Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Giáo trình Toán cao cấp
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Ạl HỌC KINH TẾ & QUẢN TRỈ KINH DOANH
O I Á O T R Ì N H
N H À X U Ấ T BẢiN ĐẠI HỌC TH Á I N G U Y ÊN
y . 02-55 MÃ SỐ: — „ ----
ĐHTN-2016
M ục lục
Lời nói đ ầu 10
1 T ập hợp. L ogic. Á n h xạ 12
1.1 Tầp h ợ p ...................................................................................... 12
1.1.1 Khái niệm về tập h ợ p .................................................. 12
1.1.2 Các phép toán tập h d p .............................................. 13
1.2 L o g ic............................................................................................. 15
1.2.1 Mệnh đồ và giá trị chân l ý ....................................... 15
1.2.2 Các phép toán mệnh đề ........................................... 15
1.2.3 Hàm mệnh đề ............................................................ 18
1.3 Ảnh x ạ ......................................................................................... 19
1.4 Bài t ậ p ......................................................................................... 20
2 M a trận và đ ịn h th ứ c 22
2.1 Ma t r ậ n ...................................................................................... 22
2.1.1 Ma t r ậ n .......................................................................... 22
2.1.2 Các phép toán đối với ma tr ậ n ................................ 23
2.2 Dịnh t h ứ c .................................................................................. 27
2.2.1 Dịnh nghĩa định th ứ c .................................................. 27
2.2.2 Một số tính chất của định t h ứ c ............................. 28
2.2.3 Một số cách tính định thức .................................... 29
2.3 Ma trận nghịch đ ả o ................................................................... 31
2.4 Hạng của ma tr ậ n ...................................................................... 36
2.5 Bài t ậ p .......................................................................................... 38
3
3 H ệ phư ơng trìn h tu y ế n tín h 40
3.1 Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính . 40
3.2 Hệ C ram er................................................................................... 41
3.3 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát ........................... 42
3.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần n h ấ t........................... 46
3.5 Bài t ậ p .......................................................................................... 47
4 K h ô n g gian v ecto r 50
4.1 Vector n chiều và không gian v e c to r .................................. 50
4.1.1 Khái niệm vector n c h iề u .......................................... 50
4.1.2 Không gian c o n ........................................................... 53
4.2 Các mối liên hệ tuyến t í n h .................................................... 54
4.2.1 TỔ hợp tuyến tính và biểu diễn tuyến tính. . . . 54
4.2.2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính . . 54
4.2.3 Dạng vector của hệ phương trình tuyến tính . . 56
4.3 Cơ sở của không g ia n .............................................................. 56
4.4 Hạng của một hệ v e c t o r ....................................................... 58
4.5 Bài t ậ p .......................................................................................... 59
5 D ạ n g to à n phư ơng 61
5.1 Ánh xạ tuyến tính .................................................................. 61
5.1.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến t í n h ................................ 61
5.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính ........................................... G2
5.3 Dạng toàn p h ư ơ n g .................................................................. G4
5.3.1 Kh&i niệm vồ dạng toàn p h ư ơ n g ................................ 04
5.3.2 Dạng toàn phương chính tắc, phương pháp Lag r a n g e ............................................................................. 65
5.4 Giá trị riêng, vector riêng .................................................... 68
5.5 Bài t ậ p .......................................................................................... 71
6 H àm số và giới hạn 72
6.1 Khái niệm về hàm số một biến s ố ....................................... 72
6.1.1 Quan hệ hàm s ố ........................................................... 72
6.1.2 Dồ thị của hàm số một biến số ............................ 73
4
6.1.3 Tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, tính đơn điệu, tính
lồi l õ m ............................................................................. 73
6.1.4 Hàm hợp. Hàm ngược ............................................... 74
6.1.5 Một số hàin sơ c ấ p ...................................................... 75
6.2 Giới h ạ n ....................................................................................... 77
6.2.1 Khái niệm giới h ạ n ...................................................... 77
6.2.2 Vô cùng bé. Vô cùng l ớ n ............................................. 78
6.3 Hàm liên tục ............................................................................ 80
6.3.1 Khái niệm hàm liên tục .......................................... 80
6.3.2 Các định lý về hàm liên t ụ c .................................... 81
6.4 Bài t ậ p .......................................................................................... 81
7 Đ ạo hàm và vi phân 83
7.1 Dạo h à m ....................................................................................... 83
7.2 Các quy tắc tính đạo h à m ......................................... 84
7.3 Cực trị của hàm một biến s ố .................................................. 87
7.4 Quy tắc L’H o sp ita l.................................................................. 92
7.5 Bài t ậ p ........................................................................................... 95
8 H àm n h iều b iến 97
8.1 Khái n iệ m .................................................................................... 97
8.1.1 Hàm hai b i ế n ............................................................... 97
8.1.2 Hàm ba biến ............................................................... 98
8.1.3 Hàm n b i ế n .................................................................. 98
5.2 Giới hạn và liên tục cúa hàm nhiêu b i ế n .......................... yy
8.2.1 Giới h ạ n ......................................................................... 99
8.2.2 Liên t ụ c ......................................................................... 100
8.3 Dạo hàm riêng ..........................................................................100
8.4 Hàm thuần nhất, hàm ẳ n ........................................................102
8.4.1 Khái niệm hàm thuần nhất và công thức Euler . 102
8.4.2 Hàm ẩn một b iế n ........................................................102
8.5 Bài t ậ p ........................................................................................... 106
5
9 C ực trị hàm n h iều b iến 108
9.1 Cực trị tự do của hàm nhiều b i ế n ......................................108
9.1.1 Khái niệm cực trị và điều kiện c ầ n ..................... 108
9.1.2 Điều kiện đủ cực trị .................................................109
9.1.3 Trường hợp hàm 2 b iế n ............................................. 109
9.1.4 Trường hợp hàm 3 b iế n ............................................. 112
9.2 Cực trị có điều kiện của hàm nhiều b i ế n ........................ 113
9.2.1 Bài t o á n ......................................................................... 113
9.2.2 Phương pháp nhân tử L agran ge............................114
9.2.3 Cực trị của hàm hai biến và một phương trình
ràng b u ộ c ......................................................................115
9.3 Cực trị của hàm hai biến và một bất phương trình ràng
b u ộ c .............................................................................................. 119
9.4 Bài t ậ p ......................................................................................... 124
10 T ích P h â n 131
10.1 Tích phân bất đ ịn h .................................................................131
10.1.1 Tích phân hàm hữu t ỷ ...........................................132
10.1.2 Tích phân hàm lượng g i á c ....................................134
10.2 Tích phân xác đ ịn h .................................................................135
10.3 Tích phân suy r ộ n g .................................................................138
10.3.1 Tích phân với cận vỡ hạn ....................................138
10.3.2 Tích phân với hàm không bị c h ặ n ........................140
10.3.3 Tích phân suy rộng với hàm d ư ơ n g .................... 141
10.4 Bài t ậ p ............................... ......................................................... 142
11 P h ư ơ n g trìn h v i p h ân và sai p h ân 145
11.1 Phương trình vi p h â n ..............................................................145
11.1.1 Phương trình vi phân cấp 1 .....................................145
11.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số
là hầng số.........................................................................150
11.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, hệ
số hằng s ố ...................................................................... 156
11.1.4 Các dạng cân b ầ n g .....................................................160
6
11.2 Phương trình sai p h â n .......................................................... 162
11.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 ................162
11.2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 ............... 166
11.3 Bài t ậ p ......................................................................................... 173
Tài liệu th a m khảo 177
7
Danh sách bảng
1.1 Phép phủ định ................................................................... 15
1.2 Bảng chân lý của phóp h ộ i ..................................................... l(j
1.3 Bảng chân lý của phép tuyển .............................................. 16
1.4 Bảng chân lý của phép kéo t h e o ........................................... 17
7.1 Bảng đạo h à m ..................................................................... 88
9.1 Ý nghĩa kinh tế của A ...........................................................116
9.2 Bảng các trường hợp tối ưu ................................................ 120
8
Danh sách hình vẽ
7.1 Dồ thị hàm số 7 . 4 ...................................................................... 92
9
Lời nói đầu
Cuốn sách này soạn theo chương trình môn Toán Cao cấp do bộ
môn Toán đăng ký với Trường Dại học Kinh té và QTKD-Đại học
Thái Nguyên đã được Hội đồng khoa học khoa Khoa Học Cơ Bản và
Hội đồng khoa học nhà trường duyệt.
Cuốn sách nhằm phục vụ cho đối tượng chính là sinh viên các
ngành trong Trường Dại Học Kinh Tế và QTKD. Để tránh cho sinh
viên phải tiếp thu một khối lượng lớn kiến thức về Toán, chúng tôi chỉ
trình bày khái lược những nội dung đã được học kỹ ở chương trình
Toán phổ thông, chẳng hạn: phần phép tính vi phân hàm một biến,
cực trị hàm một biến, phép tính tích phân bất định, tích phân xác
định... cuốn Giáo trình Toán cao cấp sẽ tập trung trình bày những
phần toán chưa được học kỹ trong chương trình phổ thông, đổ là cực
trị hàm nhiều biến không ràng buộc và có ràng buộc, phương trình
vi phân, phương trình sai phân. Cuốn sách cung cấp cho người học
những kiến thức cơ sở, làm tiền đề cho việc lĩnh hội các phần Toán
tiếp theo như: Xác Suất và Thống Kẽ, Toán Kinh Tế và các môn học
kinh tế nhưng có sử dụng Toán học, như các môn: Thống Kê Kinh
Tế, Lý Thuyết Hệ thống, Kinh Tế Lượng, Kinh Tế Vi Mô, Kinh Tế Vĩ
M ô...
Với mong muốn có một cuốn sách nhỏ gọn, nhưng lại có thể sử dụng
cho nhiều môn học khác nhau, vì vậy chắc chắn còn nhiều thiếu sót.
Chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của các bạn đọc
để được hoàn thiện hơn trong lần tái bản.
Để hoàn thiện cuốn sách, chúng tôi đã nhận được sự đóng góp tận tình
và những ý kiến quý báu của các nhà nghiên cứu và Hội đồng khoa
10
hục cấp trường. Nhân dịp xuất bản cuốn sách, chúng tôi xin được gửi
tới các nhà khoa học lời cám ƠI1 chân thành và sâu sắc. Xin được cám
ơn ThS Hoàng Thanh Hải đã góp phần giúp đỡ chúng tôi trong việc
soạn thảo bằng Viettcx. Dồng thời xin được trân trọng cám ơn Nhà
xuất bản Dại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện để cuốn
sách ra mắt bạn đọc.
Thái Nguyên, năm 2016
C ác tá c giả
11
Chương 1
Tập hợp. Logic. Ánh xạ
1.1 Tập hợp
1.1.1 Khái niệm về tập hợp
Tập hợp là khái niệm nguyên thủy của toán học không thể định
nghĩa được. Có thể làm quen với khái niệm tập hợp qua các ví dụ:
tập hợp sinh viên của một lớp học, tập hợp các đồ vật trong một căn
phòng, tập hợp các điẻm trên một đoạn th ẳn g...
Phần tử của một tập hợp cũng là khái niệm nguyên thủy của toán
học. Ví dụ mỗi sinh viên trong một lớp học là một phần tử của lớp
học đó, một vật nào đó trong căn phồng. Đối tượng a là phần tử của
tập hợp A được ký hiệu là a e A , đọc là a thuộc A. Dối tượng a
không là phần tử của tập hợp A được ký hiệu là a ẽ A hoặc a ị A đọc
là a không thu ộc A . Tạp hợp 1'õiig là tập hợp không cliứa, p liàu Lử
nào, ký hiệu là 0 . Tập hợp gồm các ký tự: a, b, c, 1, < được ký hiệu là
{a, 6, c, 1, < }
đây là cách liệt kê tất cả các phần tử của tập.
Một tập hợp cỗ thể cho bầng cách nêu ra tính chất đặc trưng cho
mọi phần tử của tập hợp, đối tượng nào không có tính chất đó thì
không là phần tử của tập hợp.
V í dụ 1.1. • Tập hợp tất cả các số tự nhiên N = {0 ,1 ,2 ,3 ,...} .
12
• Tập hợp các số nguyên z = {0, ± 1, ± 2 , ± 3 ,...} .
• Tập các số hữu tỷ Q = { — \rn ễ Z , í i ẽ N ' Ị .
n
• Tập các số thực R.
• Tạp các số phức c {z = u + ỉri\a,b G K}.
Đ ịn h n g h ĩa 1.1. Cho hai tập A và B, nếu mọi phần tử của tập A
củng là phần tử của tập B, thì ta nói A là tập con của B và ký hiệu là
A c B .
Trong ví dụ 1.1 thì
N c Z c Q c R c C
Một số tính chất của bao hàm thức
Đ ịn h n g h ĩa 1.2. Hai tập A và D bằng nhau nếu mọi phần tử của tập
A cũng là phần tử của tập B , và mọi phần tử của tập B cũng là phần
tủ của tập A, ký hiệu A = B.
Từ định nghĩa này, muốn chứng minh hai tập A và B bằng nhau,
ta phải chứng minh
1.1.2 Các phép toán tập hợp
P h é p hợp h ai tập hỢp và ph ép giao h ai tập
Đ ịn h n g h ĩa 1.3. Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp c bao
gồm tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B. K ý hiệu c = A u B .
0 c A
A c A
{
A c B
D c a
13
Đ ịn h n gh ĩa 1.4. Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp c bao
gồm tất cả các phần tử vừa thuộc A và vừa B. K ý hiệu c = A n B.
T ín h chất củ a ph ép hỢp và p h ép giao tập hỢp
1. A\JB = BUA 6. A n B = B n A
2. 0n/l = 0 7. (AnB)nc = An(Bnc)
3. 0 u v4 = y4 8. (AUB)UC = AU(BUC)
4. Ar\A = A 9. AU(BnC) = (AUB)n(AUC)
5. AUA = A 10. An(BuC) = (^nß)u(ylnc)
H iệu hai tập hợp, phần bù củ a m ộ t tậ p hỢp
Đ ịn h n g h ĩa 1.5. Hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp c bao gồm
các phần tử thuộc A và không thuộc B, ký hiệu c = A \ B .
Bây giờ ta giả sử X là tập hợp cho trước, các tập A, B ,c ... đều là
các tập con của X , X được gọi là tập không gian. Khi đó tập X \ i 4 ,
bao gồm các phần tử không thuộc A nhưng vẫn thuộc X , gọi là phần
bù của A, ký hiệu là A. Ta có
1. X U A = x 4. 0 = x
2. X n A = A 5. A u à = X
3. X = 0 6. A n à = 0.
Luật De Morgan
A u B = Ã n B
A n B - A u B.
14
p V
1 0
0 1
Bảng 1.1: Phép phủ định
1.2 Logic
1.2.1 M ệnh đề và giá trị chân lý
Mệnh đề là khái niệm Iiguyôn thủy của toán học không định nghĩa
dược, ta hiểu đó là những câu nói, những khẳng định. Ta chỉ quan
tâm đến những khẳng định đúng hoặc khẳng định sai, không quan tâm
những mệnh đề vừa đúng vừa sai và cũng không quan tâm đến như
không đúng và không sai. Chẳng hạn “pi là số vô tỷ” là mệnh đề đúng.
“Nước Việt Nam thuộc châu Âu” là mệnh đề sai. Ta dùng các chữ
cái in thường để ký hiệu mệnh đề, chẳng hạn: p — { pi là số vô tỷ };
q = { Nước Việt Nam thuộc châu Âu }. Nếu p là mệnh đề đúng, ta
núi p có giá trị chân lý là 1, và viết f(p) = 1. Nếu p là mệnh đề sai,
ta nói p có giá trị chân lý là Ü, và viết f(p) = Ü. Dôi khi để cho tiện,
ta dùng ký hiệu p = 1 hoặc p = 0 thay cho f(p) = 1 hoặc f { p ) = 0.
C h ú ý 1.1. ỏ đây 1 và 0 chỉ là ký hiệu của đúng và sai, chứ không
hiểu đó là số 1, số 0 .
1.2.2 Các phép toán mệnh đề
Đ ịn h n g h ĩa 1.6. Cho mệnh đề p, mệnh đề phủ định của p là một
mệnh đề, ký hiệu là P , mà khi p dúng thì P sai và khi p sai thì p đúng.
Mệnh đề phủ định của p đọc là “không p" và còn được ký hiệu là
ĩiot(p). Bảng chân lý của phép phủ định
Đ ịn h n g h ĩa 1 .7 . Cho hai mệnh đề p và q , hội của p với q là một
mệnh đề, ký h iệ u p ỉ\q , mà trị chân lý là đúng khi cả p và q cùng đúng
và sai trong CÁC trường hợp còn lại.
15