 600 exercices coưigés

Ì

re année MPSI. PCSI. PTSI

Jean-Marie Monier

ProỊesseur en classe de Spécìales

au lycée la Martinière-Monplaisir à Lyon

@ DUNOD, Paris, 1996

L ò i tự a

Thuở còn là một học sinh trung học trẻ tuổi, tôi vẫn mang một sự tôn

kính gần như thần thánh đối với các cuốn sách giáo khoa. Khi đó, đối với

tôi, các cuốn sách giáo khoa, mà cứ đầu năm học lại được một bàn tay

mẫn cán bọc lại cẩn thận, có ý nghĩa như thế nào thì tôi cũng không thể

nói lên chính xác được : điều chắc chấn là chúng chứa đựng Chân lý. Chẳng

hạn, tôi cho rằng chỉ có thể phát biểu một định lý theo đúng từng câu chữ

như trong sách giáo khoa. Lúc đó các giáo sư chưa sử dụng thường xuyên

các tờ sao chụp (ôn tập và bổ sung lý thuyết, đề bài tập...) ; ngày nay thì

tôi nghĩ rằng tình hình đó là do những khó khăn về sao chụp hơn là vì các

giáo sư đó lại không muốn để lại dấu ấn cá nhân qua việc lựa chọn những

bài tập độc đáo. Các giáo sư khi đó thường xuyên tham chiếu đến các sách

giáo khoa, tuẫn thủ trung thành trình tự của sách giáo khoa, lấy bài tập từ

sách giáo khoa. Tuy nhiên tôi vẫn còn nhớ đã rất lúng túng khi thày giáo

Toán, ở lớp cuối cấp Trung học phổ thõng, mà tôi cũng rất tôn sùng, đôi

khi lại phát biểu một số lời phê phán đôi vói một cuốn sách mà chính ông

ta đã khuyên chúng tôi sử dụng ! Còn các tác giả của các cuốn sách đó thì

lại càng bí ẩn : họ là ai, các vị thân linh nấm giữ Tri thức đó ? Sau này,

tất nhiên là các mối quan hệ của tôi với tư cách sinh viên đối với các cuốn

giáo trình đã thay đổi dần, nhưng hình như tôi vẫn giữ lại cách tiếp cận

vừa ham thích vừa tôn kính đó, chắc là do ngây thơ, cách nhìn vốn đã

ngăn cản tôi không làm những việc chẳng hạn như ghi nhận xét ở lề trang

sách - tôi sẽ không nhại việc làm của một Pierre de Fermat ! - và cả cái

định kiến tôn trọng sẽ khiến cho tôi khó mà soạn thảo được một bản nhận

xét khách quan.

Không một giáo sư nào, dù cho là một tác giả đã viết giáo trình, lại nghĩ

đến việc thay việc giảng dạy sống động bằng một cuốn sách. Nhưng một

giáo trình được xuất bản, nêu trung thành với nội dung và tinh thần của

chương trình của một lớp, có thể giúp ích rất nhiều cho những sinh viên

chăm chỉ. Người sinh viên, nhất là các sinh viên mới bắt đầu học sẽ cảm

thấy yên tâm khi có được một lược đồ sáng sủa, chính xác, chặt chẽ một

cách trình bày thật chau chuốt, với các kiểu chữ khác nhau được xen kẽ

L ò i nó i đ ầ u

Bộ giáo trình Toán này, kèm theo bài tập có lời giải, dành cho học sinh

các lớp chuẩn bị thi vào các trường cao đẳng công nghệ quốc gia (năm

thứ Ì và năm thứ 2, tất cả mọi ban), cho sinh viên giai đoạn một các ban

khoa học, và các thí sinh các kì thi tuyển giáo sư trung học.

Lược đồ bộ giáo trình này như sau :

Tập Ì : Giải tích Ì Ị Giải tích năm thứ nhất

Tập 2 : Giải tích 21 (xuất bản lần thứ 2 6/1996)

Tập 3 : Giải tích 3 Ị Giải tích năm thứ hai

Tập 4 : Giải tích 4 Ị (xuất bản lần thứ 2 6/1997)

Tập 5 : Đại số Ì : Đại số năm thứ nhất

Tập 6 : Đại số 2 : Đại số năm thứ hai

Tập 7 : Hình học : Hình học năm thứ nhất và năm thứ hai

(xuất bản năm 1997)

Để kiểm tra kiến thức đã lĩnh hội, độc giả sẽ thấy ở cuối mỗi chương

nhiều bài tập có lời giải, các lời giải in ở cuối cuốn sách và hầu hết các

bài tập này đều khác với các bài tập đã có trong năm cuốn bài tập đã xuất

bân. Cuối mỗi chương là việc khảo sát một số vấn đề ở ranh giới chương

trình, được trình bày thành những bổ sung có lời giải.

Tác giả xin cám ơn trước về các nhận xét và gợi ý, và xin đề nghị

độc giả vui lòng chuyển qua Nhà xuất bản Dunod, 15 phố Gossin, 92513

Montronge CEDEX.

Jean-Marie Monier

L ò i cả m ơ n

Tối xin bày tỏ tại đây lòng biết ơn đến rất nhiều bạn đồng nghiệp đã vui lòng

nhận kiểm tra lại từng phần cùa bản thào hoặc cùa bản đánh máy, là : Robert

AMBLARD, Bruno ARSAC, Chantal AURAY, Henri BAROZ, Alain

BERNARD, Isabelle BIGEARD, Jaques BLANC, Gérard BOURGIN,

Gérard-Pierre BOUVIER, Gérard CASSAYRE, Gilles CHAFFARD, Jean￾Yves CHEVROLAT, Jean-Paul CHRISTIN, Yves COUTAREL, Catherine

DONY, Hermin DURAND, Jean FEYLER, Nicole GAILLARD, Marguerite

GAUTHIER. Daniel GENOUD, Christian GIRAUD, Alain GOURET, André

GRUZ, André LAFFONT, Jean-Marc LAPIERRE, Jean-Paul MARGIRIER,

Anníe MICHEL, Rémy NICOLAĨ, Michel PERNOUD, Jean REY, René

ROY, Philippe SAUNoís. Patrice SCHWARTZ và Gérard SIBERT.

Cuối cùng, tôi cảm ơn sâu sắc Nhà xuất bàn Dunod, Gisèle MaTus và Michel

Mounic. mà trình độ chuyên môn và tính kiên trì đã tạo điều kiện hoàn thành

các tập sách này.

Jean-Marie Monier

M ụ c l ụ c Tậ p ì

PHẦN THỨ NHẤT • GIÁO TRÌNH

Chương I. - số thực

1.1. Mở đầu 3

1.2. Số thực 4

1.2.1. Sự tồn tại và duy nhất cùa R 4

1.2.2. Các tính chất sơ cấp của số thực 7

1.2.3. Các tính chất cơ bàn của R 14

ì .3. Đường thẳng số mở rộng R 22

Bổ sung 23

Chương li. - số phức

2.1. Mở đâu 25

2.2. Thể số phức 25

2.2.1. Định nghĩa 25

2.2.2. Số phức liên hợp, phần thực, phần ảo 27

2.2.3. Mođun 29

2.2.4. Agumen 32

2.3. Biểu diễn hình học các số phức 33

2.3.1. Mặt phang phức 33

2.3.2. Biểu diên hình học cùa phép cộng trong c 34

2.3.3. Biểu diễn hình học phép nhân trong c 35

2.3.4. Các ánh xạ z h-» az + b 35

2.3.5. Điều kiện cần và đủ để ba điểm

trên mặt phảng phức thẳng hàng 35

2.3.6. Điều kiện cần và đù để bốn điểm trên

mặt phang phức đồng chu hoặc thẳng hàng 36

2.4. Lũy thừa và căn số 37

2.4.1. Hàm mũ biến số thuần ảo 37

Xi! Mục lục

2.4.2. Căn bậc n cùa một số phức khác không

41

2.4.3. Các cân bậc n của Ì

42

2.4.4. Nhóm các càn bậc n cùa Ì

43

2.5. ưng dụng sô phức vào lượng giác

2.5.1. Khai triển cosnG, sinne, tan«e

4 3

2.5.2. Tuyến lính hóa cosp

9. sinp

e, cosp

9sinp

e

4 4

BỔ sung

4 7

Chương III. - Dãy số

3.1. Dãy hội tụ, phân kỳ

4 9

3.1.1. Định nghía 49

3.1.2. Các tính chất vê thứ tự cùa các dãy số thực hội tụ 52

3.1.3. Các tính chít đại số cùa dãy số hội tụ 54

3.1.4. Các ví dụ sơ cấp về dây 60

3.2. Tính đơn điệu

6 5

3.2.1. Dãy thực đơn điệu 65

3.2.2. Dãy kề nhau 68

3.3. Dãy con 71

3.4. Một số loại day thông thường

7 4

3.4.1. Dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi 74

3.4.2. Day truy hồi tuyến tinh cấp hai với hệ số không đổi 75

3.4.3. Dãy truy hồi loại u„+1

=fi.un) 80

Bổ sung 87

Chương IV. - Hàm một biến

lấy giá trị thực hoặc phức

4.1. Đại số các hàm 93

4.1.1. Đai số Kx

93

4.1.2. Quan hẹ thứ tự ưong RA

96

4.1.3. Tinh chẵn lè 98

4.1.4. Tinh tuân hoàn 99

4.1.5. Anh xa bác thang ưên một đoạn ]0J

4.1.6. Ảnh xạ đa thúc. ánh nạ hữu tỳ 102

Mục lục xin

4.1.7. Tính đom điệu 103

4.1.8. Ánh xạ bị chặn ưên, bị chặn đuôi, bị chặn 104

4.2. Giới hạn

10 7

4.2.1. Khái niệm giới hạn 108

4.2.2. Thứ tự và giới hạn HI

4.2.3. Các phép toán đại số đối với các hàm có giới hạn 113

4.2.4. Trường hợp hàm đơn điệu 117

4.3. Tính liên tục

12 0

4.3.1. Định nghĩa 120

4.3.2. Các phép toán đại số trên các ánh xạ liên (ục 123

4.3.3. Liên tục ưên một khoảng 125

4.3.4. Tính liên tục ưên một đoạn 128

4.3.5. Ánh xạ ngược 130

4.3.6. Tinh liên tục đều 133

4.3.7. Ánh xạ Lipschitz 135

Chươn g V. - Đ ạ o hà m

5.1. Đạo hàm

5.1.1. Đạo hàm tại một điểrn^.

5.1.2. Các tính chất đại số cùa các hàm khả vi tại một điểm

5.1.3. Ánh xạ đạo hàm

5.1.4. Các đạo hàm cấp cao

5.1.5. Lớp của một hàm

5.1.6. Vi phân

5.2. Định lý Rolle, định lý số gia hữu hạn

5.2.1. Định lý Rolle

5.2.2. Định lý số gia hữu hạn

5.3. Sự biến thiên của hàm

5.3.1. Khảo sát tính đơn điệu cùa hàm khả vi

5.3.2. Khảo sát các cực ưị cùa một hàm khả vi

5.4. Hàm lồi

5.4.1. Định nghĩa

5.4.2. Sừ dụng đạo hàm trong việc khảo sát tính lồi

5.4.3. Bất đảng thức lồi

139

139

143

147

151

154

157

ã

16(

164

164\

mj

172

172

176

179