Giáo trình chuyên đề rèn kĩ năng giải toán ở tiểu học

TRẦN DIÊN HIẾN

GIÁO TRÌNH CHUYÊN ĐỀ

RÈN Kỉ NĂNG,

GIẢI TOÁN TIỂU HỌC

' \ / '

\ § f ! / N H À XUẤT BẢN ĐẠI HỌC Sư PHẠM

PGS. TS. TRẦN DIÊN HIỂN

GIÁO TRÌNH CHUYÊN ĐỀ

RÈN Kĩ NĂNG GlẢl TOÁN TIỂU HỌC■

(Tái bản lần thứ nhất)

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẨU............................................................................................... 7

C hương 1. PHƯƠNG PHÁP sơ Đổ ĐOẠN THẲNG............................. 9

A. Nội dung bài giảng.............................................................................. 9

1. Đại cương vê' giải toán tiểu học................................................... 9

2. Khái niệm về phương pháp SĐĐT......................................... 12

3. ứng dụng phương pháp SĐĐT để giải toán đơn.................. 12

4. ứng dụng phương pháp SĐĐT để giải toán hỢp..................37

5. Một sô'ứng dụng khác của phương pháp SĐĐT.................... 50

B. Hướng dẫn tự học...............................................................................57

C hương II. PHƯƠNG PHÁP RÚT VỀ ĐƠN VỊ VÀ TỈ s ố ................. 58

A. Nội dung bài giảng.............................................................................58

1. Khái niệm về phương pháp rút về đơn vị và tỉ số.................. 58

2. ứ ng dụng phương pháp RVĐV và TS để giải toán về

đại lượng tỉ lệ nghịch......................................................................62

3. Các bài toán về tỉ lệ kép............................................................. 66

B. Hướng dẫn tự học ..............................................................................70

C hương III. PHƯƠNG PHÁP CHIA TỈ L Ệ ........................................... 71

A. Nội dung bài giảng............................................................................. 71

1. Khái niệm về phương pháp chia tỉ lệ......................................71

2. ứ ng dụng phương pháp CTL để giải các bài toán

về tìm hai sô"khi biết tổng và tỉ sô" của chúng.............................71

3. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán về tìm hai số

khi biết hiệu và tỉ sô' của chúng.....................................................76

4. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán vê' cấu tạo sô'..... 79

5. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán

có lời văn điên hình vê phân số......................................................86

6. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán

có nội dung hình học....................................................................... 90

7. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán

về chuyển động đều.........................................................................93

8. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán về tìm ba số

khi biết tổng và tỉ sô" hoặc hiệu và tỉ số của chúng................. 96

9. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán vui và toán cổ

ở tiểu học..........................................................................................99

B. Hướng dẫn tự học ........................................................................... 101

C hương IV. PHƯƠNG PHÁP THỬ CHỌN......................................... 102

A. Nội dung bài giảng ........................................................................102

1. Khái niệm về phương pháp thử chọn.....................................102

2. ứng dụng phương pháp TC để giải toán sô'học...................102

3. ứng dụng phương pháp TC để giải toán có lòi v ă n ............ 108

4. ứng dụng phương pháp TC để giải toán

có nội dung hình học.................................................................... 111

5. ứng dụng phương pháp TC để giải toán về suy luận........114

B. Hướng dẫn tự học............................................................................115

Chương V. PHƯƠNG PHÁP KHỬ....................................................... 116

A. Nội dung bài giảng..........................................................................116

1. Khái niệm về phương pháp khử.............................................116

2. ứng dụng phương pháp khử để giải to án ............................ 116

B. Hướng dẫn tự học............................................................................120

C hương VI. PHƯƠNG PHÁP GIẢ THIẾT TẠM...............................121

A. Nội dung bài giảng..........................................................................121

1. Khái niệm về phương pháp giả thiết tạm .............................121

2. ứng dụng phương pháp giả thiết tạm để giải to án ............ 121

B. Hướng dẫn tự học............................................................................125

C hương VII. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ c u ố i ............... 126

A. Nội dung bài giảng..........................................................................126

1. Khái niệm về phương pháp tính ngưbc từ cuối....................126

2. ứng dụngphương pháp tính ngưỢc từ cuối để giải toán

số học.............................................................................................. 126

3. ứng dụngphương pháp tính ngưỢc từ cuối để giải toán

có lời v ă n ....................................................................................... 127

4. Các bài t oán vê' tính ngưỢc từ cuô'i gộp................................130

5. ứng dụng phương pháp tính ngưỢc từ cuối để giải toán vui

và toán cổ ỏ tiểu học.....................................................................133

B. Hướng dẫn tự học........................................................................... 137

Chương VIII. PHƯƠNG PHÁP THAY THẾ...................................... 138

A. Nội dung bài giảng.........................................................................138

1. Khái niệm về phương pháp thay th ế ....................................138

2. ứng dụng phương pháp thay thế để giải toán.....................138

B. Hướng dẫn tự học........................................................................... 142

Chương EX. PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH.........................................143

A. Nội dung bài giảng.........................................................................148

1. Khái niệm về phương pháp diện tích.................................... 143

2. ứng dụng phương pháp diện tích để giải to án ....................143

B. Hướng dẫn tự học........................................................................... 148

Chương X. PHƯƠNG PHÁP Đổ THỊ.................................................. 149

A. Nội dung bài giảng......................................................................... 149

1. Khái niệm vể phương pháp đồ thị..........................................149

2. ứng dụng phương phốp đồ thị để giải toán sô' học.............149

3. ứng dụng phương pháp đồ thị để giải toán có văn.............150

4. ứng dụng phương pháp đồ thị để giải toán

vè suy luận lõgíc............................................................................152

B. Hướng dẫn tự học............................................................................156

Chương XI. PHƯƠNG PHÁP ĐẠI s ố ................................................ 157

A. Nội dung bài giảng..........................................................................157

1. Khái niệm về phương pháp đại sô’.........................................157

2. ứng dụng phương pháp đại số để tìm thành phần chưa biết

của phép tín h ................................................................................157

3. ứng dụng phương pháp đại sô' để giải toán về diền chữ số

vào phép tín h ................................................................................163

4. ứng dụng phương pháp đại số để giải toán có lời văn....... 165

B. Hướng dẫn tự học........................................................................... 166

C hương XII. PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG

NGUYÊN LÍ ĐI-RÍCH-LÊ..................................................................... 167

A. Nội dung bài giảng.........................................................................167

1. Khái niệm về nguyên lí Đi-rích-lê........................................167

2. ứng dụng nguyên lí Đi-rích-lê để giải to á n ........................167

B. Hướng dẫn tự học...........................................................................170

TRẢ LÒI HOẶC HƯỚNG DẪN GIẢI b à i t ậ p T ự LUYỆN........... 171

Chương 1................................................................................................171

Chưdng I I ..............................................................................................173

Chương III............................................................................................ 174

Chương IV ............................................................................................ 176

Chương V ............................................................................................. 177

Chương V I............................................................................................ 177

Chương VII........................................................................................... 178

Chương V III......................................................................................... 179

Chương IX............................................................................................ 179

Chương X.............................................................................................. 180

Chương XI............................................................................................ 181

Chương XII........................................................................................... 181

LỜI NÓI ĐẦU

Giáo trình “Rèn kĩ năng giải toán tiểu học” được biên soạn theo

chương trình đào tạo Cử nhân giáo dục tiểu học hệ chính quy, vừa học

vừa làm và hệ từ xa.

Nội dung giáo trình được chia thành 12 chương :

Trong mỗi chương, tác giả trình bày một phương pháp giải toán ỏ

tiểu học. Nội dung mỗi chương được chia thành hai phần :

Phần thứ n hấ t: Nội dung bài giảng được trình bày theo trình tự sau :

- Khái niệm về phuung pháp giải toán đuọc trình bày trong chuông đó.

- Các bước giải toán khi dùng phương pháp trình bày trong chương.

- Lần lượt nèu các ứng dụng của phương pháp đó để giải các dạng

toán thường gặp ỏ tiểu học thông qua các ví dụ minh họa.

- Giới thiệu hệ thống bài tập tự luyện để củng cố kĩ nàng giải toán

bằng phương pháp đó.

Phần thứ h a i: hướng dẫn học viên một số vấn đề về nội dung cũng

như phương pháp tự học lí thuyết và vận dụng giải quyết các dạng bài

tập điển hình trong chương.

Phần cuối của giáo trình là hướng dẫn giải các bài tập tự luyện.

Vì giáo trình được biên soạn để dùng chung cho cả ba hệ đào tạo:

chính quy, vừa học vừa làín và hệ từ xa nôn khi sử dụng cho mõl đốl

tượng cần lựa chọn những nội dung và hình thức tổ chức dạy học phù

hợp cho từng loại dối tượng đã được xác định trong chương trình đào tạo

của hệ đó.

Tác giả chân thành cảm ơn mọi sự đóng góp của bạn đọc để nội

dung và hình thức của giáo trình ngày càng hoàn thiện hơn.

Tác giả

Chương 1

PHƯƠNG PHÁP S ơ ĐỔ ĐOẠN Th Ẳ n G

A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG

1. Đại cương về giải toán tiểu học

1.1. Vai trò, vị tri vá tầm quan trong của hoat dộng g iả i

toán trong dạy và học toán ở tiểu học

Trong dạy học toán nói chung, ở tiểu học nói riêng, giải toán có vị

trí đặc biệt quan trọng. Trong giải toán, học sinh phải tư duy một

cách tích cực và linh hoạt, phải biết suy nghĩ năng động, sáng tạo. Vì

vậy có thể coi giải toán là một trong những biểu hiện nămg động nhất

của hoạt động trí tuệ của học sinh.

Thông qua hoạt động giải toán, học sinh biết cách vận dụng các

khái niệm, quy tắc, công thức đã được học trong sách giáo khoa để xử

lí những tình huống đặt ra trong môn Toán, trong các môn học khác

và trong thực tê đời sống lao động sản xuất. Đồng thòi thông qua hoạt

động giải toán, giáo viên có thể phát hiện những ưu điểm cũng như

thiếu sót của học sinh về kiến thức, kĩ năng và tư duy để có biện pháp

kịp thòi giúp các em phát huy hoặc khăc phục. Mặt khác, cũng thông

qua hoạt động giải toán, học sinh tự rút ra những ưu điểm và hạn chế

của bản thân để có cách khắc phục, góp phần nâng cao chất lượng dạy

và học toán.

Qua hoạt động giải toán, học sinh rèn luyện những đức tính và

phong cách làm việc trong khoa học như ý chí khắc phục và vượt qua

khó khăn, lòng say mê và tìm tòi, sáng tạo trong học tập. Đồng thời,

thông qua hoạt động giải toán hình thành cho học sinh thói quen xét

đoán vấn đề có căn cứ, làm việc có kế hoạch, có kiểm tra kết quả cuôì

cùng, từng bưóc hình thành và rèn cho học sinh thói quen suy nghĩ

độc lập, linh hoạt. Từ đó hình thành khả năng trình bày, diễn đạt

một vấn đề một cách chặt chẽ và mạch lạc.

Qua hoạt động giải toán, học sinh được củng cố kiến thức và rèn kĩ

năng sử dụng Tiếng Việt, tự nhiên và xã hội, giáo dục môi trường,...

Khi giải toán, ta quan tâm đến hai vấn đề lớn : nhận dạng bài

toán và lựa chọn phương pháp thích hỢp d ể giải. Thực hành giải toán

là rèn kĩ năng cho hai hoạt động trên đây.

1.2. P h ả n d ạ n g các bài toán ở tiểu học

Các bài toán ở tiểu học có thể chia thành hai loại : các bài toán 3ố

học và các bài toán có lời văn.

Các bài toán có lòi văn có thể phân thành ba nhóm :

Nhóm thứ nhất gồm bốn dạng toán đơn :

1. Các bài toán đơn với một phép tính cộng

2. Các bài toán đơn vói một phép tính trừ

3. Các bài toán đơn với một phép tính nhân

4. Các bài toán đơn vói một phép tính chia

Nhóm thứ hai gồm các bài toán hỢp :

Các bài toán hỢp đưỢc phân chia thành các mẫu, chẳng hạn

o a + (a + b)

o a + (a - b)

o (a + b) + c

o a + a X n

o a + a : n

o (a + b) X n

o (a + b) : n

o

Nhóm thứ ba gồm 8 dạng toán có lời văn điển hình :

1. Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng

2. Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của chúng

3. Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của chúng

4. Tìm sô' trung bình cộng

5. Toán về đại lượng tỉ lệ thuận

6. Toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

7. Toán về chuyển động đều

8. Toán vể tỉ số phần trăm

10

Ngoài ra, trong nhóm thứ ba gồm một sô'dạng toán khác

1. Tìm giá trị phân sô’ của một sô

2. Toán về tỉ lệ bản đồ

1.3. Các phư ơ n g p h á p g iả i toán ở tiêu học

Về sô' lượng các phương pháp giải toán ỏ tiểu học cũng có những ý

kiến rất khác nhau (tuỳ theo quan điểm của tác giả).

Đa sô' các tác giả cho rằng để giải các bài toán đại trà trong sách

giáo khoa toán tiểu học chỉ cần 5 - 6 phương pháp là đủ.

Đê giải các bài toán phát triển, toán nâng cao ỏ tiểu học thì ngoài

5 - 6 phương pháp nêu trên ta cần bổ sung thêm các phương pháp

khác nữa. Đương nhiên, tuỳ mức độ và phạm vi các bài toán nâng cao

đưỢc đề cập tới mà số lượng phương pháp được bổ sung nhiều hay ít.

Trong tài liệu này, chúng ta đề cập tối 16 phưdng pháp giải toán

sau đây :

1. Phương pháp sơ dồ đoạn thẳng (SĐĐT)

2. Phương pháp rút về dơn vị và tỉ sô'

3. Phương chia tỉ lệ

4. Phương pháp thử chọn

5. Phương pháp khử

6. Phương pháp giả thiết tạm

7. Phương pháp tinh ngược từ cuối

8. Phương pháp thay thế

9. Phương pháp diện tích

10. Phương pháp đồ thị

11. Phương pháp đại sô'

12. Phương pháp ứng dụng nguyên lí Đi-rích-Lê

13. Phương pháp biêu đồ Ven

14. Phương pháp lập bảng

15. Phương pháp suy luận đơn giản

16. Phương pháp lựa chọn tinh huống

11

2. K hái niệm về phương pháp SĐĐT

Phương pháp SĐĐT là một phương pháp giải toán ở tiểu học,

trong đó, môì quan hệ giữa các đại lượng đã cho và đại lượng phải tìm

trong bài toán được biểu diễn bởi các đoạn thẳng.

Việc lựa chọn độ dài của các đoạn thẳng đề’ biểu diễn các đại

lượng và sắp xếp thứ tự các đoạn thẳng trong sơ đồ một cách hỢp lí sẽ

giúp học sinh đi đến lòi giải một cách tường minh.

Phương pháp SĐĐT được dùng thường xuyên và rộng rãi trong

môn Toán ở tiểu học. Nó được ứng dụng để giải các bài toán đơn, các

bài toán hỢp, một số dạng toán có văn điển hình, dạy hình thành khái

niệm vê' sô' trung bình cộng và xây dựng công thức tìm số trung bình

cộng của hai hay nhiều số.

3. ứ n g d ụ n g phương ph áp SĐĐT đ ể giải to án đơn

3.1. G iải toán đơn với m ột ph ép tin h cộng

Bài toán đơn vối một phép tính cộng xuất hiện trong tất cả các lóp

ở bậc tiểu học (ở các lớp khác nhau được phân biệt bởi các vòng số

khác nhau). Sau khi được trang bị những kĩ năng cần thiết về thực

hành phép cộng trong một vòng số mối, học sinh thực hành vận dụng

kĩ năng vừa học để giải toán đơn trong vòng sô” này.

Càn cứ vào cấu trúc của sơ đổ đoạn thẳng dùng trong lòi giải của

bài toán, ta có thể phân chia các bài toán dạng này thành các mẫu

dưới đây :

M ẩu 1.1. Sơ đồ có dạng :

H

Hoặc V c""

12

Ví dụ 1.1. Nhà An nuôi được 15 con gà trông và 28 con gà mái.

Hỏi nhà An nuôi được tất cả bao nhiêu con gà?

Giải.

Ta có sơ đồ sau :

. 15 con Gà trong : I-------- ---------1

28 con

Gà mái ; I---------------------

>■ ? con gà

Sô’ gà nhà An nuôi được là :

15 + 28 = 43 (con)

Đáp sô' : 43 con gà

Chú ý. Khi giải các bài toán dạng này, thay cho SĐĐT, ta có thể

tóm tắt đê toán như sau :

Gà trống ; 15 con

Gà mái : 28 con

Tất cả có : ... con gà?

Ví dụ 1.2. Lớp 2A tuần trước đạt được 24 điểm 10, tuần này đạt

đưỢc 18 điểm 10. Hỏi cả hai tuần lớp đó đạt được bao nhiêu điểm 10?

Giải.

Ta có sơ đồ sau :

24 điểm 18 điểm

? điểm

Số điểm 10 lớp 2A đạt được trong hai tuần là :

24 + 18 = 42 (điểm)

Đáp số : 42 điểm

Chú ý. Khi giải các bài toán dạng này, ta có thể tóm tắt để toán

như trong ví dụ 1.1.

13