GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP C1 - CHƯƠNG III. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ pps

CHƯƠNG III. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

§1. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

1.1. Định nghĩa hàm số nhiều biến số

D là một tập hợp trong 2  , người ta gọi ánh xạ f D:   , tức là một quy tắc cho

tương ứng với mỗi cặp số thực  x y D ,  một số thực duy nhất z , ký hiệu là f x y  ,  là

hàm số hai biến số, x và y là hai biến số độc lập. Ta ký hiệu

f x y z f x y : , ,      

D được gọi là miền xác định của hàm số f . Tập hợp

f D z z f x y x y D           , , ,    

gọi là miền giá trị của hàm số f .

Chú ý: Theo định nghĩa trên thì miền xác định của f thuộc

2  , còn miền giá trị của nó

thuộc  .

Hàm số n biến số f x x x  1 2 , ,...,

n  được định nghĩa tương tự.

1.2. Miền xác định

Nếu người ta cho hàm số hai biến số bởi biểu thức z f x y   ,  mà không nói gì về miền

xác định của nó thì miền xác định của hàm số đó được hiểu là tập hợp những cặp  x y , 

sao cho biểu thức f x y  ,  có nghĩa.

Ví dụ 1: Hàm số z x y    2 3 5 xác định với mọi cặp  

2

x y ,  , miền xác định của nó là

toàn bộ mặt phẳng.

Ví dụ 2: Hàm số

2 2

z x y    1 xác định khi 2 2 1 0    x y hay 2 2

x y  1, miền xác định

của nó là hình tròn đóng, tâm O , bán kính I ( hình 1).

Ví dụ 3: Hàm số z x y    ln 1   được xác định khi x y   1 0 hay x y  1, miền xác

định của nó là nửa mặt phẳng mở ở phía trên đường thẳng x y  1 (hình 2).

O 1

y

x

1

O 1

y

x

( hình 1) (hình 2)

1.3. Giới hạn của hàm số hai biến số

Ta nói rằng điểm M x y n n n  ,  dần tới diểm M x y 0 0  o

,  trong 2  và viết M M n  0

(hay  x y x y n n

, ,    0 0  )khi n   nếu

   

2 2

0 0 lim 0 n n

n

x x y y



   

Cho hàm số f M f x y     ,  xác định trong miền D chứa điểm M x y 0 0 0  ,  , có thể trừ

điểm M0

. Ta nói rằng L là giới hạn của f x y  ,  khi điểm M x y  ,  dần tới điểm M0

là

   

 

0 0 , ,

lim ,

x y x y

f x y L



 hay  

0

lim

M M

f M L



 .

Ví dụ 4: Tính

   

 

, 0,0

lim ,

x y

f x y



với  

2 2

,

xy f x y

x y





Giải:

Hàm số f x y  ,  xác định trên  

2  \ 0,0 .

Vì    

2 2

1, , 0,0

x

x y

x y

  



, nên