Giáo trình toán học 1

TS. Phan Thị Tinh - TS. Hoàng Công Kiên

ThS. Lê Văn Lĩnh - ThS. Nguyễn Thị Thanh Tuyên

Giáo trình

T O R N H Ọ C 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỪNG VƯƠNG

TS. PHAN THỊ TÌNH - TS. HOÀNG CÔNG KIÊN

ThS. LÊ VĂN LĨNH - ThS. NGUYÊN THỊ THANH TUYÊN

Giáo trình

TOÁN HỌC 1

(Dành cho sinh viên ngành Giáo dục Tiểu học)

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

NĂM 2017

01 -5 9

MÃSÓ:------------------

ĐHTN-2017

2

MỤC LỤC

Nội dung Trang

Chưong 1. Cơ sở của lý thuyết tập hợp 5

1.1. Tập hợp 5

1.2. Quan hệ 17

1.3 . Ánh xạ 26

1.4. Giải tích tổ hợp 38

1.5. Sự thể hiện kiến thức cơ sở của lí thuyết tập hợp trong môn Toán 4 J

Tiểu hpc

Câu hỏi và bài tập 51

Chưong 2. Cơ sở cùa lôgic toán 56

2.1. Lôgic mệnh đề 56

2.2. Giới thiệu lôgic vị từ 84

2.3. Suy luận và chứng minh 105

2.4. Sự thể hiện kiến thức những cơ sờ của lôgic toán trong môn

Toán Tiểu học

Câu hòi và bài tập 119

Chương 3. Nửa nhóm và nhóm 128

3.1. Phép toán hai ngôi 128

3.2. Nửa nhóm và vị nhóm 133

3.3. Nhóm 137

3 4. Nừa nhóm, vị nhóm và nhóm sấp thứ tự 150

3 5. Đồng cấu nhóm 154

3.6. Đối xứng hóa 161

3.7. Sự thể hiện kién thức về phép toán hai ngôi trong môn Toán Tiéu học 164

Câu hòi và bài tập 168

Chương 4. Vành và trường 176

4 1. Vành và miền nguyên 176

4.2. Trường 185

4.3. Vành và trường sắp thứ tự 189

4.4. Vận dụng kiến thức về vành, trường trong dạy học môn Toán JỌQ

Tiểu học

Câu hòi và bài tập 192

Tài liệu tham khảo 198

3

LỜI NÓI ĐẦU

Giáo trình được sử dụng làm tài liệu học tập môn Toán học 1 theo

chương trình đào tạo giáo viên Tiểu học hệ Đại học Sư phạm của Trường Đại

học Hùng Vương. Nội dung, dung lượng kiến thức của giáo trình được thiết kế

không chi đảm bảo cung cấp các kiến thức môn học, kiến thức cơ sở để học tập

các môn Toán trong chương trình đào tạo mà còn định hướng việc phân tích,

nhìn nhận các vấn đề Toán học trong chương trình phổ thông, đặc biệt là

chương trình môn Toán cấp Tiểu học cho người học.

Giáo trình gồm 4 chương:

Chương 1: Cơ sờ của Lý thuyết tập hợp

Chương 2: Cơ sờ cùa lôgic toán

Chương 3: Nửa nhóm và nhóm

Chương 4: Vành và trường

Trong mỗi chương, bên cạnh việc trình bày lý thuyết, các tác giả đã hết

sức lưu ý việc lựa chọn hệ thống ví dụ minh họa nhằm giúp người học hiều sâu

lý thuyết và rèn luyện kĩ năng vận dụng lý thuyết vào giải bài tập, vận dung lý

thuyết đề nhìn nhận, phân tích một số vấn đề toán Tiểu học theo chương trình

hiện hành. Điều này góp phần tạo điều kiện thuận lợi cho người học tự nghiên

cứu, lĩnh hội kiến thức.

Khi sử dụng giáo trình, sinh viên nên đọc kĩ để hiểu rõ các ví dụ được

trình bày sau mỗi phần lý thuyết nhằm hiểu sâu hơn nội dung lý thuyết. Tiếp đó

tích cực tự làm các bài tâp trong mỗi chương để cùng cố, vận dụng kiến thức

bài học.

Nhóm tác giả xin trân trọng cảm ơn các đồng nghiệp về những ý kiến

quý báu cho giáo trình trong quá trình soạn thảo. Giáo trình tuy đuợc hoàn

thiện về mặt cấu trúc nội dung nhưng chắc chắn không tránh khỏi những

thiếu sót. Chúng tôi rất mong tiếp tục nhận đuợc những ý kiến đóng góp cùa

độc già để tài liệu được hoàn chỉnh hơn.

Các tác giả

4

Chương 1

C ơ SỞ CỦA LÝ THUYẾT TẬP HỢP

Nhà toán học Đức G. Cantor đã định nghĩa: Tập hợp là nhiều cái, được

hinh dung như là một. Tuy nhiên đây không phải là định nghĩa lôgic theo nghĩa

đầy đủ của khái niệm tập hợp, mà chì là lòi giải thích.

Lý thuyết tập hợp được nhà toán học Đức G. Cantor (1845 -1918) xây

dựng cách đây hơn 100 năm (vào khoảng những năm 1872 đến 1884) xuất phát

tù việc nghiên cứu các tập hợp và các số siêu hạn (bàn số và tự số).

Ngày nay, lý thuyết tập hợp đã trờ thành cơ sờ của toán học hiện đại. Từ

năm 1960 trờ lại đây, lý thuyết tập hợp đã bắt đầu xâm nhập vào trường phổ

thông ở tất cả các nước, ở nước ta ữong chương trình môn Toán, ngay ờ bậc

tiểu học, nhiều kiến thức toán học đã được trình bày dưới ánh sáng của những

quan điểm và tư tường của lý thuyết tập hợp. Ờ bậc trung học cơ sở và trung

học phổ thông thì học sinh đã được học một số kiến thức về lý thuyết tập hợp ờ

lớp 6 và lớp 10, đồng thời học sinh đã biết sử dụng thành thạo một số kí hiệu và

ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp để trình bày các vấn đề toán học.

Trong chương này chúng ta sẽ đề cập đến các khái niệm và kiến thức cơ

bản của lý thuyết tập hợp như: Khái niệm tập hợp, quan hệ bao hàm, các phép

toán trên tập hợp, quan hệ hai ngôi, quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự, ánh xạ,

giải tích tổ hợp Đ e việc trình bày được gọn gàng, chúng ta sẽ sử đụng m ột so kí

hiệu của lôgic toán mà người học đã từng được sử dụng khi học môn Toán ờ

trường phổ thông.

1.1. TẬP HỢP

1.1.1. Tập hợp và phần tử của tập hợp

Lý thuyết tập hợp là lĩnh vực toán hpc nghiên cứu các tính chất chung

của tập hợp, đặc biệt là tập vô hạn.

Khái niệm tập hợp là một khái niệm toán học đom giản nhất, không được

định nghĩa nhưng có thể giải thích qua các ví dụ.

5

Những vật hay đối tượng toán học được tụ tập theo một tính chất chung

nào đó thành lập một tập hợp. Đây không phải là một định nghĩa khái niệm tập

hợp mà chi là sự mô tả cho ta một hình ảnh trực quan của khái niệm đó.

Các vật hay đối tượng thành lập một tập hợp được gọi là các phần tử của

tập hợp đó. Trong ngôn ngữ thông thuờng, người ta thường dùng những từ như:

Nhóm, toàn thể, tập hợp, tất cả, chùm, đống, đàn, bầy,... để nói về một tập hợp

nào đó. Chẳng hạn ta nói “nhóm học sinh đang trồng cây”, “toàn thể học sinh lớp

3A”, “chùm nho”, “đống sỏi”,...

Tập hợp tất cả các quyển sách tạo nên một thư viện, tập hợp tất cả các

nghiệm cùa một phương trinh,... Các quyển sách của thư viện, các nghiệm của

một phương trinh,... là các phần tử của tập hợp.

Một tập hợp thuờng được kí hiệu bời các chữ cái in hoa: A, B, c, D, E,x, ...

Phần tử cùa tập hợp thường được kí hiệu bời các chữ cái in thường:

ữ, 6, c, đ, 6, X, y, 2,...

Ví dụ 1.1.1

Tập hợp các số tự nhiên N .

Tập hợp các số nguyên z .

Tập hợp các số hữu tì Q .

Tập hợp các số thực R .

Tập hợp các điểm trên mặt phẳng.

Tập hợp các nghiệm thực của phương trình: (x — lj(x 4- 2) = 0.

Tập hợp các học sinh trong một lóp.

Tập hợp các lớp trong một trường.

Để chi a là một phần tử của tập hợp Ả ta viết: a e Ả và đọc là a

thuộc Ả hay a là phần từ của tập hợp Ả . Để chi b không phải một phần từ của

tập hợp Ả ta viết: b Ệ A hoặc be A và. đọc là 6 không thuộc Ả hoặc b không

phải là một phần tử của tập hợp Ả .

Ví dụ 1.1.2

O e N ;le N ;- l£ N ;- le Z ;- £ Z ;

6

1.1.2. Cách xác định một tập họp

Một tập họp được coi là đã được xác định nếu có cách để biết xem một vật

hay’ một đối tượng nào đó có thuộc tập hợp đó hay không. Một tập hợp thường

được xác định bởi hai cách sau:

1.1.2.1. Liệt kê tất cả các phần tử cùa tập hợp

Theo cách này để xác định một tập hợp nào đó, ta liệt kê đầy đủ tất cả các

phần tử của nó.

Ví dụ 1.1.3

a) Tập hợp gồm 4 số tự nhiên khác 0 đầu tiên: jl, 2, 3, 4Ị .

b) Tập hợp gồm 3 chữ cái đẩu tiên trong bảng chữ cái: ja, b, c j .

Chú ý: Tập hợp trong ví dụ 1.1.3a) còn có thể được viết là: -Ị4, 1, 2, 3I

hoặc | 2 , 1, 4, 3Ị,...

Tập hợp trong ví dụ 1.1.36) còn có thể được viết là: |c, a, ò|;

jb, a, c Ị ,

Khi liệt kê các phần tử của một tập hợp ta không cần quan tâm đến thứ

tự của chúng.

Đôi khi người ta còn dùng cách liệt kê các phần tử để xác định một số tập

hợp có vô số phần tử. Khi đó thường người ta chi viết một số phần tử đầu tiên

của tập hợp cần xác định, đồng thời chi ra quy luật viết các phần tử còn lại.

Trong một số trường hợp, các quy luật cũng không được viết ra và được coi là

đã biết.

Ví dụ 1.1.4

1)TậphợpN các số tự nhiên được viết là: N = jo, 1, 2,

2) Tập hợp A các số tự nhiên chẵn được viết là:

A = jo, 2, 4, 6,...,2n,..J

1.1.2.2. Chi rõ dấu hiệu đặc trưng của các phần tử của tập hợp

Ta có thể xác định một tập hợp bằng cách chi rõ các tính chất chung của

các phần tử cùa tập hợp đó. Sau đó, dựa vào các tính chất chung này ta có thể

khẳng định một đối tượng nào đó có thuộc tập hợp đó hay không. Các tinh

7

chất như vậy gọi là dấu hiệu đặc trưng hay tính chất đặc trưng của các phần

tử của tập hợp.

Tập hợp cần được xác định là tập hợp chứa tất cả các phần tù có dấu hiệu

đặc trưng đó, ngoài ra không chứa một phần tử nào khác.

Ví dụ 1.1.5

Gọi Ả là tập hợp các ước số dương của 6. Ta viết:

A = ịn I n e N và TI là ước của 6 Ị .

Khi đó, dấu hiệu đặc trưng của các phần tử của Ả là số tự nhiên và là ước

cùa 6. Đọc là: A là tập hợp các số tự nhiên n sao cho n chia hết 6.

Dựa vào dấu hiệu đặc trưng đó ta xác định được tập hợp A chứa các số

1, 2, 3, 6 và chi chứa các số đó.

Trong trường hợp tổng quát, nếu tập hợp X là tập hợp tất cả các phần tử

X có tinh chất rth ì ta viết:

X = I X có tính chất r Ị hoặc viết X = ịx :x có tính chất T Ị (Đọc

là: X là phần tử của tập hợp X , sao cho X có tính chất T ).

1.1.3. Tập họp rỗng, tập đ(m tử

1.1.3.1. Tập hợp rỗng

Định nghĩa 1.1.1. Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập hợp

rỗng, kí hiệu là ậ .

Ví dụ 1.1.6.

Tập hợp các nghiệm thực của phương trình: X* + 1 = 0 là tập rỗng.

1.1.3.2.Tập họp đơn tử

Định nghĩa 1.1.2. Tập hợp có một phần từ duy nhất thì gọi là tập hợp đơn tử.

Nếu tập hợp A chúa một phần tử duy nhất a thi ta viết: Ả = ỊaỊ

Ví dụ 1.1.7

Tập hợp các số nguyên tố chẵn là tập hợp đơn tử, đó là tập hợp |2j￾1.1.4. Biểu đồ Ven

Để có một hình ảnh ttực quan về tập hợp, nguời ta thường biểu diễn một tập

hợp bời một miền phẳng giới hạn bời đường cong khép kín không tự cẳt. Hình

biểu diễn đó là biểu đồ Ven.

8

X 6 Ả

y ị A

1.1.5. Tập hợp con và quan hệ bao hàm

1.1.51. Tập hợp con

Định nghĩa 1.1.3. Tập hợp A được gọi là tập hợp con cua tập hợp B , ki

hiệu A c B , nếu mọi phần từ thuộc Ả đểu thuộc B .

Như vậy, Ả c B khi và chi khi với mọi X, X € Ả kéo theo X 6 B .

Khi có Ả c B ta còn nói: A là bộ phận của B hay A bao hàm trong B . Khi

đó ta cón viết B D Ả và đọc là B bao hàm Ả hay B chứa Ả . Quan hệ “ c ” gọi

là quan hệ bao hàm. Các hệ thức Ả c B , B D Ả được gọi là các bao hàm thức.

Nếu A c B và có ít nhất một phần tử thuộc B nhưng không thuộc Ả thì

ta nói A là một tập hợp con thực sự cùa B hay A là bộ phận thực sự của B .

Ví dụ 1.1.8

1) Tập hợp các học sinh lớp 1A của trường tiểu học Hùng Vương là tập

hợp con của tập hợp các học sinh cùa trương tiểu học Hùng Vương.

2) Tập hợp các số tự nhiên N là tập hợp con thực sự của tập hợp các số

nguyên z .

3) Tập hợp các hình vuông là tập hợp con thực sự của tập hợp các hình

chữ nhật.

Qui uớc: Tập hợp rỗng là tập hợp con của mọi tập hợp (ộ c Ả, với mọi tập

hợp/4).

Từ khái niệm tập hợp con, dễ dàng chứng minh được các tính chất sau cùa quan

hệ bao hàm ‘c ” :

a) Tính chất phản xạ: Ả c Ả, vói mọi tập hợp .4.

b) Tiflh chất bắc cầu: Với mọi tập hợp A.B.C nếu A c B v k B c C ử ủ

ẢCC.

1.1.5.2. Tập hợp tất cả các tập hợp con của một tập hợp

Cho tip hợp X tùy ý. Tất cả các tập hợp con của X lập nên một tập hợp,

kí hiệu là (Ị(X).

Như vậy, aXX) = I A c x Ị

Chẳng hạn: X = ja,&Ị thì CỊ(X) = ịỷ, j a |, |&j,

1.1.6. Hai tập họp bằng nhau

Định nghĩa 1.1.4. Hai tập hợp Ả và B được gọi là bằng nhau, ki hiệu

A — B , nếu và chi nếu mọi phần từ thuộc A đều thuộc B và ngược lại.

A= B nếu và chì nếu với mọi X, X e A kéo theo X e B và mọi X, X e B

kéo theo X e A.

Từ khái niệm tập hợp con và hai tập hợp bằng nhau ta suy ra:

Ả = B khi và chi khi A c B vk B c A.

Ta gọi hệ thức Ả = B là một đẳng thức. Khi có đẳng thức A = B , ta

hiểu một cách trực giác là Ả và B cùng chứa những phần tó nhu nhau.

Ví dụ 1.1.9

1) Cho .4 = jl, 2,3,4Ị ; B = jn e NI 0 < n < 5Ị . Dễ dàng thấy rằng A — B .

2) Gọi X là tập hợp các hình vuông, Y là tập hợp các hình chữ nhật có

các cạnh bằng nhau. Khi đó ta có X = Y .

1.1.7. Các phép toán trên tập hợp

1.1.7.1. Phép hợp

Định nghĩa 1.1.5. Hợp của hai tập hợp Ả và B , ki hiệu là A u B (đọc

là A hợp B ) là một tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập

hợp A ,B .

Từ định nghĩa hợp hai tập hợp ta có: Ả u B = -Ị2, X € Ả hoặc X 6 s Ị .

Do đó X ị Ả u B khi và chi khi X ị Ả và X ị B .

Hình vẽ minh họa hợp hai tập hợp:

A uB

Ả n B * 0

Ả n B m 0 , A U S B <z A, Ả V B = A

10

Hình 1

Ví dụ 1.1.10

1)) Nấu Ả = Ịa,ò.c,dỊ, B = Ịc,á,e,fỊ thì ta có: A u B = ịa.b,ạd,e,fỴ

2) A = Ịx 6 n | X có tận cùng bời o j , B = |z 6 n | X có tận cùng bời 5Ị

^ u B = ịx G N I X có tận cùng bời 0 hoặc 5 Ị

1.1.7.2. Phép giao

Định nghĩa 1.1.6. Giao cùa hai tập hợp Ả và B , kí hiệu AC\B (đọc là

A Ịiao B ) là một tập hợp gồm các phần từ vừa thuộc Ả , rùa thuộc B .

Từ định nghĩa giao hai tập hợp ta có:

ẢCi B = ịx, x 6 Ả và x £B).

Nếu ẢD B = ộ, ta nói và B rời nhau.

Như vậy X không thuộc A n B khi X không thuộc một trong hai tập hợp

vl, B hoặc X không thuộc cả hai tập hợp.

Hình vẽ minh họa giao hai tập hợp:

A n B m 0 BczA, Ả r\B=B

Hình 2

Ví dụ 1.1.11

1) ^ = {12,3,4,5,7} và B = {1,2,3,4,5,6,7} thì Ả n B = {1,2,3,4,5,7}

2) A = jz € n | x:2Ị và B = jz € n | z :3 j thì:

A n B — |x e NI X: '2 và X : 3Ị là tập hợp các bội số chung của 2 và

3 . rheo định nghĩa giao hai tập hợp ta có: A D B = {0,6,12,...}

3) Gọi A là tập hợp các ước nguyên dương của 8, B là tập hợp các ước

nguyên dương của 12, ta có:

^ = Ịz€N| I \ 8j ,• s = Ịa: € n | x \ 12j

Từ đó ta có Ả n B={x e n | X \ 8 và X \ 12 } = {1,2,4}.

4) Nếu Ả = ja,ò,c,dỊ, B — Ịc, d, e, f Ị thi:

Ả n B = |c ,d |.

1.1.7.3. Hiệu hai tập họp

Định nghĩa 1.1.7. Hiệu của hai tập hợp Á và B ki hiệu A — B (hay

A \ B ) là tập hợp gồm các phần từ thuộc Ả nhưng không thuộc B .

A — B = ị x \ x e A và X ị b | . Nếu B c Ả thì ta kí hiệu Ả — B bời

c A (b) và gọi tập hợp đó là phần bù của B đối vói Ả .

Hình vẽ minh họa hiệu hai tập hợp:

A - B (phần gạch sọc)

00

ẢC\ B = (Ị> ticà A — B = Ả Á 0 R = A\ tViì A — J

Hình 3

Ví dụ 1.1.12

Ả = ị a,b,c,d,eỊ, B = |6,c,dj. Khi đó: B \ Ả — ộ, c A ị s j = {a,eỊ

Ví dụ 1.1.13

Nếu = 1 0,6,c,d,e|, 5 = |m ,n Ị thì S \^ l = Ịm ,n Ị

12

Ví dụ 1.1.14

1) Nếu Ẩ = j 12,3,45,7} và 5=1123,45, ôỊ thì: A -B = [ 7}, B-^={6}.

2) Nếu .4 = I a.b,c.dị, B = Ị cđẹ/Ịthì: A — 5 = |a.6j và B —A = ịe.fỴ

3) Nếu Ẩ =|a:eR | x<õỊ thi: R — A = CR(yl) = |x Ễ r | i > 5Ị = Ị5,+oc).

1.1.7.4. Tính chất của phép hợp, phép giao, phép hiệu

Định lý 1.1.1. Với các tập hợp Ả B,C và X tùy ý, ta có:

1) Tính chất giao hoán: ẢC\ B = B n A \ ,4u B = B u Ả

2) Tính chất luỹ đẳng: ẢCi A = Ả', ẢLÍ Ả = A

3) Tính chất kết hợp:

Ả U ( BU C ) = ( A U B) U C

Ả n (B n C) = n B) n c

4) Tính chất phân phối:

jn( 5 uơ) = (/infi)u(jn c )

A u (B n C) = (A u B) n (A u C).

5) Công thức DeMorgan:

X - {Ã u B) = (X - A) n {X - B)

I - ( i n B ) = ( I - i ) U ( I - B).

Chứng minh: Các tính chất 1), 2), 3) bạn đọc tự chứng minh.

Ta chứng minh đẳng thức 4): Ả n (B u C) = (yl n B) u (^1 n C)

Đẻ chứng minh đảng thức trẽn, ta chứng minh hai bao hàm thức:

^n(Buc)c(in 5 )u(vlnc) (1)

(JnB)u(inơ)c^n(Buc) (2)

Chứng minh bao hàm thức (1):

Giả sử X e Ả n (B u ữ ) , điều đó có nghĩa \ầ X e Ả và X e B li c . Hay

X e Ả và X thuộc vào ít nhất một ưong '2 tập hợp B, c.

NếuX e Ả và X E Bửủ X € AC\ B

Nếu x e Ả và X e c thì X e A n c . Vậy ta có X e Ả n B hoặc

x e Ả n C , điều đó có nghĩa là: X e (^1 n B) u (vl n ơ ).D o đó ta có (1)

13